Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối
Giá trị lớn nhất, giá tri nhỏ nhất cực trị của hàm trị tuyệt đối
I. Mở đầu.
Bài toán mở đầu
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x) = \left| {{x^3} – 3x + m} \right|\) trên đoạn [0 ; 2] bằng 3 . Số phần tử của S là?
A. 1
B. 2
C. 0
D. 6
Lời giải
Ta có
\(\begin{array}{l}\left| {{x^3} – 3x + m} \right| \le 3,\forall x \in [0;2]\\ \Leftrightarrow – 3 \le {x^2} – 3x + m \le 3\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le – {x^3} + 3x + 3}\\{m \ge – {x^3} + 3x + 3}\end{array},\forall x \in [0;2]} \right.\end{array}\)
Xét hàm số \(f(x) = – {x^3} + 3x\) trên đoạn [0 ; 2] thì \({f^\prime }(x) = 3{x^2} – 3\) nên \({f^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\)
So sánh các số f(0), f(1), f(2) ta có \({\min _{[0;2]}}f(x) = – 2,{\max _{[0;2]}} = 2\) ta có
\({\min _{\{ 0;2]}}\left\{ { – {x^3} + 3x – 3} \right\} \le m \le {\max _{[0;2]}}\left\{ { – {x^3} + 3x – 3} \right\} \Leftrightarrow – 1 \le m \le 1\)
Đây chỉ là các điều kiện cần của m, ta thử lại như sau
– Với \(m = 1\) thì với \(x = 2\) ta sẽ có \(y = |f(2) + 1| = 3\)
– Với \(m = – 1\) thì với \(x = 1\) ta sẽ có \(y = |f(2) – 1| = 3\)
– Với \(m = 0\) thì với \(y = |f(x)| \le 2\) nên không thể có giá trị lớn nhất là 3 .
Vậy \(S = \{ – 1;1\} \) nên có tất cả 2 giá trị thỏa mãn yêu câu đề bài.
Nhận xét: Đây là một câu trong đề tham khảo thi THPT Quốc Gia 2018 của Bộ, nhìn chung thì đây là một câu vận dụng cao cần phải có kiến thức về bất đẳng thức trị tuyệt đối cũng như những phép biến đổi có liên quan.
Bất đẳng thức trị tuyệt đối.
Cho 2 số thực a,b khi đó ta có \(|a| + |b| \ge |a + b| \ge |a| – |b|\)
Dấu “=” thứ nhất khi a, b cùng dấu, dấu “= ” thứ 2 khi a, b trái dấu.
I. Các bài toán liên quan tới điểm cực trị của hàm số
A. Các tính chất liên quan tới cực trị của hàm trị tuyệt đối
– Số điểm cực trị của hàm số |f(x)| bẳng tổng số điểm cực trị của hàm số f(x) và số lân đổi dấu của hàm số f(x).
– Số điểm cực trị của hàm số \(f(|mx + n|)\) bằng \(2a + 1\), trong đó a là số điểm cực trị lớn hơn \( – \frac{n}{m}\) của hàm số f(x).
– Số điểm cực trị của hàm số \(f(|x|)\) bằng \(2a + 1\), trong đó a là số điểm cực trị dương của hàm số.
– Cho hàm số có dạng \(y = \left| {a{x^2} + bx + c} \right| + mx\), tìm điều kiện của tham số m để giá trị cực tiểu của hàm số đạt giá trị lớn nhất, khi đó ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\max \left( {{y_{ct}}} \right) = c}\\{m = – b}\end{array}} \right.\)
Câu 1: Biết phương trình \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0(a \ne 0)\) có đúng hai nghiệm thực. Hàm số \(y = \left| {a{x^3} + b{x^2} + cx + d} \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị.
A. 3 .
B. 5 .
C. 4 .
D. 2 .
Lời giải
Vì phương trình \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0(a \ne 0)\) có đúng hai nghiệm thực nên hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có hai điểm cực trị.
Mặt khác \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = a{\left( {x – {x_1}} \right)^2}\left( {x – {x_2}} \right)\).Do đó phương trình \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\) có một nghiệm đơn và một nghiệm kép.
