Bài 4: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Định nghĩa

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$ là bất phương trình có dạng:

$$ax + by < c$$ hoặc $$ax + by \leq c$$ hoặc $$ax + by > c$$ hoặc $$ax + by \geq c$$

trong đó $a, b, c$ là các số thực cho trước, $a$ và $b$ không đồng thời bằng 0.

Ví dụ

• $2x + 3y < 6$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn
• $x - 4y \geq 8$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn
• $-3x + y \leq 0$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Chú ý

• Ký hiệu $<$ có thể thay bằng $\leq$, $>$, $\geq$
• Các hệ số $a, b$ không đồng thời bằng 0 (nghĩa là ít nhất một trong hai số $a, b$ khác 0)

Định nghĩa

Cặp số $(x_0; y_0)$ được gọi là một nghiệm của bất phương trình $ax + by < c$ nếu thay $x = x_0$, $y = y_0$ vào bất phương trình ta được một mệnh đề đúng.

Ví dụ

Xét bất phương trình $2x + y < 5$

• Cặp số $(1; 2)$ là nghiệm vì $2(1) + 2 = 4 < 5$ ✓
• Cặp số $(2; 3)$ không là nghiệm vì $2(2) + 3 = 7 \not< 5$ ✗
• Cặp số $(0; 0)$ là nghiệm vì $2(0) + 0 = 0 < 5$ ✓

Nhận xét

Một bất phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm. Tập hợp tất cả các nghiệm được gọi là tập nghiệm của bất phương trình.

Đường thẳng biên

Xét bất phương trình $ax + by < c$ (hoặc $\leq$, $>$, $\geq$)

Đường thẳng $(d): ax + by = c$ gọi là đường thẳng biên của bất phương trình.

Miền nghiệm

Đường thẳng biên $(d)$ chia mặt phẳng tọa độ thành hai nửa mặt phẳng:

• Một nửa mặt phẳng chứa các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình
• Nửa mặt phẳng còn lại chứa các điểm không thỏa mãn

Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng (kể cả bờ hoặc không kể bờ) chứa các điểm thỏa mãn bất phương trình.

Quy ước về bờ

• Với $<$ hoặc $>$: đường thẳng biên không thuộc miền nghiệm (vẽ nét đứt)
• Với $\leq$ hoặc $\geq$: đường thẳng biên thuộc miền nghiệm (vẽ nét liền)

Các bước biểu diễn miền nghiệm

1. Bước 1: Vẽ đường thẳng biên $(d): ax + by = c$
   • Tìm hai điểm thuộc $(d)$ (thường chọn giao với hai trục tọa độ)
   • Vẽ nét liền (nếu $\leq$ hoặc $\geq$) hoặc nét đứt (nếu $<$ hoặc $>$)
2. Bước 2: Chọn một điểm thử $M_0(x_0; y_0)$ không nằm trên $(d)$
   • Thường chọn $O(0; 0)$ nếu $(d)$ không qua gốc tọa độ
   • Thay tọa độ $M_0$ vào bất phương trình
3. Bước 3: Xác định miền nghiệm
   • Nếu $M_0$ thỏa mãn bất phương trình: miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa $M_0$
   • Nếu $M_0$ không thỏa mãn: miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa $M_0$
4. Bước 4: Tô (hoặc gạch) miền nghiệm

Ví dụ minh họa

Biểu diễn miền nghiệm của $2x + y \leq 4$

Giải:

• Vẽ đường thẳng $(d): 2x + y = 4$ (nét liền vì có dấu $\leq$)
  • Khi $x = 0$: $y = 4$ → điểm $A(0; 4)$
  • Khi $y = 0$: $x = 2$ → điểm $B(2; 0)$
• Chọn điểm thử $O(0; 0)$: $2(0) + 0 = 0 \leq 4$ ✓ (thỏa mãn)
• Miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ $O$, kể cả đường thẳng $(d)$

Trường hợp 1: $b = 0$

Bất phương trình có dạng $ax < c$ hoặc $ax \leq c$

Ví dụ: $2x < 6 \Leftrightarrow x < 3$

Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bên trái đường thẳng $x = 3$

Trường hợp 2: $a = 0$

Bất phương trình có dạng $by < c$ hoặc $by \leq c$

Ví dụ: $3y \leq 9 \Leftrightarrow y \leq 3$

Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bên dưới đường thẳng $y = 3$

Trường hợp 3: $c = 0$

Bất phương trình có dạng $ax + by < 0$

Đường thẳng biên đi qua gốc tọa độ, cần chọn điểm thử khác $O(0; 0)$

Quy tắc nhanh (khi $b \neq 0$)

Biến đổi bất phương trình về dạng $y < mx + n$ hoặc $y > mx + n$:

• $y < mx + n$: miền nghiệm phía dưới đường thẳng
• $y > mx + n$: miền nghiệm phía trên đường thẳng