Bài 1. Hàm số lượng giác
Bài học cung cấp kiến thức nền tảng về các hàm số sin, cos, tan, cot bao gồm định nghĩa, tập xác định, tính tuần hoàn, tính chẵn lẻ và đồ thị.
Lý thuyết
1 1. Định nghĩa các hàm số lượng giác
Quy tắc đặt tương ứng
Trên đường tròn lượng giác, với mỗi điểm $M(x;y)$ ứng với cung lượng giác có số đo $\alpha$:
- Hàm số sin: Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực $\alpha$ với tung độ của điểm M được gọi là hàm số sin, kí hiệu $y = \sin \alpha$.
- Hàm số cos: Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực $\alpha$ với hoành độ của điểm M được gọi là hàm số côsin, kí hiệu $y = \cos \alpha$.
- Hàm số tan: Là hàm số được xác định bởi công thức: $y = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ $(\cos x \neq 0)$.
- Hàm số cot: Là hàm số được xác định bởi công thức: $y = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ $(\sin x \neq 0)$.
2
| Hàm số | Tập xác định ($D$) | Tập giá trị ($T$) |
|---|---|---|
| $y = \sin x$ | $\mathbb{R}$ | $[-1; 1]$ |
| $y = \cos x$ | $\mathbb{R}$ | $[-1; 1]$ |
| $y = \tan x$ | $\mathbb{R} \setminus \{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \}$ | $\mathbb{R}$ |
| $y = \cot x$ | $\mathbb{R} \setminus \{ k\pi, k \in \mathbb{Z} \}$ | $\mathbb{R}$ |
3
Hàm số $y=f(x)$ có tập xác định $D$ được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số $T \neq 0$ sao cho với mọi $x \in D$ ta có:
- $x - T \in D$ và $x + T \in D$
- $f(x+T) = f(x)$
Số dương $T$ nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên (nếu có) được gọi là chu kì cơ sở của hàm số.
Kết luận:
- Hàm số $y=\sin x$ và $y=\cos x$ tuần hoàn với chu kì $T = 2\pi$.
- Hàm số $y=\tan x$ và $y=\cot x$ tuần hoàn với chu kì $T = \pi$.
4
- Hàm số $y = \cos x$ là hàm số chẵn. Đồ thị nhận trục tung $Oy$ làm trục đối xứng.
$\cos(-x) = \cos x$ - Các hàm số $y = \sin x$, $y = \tan x$, $y = \cot x$ là các hàm số lẻ. Đồ thị nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đối xứng.
$\sin(-x) = -\sin x$; $\tan(-x) = -\tan x$.
5
Đồ thị hàm số $y = \sin x$
Đồ thị là một đường hình sin, đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$, nằm trong dải giữa hai đường thẳng $y=-1$ và $y=1$.
Đồ thị hàm số $y = \cos x$
Có hình dạng giống đồ thị sin nhưng được tịnh tiến sang trái một đoạn $\frac{\pi}{2}$. Đi qua điểm $(0;1)$.
6
Đồ thị hàm số $y = \tan x$
Đồ thị bao gồm các nhánh vô tận, nhận các đường thẳng $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ làm tiệm cận đứng. Hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
Các dạng bài tập
1 Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
Để tìm tập xác định của hàm số lượng giác, ta cần lưu ý các điều kiện sau:
- Hàm số $y = \sqrt{f(x)}$ xác định khi $f(x) \ge 0$.
- Hàm số $y = \frac{1}{f(x)}$ xác định khi $f(x) \neq 0$.
- $y = \tan u(x)$ xác định khi $u(x) \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$.
- $y = \cot u(x)$ xác định khi $u(x) \neq k\pi$.
Ví dụ minh họa
Lời giải:
Hàm số xác định khi và chỉ khi mẫu số khác 0:
$$ \cos x \neq 0 \iff x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad (k \in \mathbb{Z}) $$Vậy tập xác định là $D = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \}$.
Lời giải:
Hàm số xác định khi biểu thức dưới dấu tan khác $\frac{\pi}{2} + k\pi$:
$$ 2x - \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi $$$$ \iff 2x \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + k\pi $$$$ \iff 2x \neq \frac{5\pi}{6} + k\pi $$$$ \iff x \neq \frac{5\pi}{12} + k\frac{\pi}{2}, \quad (k \in \mathbb{Z}) $$Vậy $D = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{5\pi}{12} + k\frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \}$.
2 Dạng 2: Xét tính chẵn, lẻ và tính tuần hoàn
Xét tính chẵn lẻ:
- Tìm tập xác định $D$. Kiểm tra tính đối xứng: $\forall x \in D \Rightarrow -x \in D$.
- Tính $f(-x)$ và so sánh với $f(x)$:
- Nếu $f(-x) = f(x) \Rightarrow$ Hàm số chẵn.
- Nếu $f(-x) = -f(x) \Rightarrow$ Hàm số lẻ.
Xét tính tuần hoàn: Hàm số $y = k \cdot \sin(ax+b)$ hoặc $y = k \cdot \cos(ax+b)$ có chu kì $T = \frac{2\pi}{|a|}$.
Ví dụ minh họa
Lời giải:
TXĐ: $D = \mathbb{R}$ (đối xứng).
Ta có:
$$ f(-x) = 2\sin(-x) \cdot \cos(2(-x)) $$$$ = 2(-\sin x) \cdot \cos(-2x) $$$$ = -2\sin x \cdot \cos 2x \quad (\text{do } \cos \text{ đối}) $$$$ = -f(x) $$Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Lời giải:
Hàm số có dạng $y = \cos(ax) + C$ với $a=3$.
Chu kì của hàm số là:
$$ T = \frac{2\pi}{|a|} = \frac{2\pi}{3} $$3 Dạng 3: Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất
Sử dụng tính chất bị chặn của hàm sin và cos:
$$ -1 \le \sin u(x) \le 1 \quad \text{và} \quad -1 \le \cos u(x) \le 1 $$Từ đó biến đổi bất đẳng thức để tìm GTLN, GTNN của hàm số $y$.
Ví dụ minh họa
Lời giải:
Ta luôn có:
$$ -1 \le \sin x \le 1 $$Nhân cả các vế với 3 (số dương):
$$ -3 \le 3\sin x \le 3 $$Cộng các vế với -2:
$$ -3 - 2 \le 3\sin x - 2 \le 3 - 2 $$$$ -5 \le y \le 1 $$Vậy $y_{min} = -5$ và $y_{max} = 1$.
Lời giải:
Ta có $-1 \le \cos 2x \le 1$.
Suy ra:
$$ 0 \le 1 + \cos 2x \le 2 $$$$ \Rightarrow 0 \le \sqrt{1 + \cos 2x} \le \sqrt{2} $$Cộng thêm 3 vào các vế:
$$ 3 \le \sqrt{1 + \cos 2x} + 3 \le 3 + \sqrt{2} $$Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $3 + \sqrt{2}$.
Sẵn sàng thử thách bản thân?
Hoàn thành 5 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài
Làm bài tập ngayBài học trong chương: Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Đây là bài đầu tiên
Bài tiếp theo
Bài 1. Tính đơn điệu của hàm số