Vậy số điểm cực trị của hàm số \(y = \left| {a{x^3} + b{x^2} + cx + d} \right|\) bằng \(2 + 1 = 3\). Chọn đáp án \({\rm{A}}\).
Câu 2: Có bao nhiêu số nguyên \(m \in ( – 20;20)\) để hàm số \(y = \left| {{x^2} – 2x + m} \right| + 2x + 1\) có ba điểm cực trị.
A. 17 .
B. 16 .
C. 19 .
D. 18 .
Lời giải
Nếu \({x^2} – 2x + m \ge 0,\forall x\) thì \(y = {x^2} – 2x + m + 2x + 1 = {x^2} + m + 1\) có đúng một điêm cực trị \(x = 0\) (loại).
Nếu \({x^2} – 2x + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1} < {x_2} \Leftrightarrow {\Delta ^\prime } = 1 – m > 0 \Leftrightarrow m < 1\).
\[y’ = \frac{{(2x – 2)\left( {{x^2} – 2x + m} \right)}}{{\left| {{x^2} – 2x + m} \right|}} + 2;y’ = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\{ \begin{array}{*{20}{c}}{2x – 2 + 2 = 0}\\{{x^2} – 2x + m > 0}\end{array}}\\{\{ \begin{array}{*{20}{c}}{ – (2x – 2) + 2 = 0}\\{{x^2} – 2x + m < 0}\end{array}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{{x^2} – 2x + m > 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{{x^2} – 2x + m < 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{m > 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{m < 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\]
+) Với 0<m<1 rõ ràng không có số nguyên nào
+) Với m<0 ta có bảng xét dấu của \(y’\) như hình vẽ dưới đây
Lúc này hàm số có 3 điểm cực trị.
Vậy \(m \in \{ – 19,….,1\} \). Chọn đáp án C
Câu 3: Biết phương trình \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0(a \ne 0)\) bốn nghiệm thực. Hàm số \(y = \left| {a{x^4} + b{x^2} + c} \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị.
A. 7 .
B. 5 .
C. 4 .
D. 6 .
Lời giải
Vì phương trình \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0(a \ne 0)\) bốn nghiệm thực nên hàm số
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta = {b^2} – 4ac > 0}\\{S = \frac{{ – b}}{a} > 0}\\{P = \frac{c}{a} > 0}\end{array} \Rightarrow ab < 0} \right.\) do đó hàm số \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\) có 3 điềm cực trị
Mặt khác \(a{x^4} + b{x^2} + cx + d = a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)\left( {x – {x_3}} \right)\left( {x – {x_4}} \right)\) nên phuơng trình \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\) có 4 nghiệm đơn.
Vậy hàm số \(y = \left| {a{x^4} + b{x^2} + c} \right|\) có \(4 + 3 = 7\) cực trị.
Câu 4: Cho hàm số \(y = \left| {{x^4} – 2(m – 1){x^2} + 2m – 3} \right|\). Có bao nhiêu số nguyên không âm m để hàm số đã cho có ba điểm cực trị.
A. 3 .
B. 4 .
C. 5 .
D. 6 .
Xét hàm số \(f(x) = {x^4} – 2(m – 1){x^2} + 2m – 3\)
\(m – 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1 \Rightarrow f(x) = {x^4} – 1\) có 1 diểm cực trị \(x = 0\) và phương trình \(f(x) = 0\) có hai nghiệm phân biệt. do đó hàm số \(y = |f(x)|\) có 3 điểm cực trị (thỏa mãn)
\(m – 1 < 0 \Rightarrow m = 0 \Rightarrow f(x) = {x^4} + 2{x^2} – 3\) có 1 diểm cực trị \(x = 0\) và phương trình \(f(x) = 0\) có 2 nghiệm đơn phân biệt. do đó hàm số \(y = |f(x)|\) có 3 điểm cực trị (thỏa mãn)
Ta có \(m – 1 > 0 \Rightarrow m > 1\) khi đó \(f(x)\) có ba điểm cực trị. Vậy yêu cầu bài tóan lúc này tương dương với \(f(x) = 0\) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, tức
\({\Delta ^\prime } = {(m – 1)^2} – (2m – 3) \le 0 \Leftrightarrow {(m – 2)^2} \le 0 \Leftrightarrow m = 2\). Vậy \(m \in \{ 0,1,2\} \).
