Bài 1. Tính đơn điệu của hàm số

Hàm số đồng biến

Hàm số $y = f(x)$ được gọi là đồng biến trên khoảng $(a; b)$ nếu:

$$\forall x_1, x_2 \in (a; b): x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$$

Hàm số nghịch biến

Hàm số $y = f(x)$ được gọi là nghịch biến trên khoảng $(a; b)$ nếu:

$$\forall x_1, x_2 \in (a; b): x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$$

Ý nghĩa hình học

• Hàm số đồng biến: Đồ thị đi lên từ trái sang phải
• Hàm số nghịch biến: Đồ thị đi xuống từ trái sang phải

Định lý

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $(a; b)$:

• Nếu $f'(x) > 0, \forall x \in (a; b)$ thì $f(x)$ đồng biến trên $(a; b)$
• Nếu $f'(x) < 0, \forall x \in (a; b)$ thì $f(x)$ nghịch biến trên $(a; b)$
• Nếu $f'(x) = 0, \forall x \in (a; b)$ thì $f(x)$ hằng số trên $(a; b)$

Chú ý quan trọng

Nếu $f'(x) \geq 0$ (hoặc $f'(x) \leq 0$) trên $(a; b)$ và $f'(x) = 0$ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số vẫn đơn điệu trên $(a; b)$

Các bước thực hiện

1. Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
2. Bước 2: Tính đạo hàm $f'(x)$
3. Bước 3: Tìm nghiệm của $f'(x) = 0$ và các điểm $f'(x)$ không xác định
4. Bước 4: Lập bảng biến thiên, xét dấu $f'(x)$
5. Bước 5: Kết luận:

• $f'(x) > 0$ trên khoảng nào thì hàm đồng biến trên khoảng đó
• $f'(x) < 0$ trên khoảng nào thì hàm nghịch biến trên khoảng đó

Hàm số bậc ba: $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ $(a \neq 0)$

• Tính $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$
• Giải phương trình $f'(x) = 0$
• Nếu $\Delta' = b^2 - 3ac < 0$: Hàm số đơn điệu trên $\mathbb{R}$
• Nếu $\Delta' \geq 0$: Có hai nghiệm phân biệt, hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến

Hàm số bậc bốn trùng phương: $y = ax^4 + bx^2 + c$ $(a \neq 0)$

• $f'(x) = 4ax^3 + 2bx = 2x(2ax^2 + b)$
• Luôn có $x = 0$ là nghiệm
• Xét thêm nghiệm của $2ax^2 + b = 0$

Hàm số nhất biến: $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ $(c \neq 0, ad - bc \neq 0)$

• $f'(x) = \dfrac{ad - bc}{(cx + d)^2}$
• Dấu của $f'(x)$ phụ thuộc vào dấu của $ad - bc$
• Hàm số luôn đơn điệu trên từng khoảng xác định