Bài 4. Đường tiệm cận

Định nghĩa

Đường thẳng $y = y_0$ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu thỏa mãn một trong các điều kiện:

• $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = y_0$
• $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = y_0$

Ý nghĩa hình học

Khi $x$ tiến ra vô cực (về phía dương hoặc âm), đồ thị hàm số tiến gần đến đường thẳng $y = y_0$ nhưng không cắt (hoặc cắt tại hữu hạn điểm).

Chú ý

• Đồ thị hàm số có thể có 0, 1 hoặc 2 tiệm cận ngang
• Nếu $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = y_0$ thì chỉ có 1 TCN: $y = y_0$
• Nếu hai giới hạn khác nhau thì có 2 TCN

Định nghĩa

Đường thẳng $x = x_0$ được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu thỏa mãn một trong các điều kiện:

• $\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = +\infty$ hoặc $-\infty$
• $\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = +\infty$ hoặc $-\infty$

Ý nghĩa hình học

Khi $x$ tiến gần đến $x_0$, đồ thị hàm số tiến ra vô cực (lên trên hoặc xuống dưới).

Cách tìm nhanh

Với hàm phân thức $y = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$:

• Nếu $Q(x_0) = 0$ và $P(x_0) \neq 0$ thì $x = x_0$ là tiệm cận đứng
• Rút gọn phân thức trước khi tìm TCĐ

Tìm tiệm cận ngang

1. Tính $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$
2. Tính $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$
3. Nếu giới hạn bằng một số $y_0$ thì $y = y_0$ là TCN

Tìm tiệm cận đứng

1. Tìm các điểm $x_0$ mà $f(x)$ không xác định
2. Tính $\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x)$ và $\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x)$
3. Nếu một trong hai giới hạn bằng $\pm \infty$ thì $x = x_0$ là TCĐ

Hàm phân thức hữu tỉ: $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ $(c \neq 0, ad \neq bc)$

• TCĐ: $x = -\dfrac{d}{c}$ (nghiệm của mẫu)
• TCN: $y = \dfrac{a}{c}$ (tỉ số hệ số bậc cao nhất)

Hàm bậc nhất trên bậc hai: $y = \dfrac{ax + b}{cx^2 + dx + e}$

• TCĐ: Nghiệm của $cx^2 + dx + e = 0$ (nếu tử $\neq 0$ tại nghiệm đó)
• TCN: $y = 0$ (vì bậc tử < bậc mẫu)

Hàm bậc hai trên bậc nhất: $y = \dfrac{ax^2 + bx + c}{dx + e}$

• TCĐ: $x = -\dfrac{e}{d}$
• TCN: Không có (vì bậc tử > bậc mẫu)
• Có tiệm cận xiên $y = mx + n$ (nâng cao)