Chọn đáp án A
Câu 5: Cho hàm số \(y = \left| {{x^4} – 2(m – 1){x^2} + 2m – 3} \right|\). Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đã cho có đúng 5 điểm cực trị là
A. \(\left( {1;\frac{3}{2}} \right)\).
B. \(\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\backslash \{ 2\} \).
C. \((1; + \infty )\backslash \{ 2\} \).
D. \(\left( {1;\frac{3}{2}} \right]\).
Lời giải
Xét \(\begin{array}{l}f(x) = {x^4} – 2(m – 1){x^2} + 2m – 3 \Rightarrow f(x) = 0\\ \Rightarrow \left( {{x^2} – 1} \right)\left( {{x^2} – 2m + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} = 1}\\{{x^2} = 2m – 3}\end{array}} \right.\end{array}\)
TH1: Nếu \(2m – 3 \le 0 \Rightarrow \) Do vậy \(f(x)\) có 2 điểm đổi dấu \(x = – 1;x = 1\). Hàm số \(y = |f(x)|\) có 5 điểm cực trị \(y = f(x)\) có ba điểm cực trị \( \Leftrightarrow ab < 0 \Leftrightarrow – 2(m – 1) < 0 \Leftrightarrow m > 1\)
Vậy trường hợp này có \(1 < m \le \frac{3}{2}\)
TH2: Nếu \(0 < 2m – 3 \ne 1 \Leftrightarrow \frac{3}{2} < m \ne 2\). Khi đó f(x) có bốn điểm đổi dấu \(x = \pm 1;x = \pm \sqrt {2m – 3} \) do đó số điểm cực trị của hàm số f(x) bằng 3 và hàm số \(y = |f(x)|\) có 7 cực trị (loại).
TH3: nếu \(2m – 3 = 1 \Leftrightarrow m = 2 \Rightarrow f(x) = {\left( {{x^2} – 1} \right)^2}\) khi đó \(y = |f(x)| = {\left( {{x^2} – 1} \right)^2}\) có 3 điểm cực trị (loại).
Chọn đáp án D
Câu 6: Có bao nhiêu số nguyên \(m \in ( – 20;20)\) để hàm số \(y = \left| {{x^4} – (m + 1){x^2} + m} \right|\) có 7 điểm cực trị.
A. 18 .
B. 20 .
C. 19 .
D. 21 .
Xét \({x^4} – (m + 1){x^2} + m \Leftrightarrow {x^2} = 1;{x^2} = m(1)\) vậy để hàm số \(y = \left| {{x^4} – (m + 1){x^2} + m} \right|\) có 7 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình \((1)\) có 4 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 0}\\{m \ne 1}\end{array} \Rightarrow m \in \{ 2, \ldots ,19\} } \right.\). có 18 số nguyên thỏa mãn. Chọn đáp án A
Câu 7: Có bao nhiêu số nguyên \(m \in ( – 20;20)\) để hàm số \(y = \left( {{x^2} + 2} \right)\left| {{x^2} – m} \right|\) có đúng 5 điểm cực trị.
A. 1 .
B. 17 .
C. 2 .
D. 16 .
Lời giải
Có \(y = \left( {{x^2} + 2} \right)\left| {{x^2} – m} \right| = \left| {\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {{x^2} – m} \right)} \right| = \left| {{x^4} – (m – 2){x^2} – 2m} \right|\).
Nếu \(m \le 0 \Rightarrow {x^4} – (m – 2){x^2} – 2m \ge 0,\forall x\) nên hàm số đã cho có tối đa ba điểm cực trị (loại).
Nếu \(m > 0 \Rightarrow {x^4} – (m – 2){x^2} – 2m = 0 \Leftrightarrow {x^2} = m \Leftrightarrow x = \pm \sqrt m \). Vậy điều kiện là hàm số \(y = {x^4} – (m – 2){x^2} – 2m\) có ba điểm cực trị \( \Leftrightarrow – (m – 2) < 0 \Leftrightarrow m > 2 \Rightarrow m \in \{ 3, \ldots ,19\} \). Có 17 số nguyên thoả mãn.
