Chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác vuông

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

Phần 1: Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

A. Lý thuyết và Phương pháp giải

    Cho ΔABC, góc A bằng 90⁰, AH ⊥ BC, AB = c, AC = b, BC = a, AH = h thì:

        + BH = c’ được gọi là hình chiếu của AB xuống BC

        + CH = b’ được gọi là hình chiếu của AC xuống BC

    Khi đó, ta có:

 

    1) AB² = BH.BC hay c² = a.c’

    AC² = CH.BC hay b² = a.b’

    2) AH² = CH.BH hay h² = b’.c’

    3) AB.AC = AH.BC hay b.c = a.h

    5) AB² + AC² = BC² hay b² + c² = a² (Định lý Pytago)

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB < AC. Biết AH = 6 cm, HC – HB = 3,5 cm. Tính độ dài AB, AC

Lời giải:

    Ta có: AH² = BH.CH ⇒ BH.CH = 36

    Mặt khác: CH – BH = 3,5 (1)

    ⇒ (CH – BH)² = 3,5² = 12,25

    Ta có: (CH + BH)² = (CH – BH)² + 4BH.CH = 12,25 + 4.36 = 156,25

    ⇒ CH + BH = √156,25 = 12,5 (2)

    Từ (1) và (2) ⇒ CH = 8; BH = 4,5

    Ta có: AB² = BH.BC = 4,5.12,5 = 56,25 ⇒ AB = 7,5 (cm)

    AC² = CH.BC = 8.12,5 = 100 ⇒ AB = 10 (cm)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E là hình chiếu của H trên AB và AC. Đặt BC = a; CA = b; AB = c; AH = h; BD = x; CE = y. Chứng minh rằng:

    a) a²x = c³; a²y = b³

    b) axy = h³

Lời giải:

    a) Đặt BH = c’; CH = b’

    Xét ΔBDH và ΔBAC có:

    ⇒ a.x = c.c’

    ⇒ a.a.x = a.c.c’ hay a²x = a.c.c’

    Mặt khác a.c’ = c² nên a²x = c.c² ⇒ a²x = c³

    Chứng minh tương tự, ta được a²y = b³

    b) Ta có: a²x.a²y = c³.b³

    Lại có: b.c = a.h nên a⁴.xy = a³h³

    ⇒ a.xy = h³

Ví dụ 3: Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng xy và cách đường thẳng xy là 3 cm. Gọi M là điểm di động trên xy. Vẽ tam giác ABC vuông tại A sao cho AM là đường cao của tam giác đó. Tính giá trị nhỏ nhất của tích MB.MC

Lời giải:

    Gọi H là hình chiếu của A trên xy, H là điểm cố định và AH = 3cm

    Ta có: AM ≥ AH ( dấu bằng xảy ra khi M trùng H)

    Xét tam giác ABC vuông tại A có AM là đường cao nên :

    MB.MC = AM² ≥ AH² = 3² = 9

    Do đó, tích MB. MC đạt giá trị nhỏ nhất là 9 khi M trùng H

Phần 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

A. Lý thuyết và Phương pháp giải

1. Định nghĩa

 

 

2. Định lí

    Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc này bằng cotang góc kia.

3. Một số hệ thức cơ bản

4. So sánh các tỉ số lượng giác

    a) Cho α,β là hai góc nhọn. Nếu α < β thì

    * sinα < sinβ; tanα < tanβ

    *cosα > cosβ; cotα > cotβ

    b) sinα < tanα; cosα < cotα

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho ΔABC với .Chứng minh rằng:

Lời giải:

    Kẻ AH vuông góc với BC, H ∈ BC

    Ta có: S_ABC = 1/2.AH.BC (1)

    Xét tam giác ABH vuông tại H có:

    sinB = AH/AB ⇒ AH = AB.sinB (2)

    Từ (1) và (2),ta có

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, góc A bằng 60⁰. Vẽ các đường cao AD và CE. Chứng minh rằng: BC = 2DE

Lời giải:

    Ta có: ΔABD ~ ΔACE (g.g)

    Xét ΔADE và ΔABC có:

    ⇒ ΔADE ~ ΔABC (c.g.c)

    Vậy BC = 2DE

Ví dụ 3: Chứng minh rằng giá trị cuả các biểu thức sau không phụ thuộc vào số đo của góc nhọn α

    a) A = cos⁴α + 2cos²α.sin²α + sin⁴α

    b) B = sin⁴α + cos²α.sin²α + cos²α

Lời giải:

    a) A = cos⁴ α + 2cos² α.sin² α + sin⁴ α

    =(cos² α + sin² α)² = 1² = 1

    b) B = sin⁴ α + cos² α.sin² α + cos² α

    = sin² α(sin² α + cos² α) + cos² α

    = sin² α.1 + cos² α = 1

    = 2(1 + tan² α) – 2tan² α = 2

Ví dụ 4: Không dùng bảng số hay máy tính , hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần: cos 65⁰; sin 20⁰; cot 40⁰, tan 48⁰

Lời giải:

    Ta có: cos 65⁰ = sin 25⁰; cot 40⁰ = tan ⁡ 50⁰

    Sắp xếp: sin 20⁰ < sin 25⁰ < sin 48⁰ < tan 48⁰ < tan ⁡ 50⁰

    Do đó: sin 20⁰ < cos 65⁰ < tan 48⁰ < cot 40⁰

Ví dụ 5: Chứng minh định lí sin: Trong tam giác nhọn, độ dài các cạnh tỉ lệ với sin của các góc đối diện:

