Bài 5. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Các bước khảo sát hàm số

1. Tìm tập xác định (TXĐ)
2. Xét sự biến thiên:
   • Tính đạo hàm $y'$
   • Tìm nghiệm $y' = 0$ và các điểm $y'$ không xác định
   • Xét dấu $y'$, suy ra chiều biến thiên
   • Tìm cực trị (nếu có)
   • Tính giới hạn tại vô cực và các điểm đặc biệt
   • Tìm tiệm cận (nếu có)
   • Lập bảng biến thiên
3. Vẽ đồ thị:
   • Vẽ tiệm cận (nét đứt)
   • Đánh dấu điểm cực trị, giao với trục
   • Vẽ đường cong dựa vào bảng biến thiên

Tính chất

• TXĐ: $\mathbb{R}$
• Đạo hàm: $y' = 3ax^2 + 2bx + c$
• Cực trị:
  • Nếu $\Delta' = b^2 - 3ac > 0$: Có 2 cực trị
  • Nếu $\Delta' \leq 0$: Không có cực trị (đơn điệu trên $\mathbb{R}$)
• Giới hạn:
  • Nếu $a > 0$: $\lim_{x \to -\infty} y = -\infty$, $\lim_{x \to +\infty} y = +\infty$
  • Nếu $a < 0$: $\lim_{x \to -\infty} y = +\infty$, $\lim_{x \to +\infty} y = -\infty$
• Đồ thị: Có dạng chữ S, đối xứng tâm qua điểm uốn

Điểm đặc biệt cần tìm

• Giao với $Oy$: Cho $x = 0 \Rightarrow y = d$
• Giao với $Ox$: Giải $y = 0$ (nếu có nghiệm đẹp)
• Các điểm cực trị

Tính chất

• TXĐ: $\mathbb{R}$
• Tính chẵn: $f(-x) = f(x)$ nên đồ thị đối xứng qua trục $Oy$
• Đạo hàm: $y' = 4ax^3 + 2bx = 2x(2ax^2 + b)$
• Cực trị:
  • Luôn có cực trị tại $x = 0$
  • Nếu $ab < 0$: Có 3 cực trị (tại $x = 0$ và $x = \pm\sqrt{-\frac{b}{2a}}$)
  • Nếu $ab \geq 0$: Có 1 cực trị (tại $x = 0$)
• Giới hạn: Cả hai phía đều tiến về cùng vô cực:
  • Nếu $a > 0$: $\lim_{x \to \pm\infty} y = +\infty$
  • Nếu $a < 0$: $\lim_{x \to \pm\infty} y = -\infty$

Tính chất

• TXĐ: $\mathbb{R} \setminus \{-\frac{d}{c}\}$
• Đạo hàm: $y' = \dfrac{ad - bc}{(cx + d)^2}$
• Biến thiên:
  • Nếu $ad - bc > 0$: Hàm đồng biến trên mỗi khoảng xác định
  • Nếu $ad - bc < 0$: Hàm nghịch biến trên mỗi khoảng xác định
• Tiệm cận:
  • Tiệm cận đứng: $x = -\frac{d}{c}$
  • Tiệm cận ngang: $y = \frac{a}{c}$
• Tâm đối xứng: Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận $I(-\frac{d}{c}; \frac{a}{c})$ làm tâm đối xứng

Nguyên tắc vẽ

• Vẽ tiệm cận trước (nếu có) bằng nét đứt
• Đánh dấu các điểm đặc biệt: cực trị, giao với trục tọa độ
• Chú ý chiều biến thiên từ bảng biến thiên
• Đồ thị phải trơn, không gấp khúc
• Đồ thị hàm bậc ba: dạng chữ S
• Đồ thị hàm bậc bốn trùng phương: dạng chữ U hoặc chữ M
• Đồ thị hàm phân thức: 2 nhánh cong ở 2 phía tiệm cận đứng

Cách tìm thêm điểm

Nếu cần thêm điểm để vẽ chính xác, chọn các giá trị $x$ đẹp và tính $y$ tương ứng.