Chọn đáp án B.
Câu 8: Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số \(y = \left| {{x^3} + (2m – 1){x^2} + \left( {2{m^2} – 2m – 9} \right)x – 2{m^2} + 9} \right|\) có 5 điểm cực trị.
A. 7 .
B. 5 .
C. 6 .
D. 4 .
\(\begin{array}{l}ycbt \Leftrightarrow {x^3}(2m – 1){x^2} + \left( {2{m^2} – 2m – 9} \right)x – 2{m^2} + 9\\ \Leftrightarrow (x – 1)\left( {{x^2} + 2mx + 2{m^2} – 9} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{{x^2} + 2mx + 2{m^2} – 9 = 0}\end{array}} \right.\end{array}\)
Có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\Delta ^\prime } = {m^2} – \left( {2{m^2} – 9} \right) > 0}\\{1 + 2m + 2{m^2} – 9 \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ – 3 < m < 3}\\{m \ne \frac{{ – 1 \pm \sqrt {17} }}{2}}\end{array} \Rightarrow m \in \{ – 2, – 1,0,1,2\} } \right.} \right.\)
Câu 9: Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số \(y = |x{|^3} – 3m{x^2} + 3\left( {{m^2} – 4} \right)|x| + 1\) có đúng 3 điểm cực trị.
A. 3 .
B. 5 .
C. 6 .
D. 4 .
Ta có \(ycbt \Leftrightarrow y = {x^3} – 3m{x^2} + 3\left( {{m^2} – 4} \right)x + 1\) có đúng một điểm cực trị dương \( \Leftrightarrow {y^\prime } = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 6mx + 3\left( {{m^2} – 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x = m – 2;x = m + 2\) có đúng một nghiệm dương \( \Leftrightarrow m – 2 \le 0 < m + 2 \Leftrightarrow – 2 < m \le 2 \Rightarrow m \in \{ – 1,0,1,2\} \). Chọn đáp án D.
Câu 10: Có bao nhiêu số nguyên \(m \in ( – 10;10)\) để hàm số \(y = |x{|^3} – 3m{x^2} + 3\left( {{m^2} – 4} \right)|x| + 1\) có đúng 5 điểm cực trị.
A. 3 .
B. 6 .
C. 8 .
D. 7 .
Lời giải
Ta có \(ycbt \Leftrightarrow y = {x^3} – 3m{x^2} + 3\left( {{m^2} – 4} \right)x + 1\) có hai điểm cực trị dương \( \Leftrightarrow {y^\prime } = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 6mx + 3\left( {{m^2} – 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x = m – 2;x = m + 2\) có hai nghiệm dương \( \Leftrightarrow m – 2 > 0 \Rightarrow m \in \{ 3, \ldots ,9\} \). Chọn đáp án D.
Câu 11: Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số \(y = \left| {3{x^5} – 15{x^3} – 60x + m} \right|\) có 5 điểm cực trị.
A. 289 .
B. 287 .
C. 286 .
D. 288 .
Lời giải
Xét \(y = 3{x^5} – 15{x^3} – 60x\) có \({y^\prime } = 0 \Leftrightarrow 15{x^4} – 45{x^2} – 60 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2\)
Vậy hàm số \(y = 3{x^5} – 15{x^3} – 60x\) có đúng 2 điểm cực trị \(x = 2;x = – 2\)
Bảng biến thiên
Vậy để hàm số có 5 điểm cực trị \( \Leftrightarrow 3{x^5} – 15{x^3} – 60x + m = 0 \Leftrightarrow – m = 3{x^5} – 15{x^3} – 60x\) có tổng số nghiệm đơn và bội lẻ bằng 3 , tức \( – 144 < – m < 144 \Leftrightarrow – 144 < m < 144 \Rightarrow m \in \{ – 143,..,143\} \). Có 287 số nguyên thỏa mãn. Chọn đáp án B
Xem thêm