Bài 16. Công thức tính góc
Sử dụng tọa độ để tính góc giữa hai đường thẳng, hai mặt phẳng, và giữa đường thẳng với mặt phẳng.
Lý thuyết
1 1. Góc giữa hai đường thẳng
Cho $\Delta_1$ có VCP $\vec{u}_1(a_1; b_1; c_1)$ và $\Delta_2$ có VCP $\vec{u}_2(a_2; b_2; c_2)$. Gọi $\alpha$ là góc giữa $\Delta_1$ và $\Delta_2$ ($0^\circ \leq \alpha \leq 90^\circ$):
$$\cos \alpha = \dfrac{|\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|} = \dfrac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$$
2 2. Góc giữa hai mặt phẳng
Cho $(P_1)$ có VPT $\vec{n}_1(A_1; B_1; C_1)$ và $(P_2)$ có VPT $\vec{n}_2(A_2; B_2; C_2)$. Gọi $\beta$ là góc giữa $(P_1)$ và $(P_2)$ ($0^\circ \leq \beta \leq 90^\circ$):
$$\cos \beta = \dfrac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \dfrac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$$
3 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng $\Delta$ có VCP $\vec{u}(a; b; c)$ và mặt phẳng $(P)$ có VPT $\vec{n}(A; B; C)$. Gọi $\phi$ là góc giữa $\Delta$ và $(P)$ ($0^\circ \leq \phi \leq 90^\circ$):
$$\sin \phi = \dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|} = \dfrac{|Aa + Bb + Cc|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$
Lưu ý: Góc giữa đường và mặt dùng sin, trong khi hai trường hợp còn lại dùng cos.
Các dạng bài tập
1 Dạng 1: Tính góc giữa hai đường thẳng
Phương pháp giải
- Xác định VCP $\vec{u}_1, \vec{u}_2$.
- Áp dụng công thức $\cos \alpha = \dfrac{|\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|}$.
Ví dụ minh họa
$\vec{u}_1(1; -1; 0), \vec{u}_2(0; 0; 1)$.
$\cos \alpha = \dfrac{|1(0) - 1(0) + 0(1)|}{\sqrt{2} \cdot 1} = 0 \Rightarrow \alpha = 90^\circ$.
$\cos \alpha = \dfrac{|1\cdot 1 + 0\cdot 1 + 1\cdot 0|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 60^\circ$.
2 Dạng 2: Tính góc giữa hai mặt phẳng
Phương pháp giải
- Xác định VPT $\vec{n}_1, \vec{n}_2$.
- Áp dụng công thức $\cos \beta = \dfrac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}$.
Ví dụ minh họa
VPT $\vec{n}_1(1; 0; 0)$ và $\vec{n}_2(1; -1; 0)$.
$\cos \beta = \dfrac{|1\cdot 1 + 0(-1) + 0|}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \beta = 45^\circ$.
$\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2} = \dfrac{|1(2) + m(-1) + (-1)(1)|}{\sqrt{1+m^2+1} \cdot \sqrt{4+1+1}} = \dfrac{|1-m|}{\sqrt{m^2+2}\cdot\sqrt{6}}$.
$\sqrt{6(m^2+2)} = 2|1-m| \Rightarrow 6m^2 + 12 = 4(1 - 2m + m^2) \Rightarrow 2m^2 + 8m + 8 = 0 \Rightarrow m = -2$.
3 Dạng 3: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp giải
- Xác định VCP $\vec{u}$ của đường và VPT $\vec{n}$ của mặt.
- Áp dụng công thức $\sin \phi = \dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}$.
Ví dụ minh họa
VCP $\vec{u}(1; -1; 0)$, VPT $\vec{n}(0; 0; 1)$.
$\sin \phi = \dfrac{|1 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 + 0 \cdot 1|}{\sqrt{2} \cdot 1} = 0 \Rightarrow \phi = 0^\circ$.
$d \perp (Q) \Rightarrow \vec{u}_d = \vec{n}_Q = (1; 1; 1)$.
$(P)$ có $\vec{n}_P(1; -1; 0)$.
$\sin \phi = \dfrac{|1(1) + 1(-1) + 1(0)|}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}} = 0 \Rightarrow \phi = 0^\circ$.
Sẵn sàng thử thách bản thân?
Hoàn thành 10 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài
Làm bài tập ngay