Lời giải:

    Vẽ đường cao CH, ta có:

    Do đó:

    Chứng minh tương tự, ta có:

    Vậy

Phần 3: Hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông

A. Lý thuyết và Phương pháp giải

1. Các hệ thức

 

    Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

    a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos góc kề

    b) Cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc cot góc kề

    b = a.sinB = a.cosC

    c = a.sinC = a.cosB

    b = c.tanB = c.cotC

    c = b.tanB = b.cotC

2. Giải tam giác vuông

    Là tìm tất cả các yếu tố còn lại của một tam giác vuông khi biết trước hai yếu tố (trong đó có ít nhất một yếu tố về cạnh và không kể góc vuông)

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải tam giác ABC vuông tại A biết AC = 4,1 cm; BC = 5,7 cm

Lời giải:

    Xét tam giác ABC vuông tại A:

    Áp dụng định lí Pytago có:

    BC² = AB² + AC²

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nhọn, Vẽ 3 đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng:

    AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC

Lời giải:

    ΔABE vuông tại E có: AE = AB.cosA

    ΔFBC vuông tại F có: BF = BC.cosB

    ΔADC vuông tại D có: CD = AC.cosC

    ⇒ AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC

Ví dụ 3: Cho tam giác nhọn ABC, AB < AC, đường cao AH = h và đường trung tuyến AM, đặt góc HAM bằng α. Chứng minh rằng:

    a) HC – HB = 2h.tan⁡α

Lời giải:

    a) Ta có:

    HC – HB = HM + MC – (MB – HM)

    = HM + MC – MB + HM = 2HM (Do MB = MC)

    = 2AH.tan⁡α = 2h.tan⁡α

    b) Δ AHC vuông tại H có: HC = AH.cot⁡C = h.cot⁡C

    Δ AHB vuông tại H có: HB = AH.cot⁡B = h.cot⁡B

    Do đó: HC – HB = h(cot⁡C – cot⁡B)

    ⇒ 2h.tan⁡α = h(cot⁡C – cot⁡B)

Ví dụ 4: Tam giác ABC có diện tích S, các đường cao không nhỏ hơn 1 cm. Chứng minh rằng S ≥ √3/3 cm²

Lời giải:

    Giả sử: 

    Suy ra sin⁡C ≤ √3/2

    Vẽ các đường cao AD và BE

    Xét tam giác EBC vuông tại E có: BE = BC.sinC

    Diện tích tam giác ABC là:

    Vậy S ≥ √3/3 cm² (dấu bằng xảy ra khi ΔABC đều)

Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD, góc D bằng α < 90⁰. Vẽ BH ⊥ CD; BK ⊥ AD.

    a) Chứng minh rằng ΔBHK ~ ΔABD

    b) Chứng minh rằng HK = BD.sinα

    c) Tính diện tích tứ giác KBHD biết AB = 6cm; AD = 4cm; α= 60⁰

Lời giải:

    Xét tam giác ABK và tam giác CBH có:

    Xét ΔBHK và ΔADB có:

    ⇒ ΔBHK ~ ΔADB (c.g.c)

    b) ΔBHK ~ ΔADB

    Xét ΔBCH vuông tại H có:

    c) Xét ΔKAB vuông tại K có:

    AK = AB.cosα = 6.cos 60⁰ = 3(cm) ⇒ DK = 7cm

    BK = AB.sinα = 6.sin 60⁰ =3 √3 (cm)

    Xét ΔHBC vuông tại H có:

    CH = BC.cosα = 4.cos 60⁰ = 2(cm) ⇒ DH = 8cm

    BH = BC.sinα = 4.sin 60⁰ = 2√3 (cm)

    Diện tích tứ giác KBHD là:

Phần 4: Cách tính diện tích tam giác bằng tỉ số lượng giác

Ví dụ 1: Chứng minh rằng diện tích của một tam giác bằng nửa tích hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy

 

Lời giải:

 

    Gọi α là số đo góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng AB và AC của tam giác ABC. Vẽ đường cao CH

    Xét tam giác ACH vuông tại H có: CH = AC.sin⁡α

    Diện tích tam giác ABC là:

Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD, AB = a, AD = b, góc D bằng α < 90⁰. Chứng minh rằng diện tích của hình bình hành được tính theo công thức S = a.b.sin⁡α

Lời giải:

    Vẽ đường cao AH. Ta có: AH = AD.sin⁡α

    Diện tích của hình bình hành ABCD là:

    S = AB.AH = AB.AB.sin⁡α = a.b.sin⁡α

Ví dụ 3: Tứ giác ABCD có AC = m, BD = n, góc nhọn tạo bởi hai đường chéo bằng α. Chứng minh rằng diện tích của tứ giác này được tính theo công thức

    S = 1/2.m.n.sin⁡α

Lời giải:

    Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

    Giả sử góc BOC bằng α. Vẽ AH ⊥ BD; CK ⊥ BD

    Diện tích tứ giác ABCD là:

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC, góc A bằng 60⁰; AB + AC = 8 cm. Tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC

Lời giải:

    Gọi S là diện tích của tam giác ABC. Ta có:

    Mặt khác:

    Dấu bằng xảy ra khi AB = AC = 4 cm

    Do đó:

    Vậy maxS = 4√3 (cm² ) khi tam giác ABC cân tại A

    Lưu ý: Trong bài giải, ta đã sử dụng bất đẳng thức a.b ≤ ((a + b)/2)² đây chính là Bất đẳng thức Cô- si viết dưới dạng không có dấu căn.