Chương IV: Vectơ

Bài 7: Các khái niệm mở đầu

Làm quen với khái niệm vectơ, các đặc trưng của vectơ như phương, hướng, độ dài và các quan hệ giữa các vectơ.

🟢 Dễ 90 phút

Lý thuyết trọng tâm

1 1. Định nghĩa vectơ

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng, đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối.

Vectơ có điểm đầu $A$ và điểm cuối $B$ được kí hiệu là $\vec{AB}$.
Để vẽ một vectơ, ta vẽ đoạn thẳng $AB$ và đánh dấu mũi tên ở điểm cuối $B$.
Vectơ còn được kí hiệu là $\vec{a}, \vec{b}, \vec{x}, \vec{y},...$ khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối.

2 2. Độ dài của vectơ

Độ dài của vectơ $\vec{AB}$ là khoảng cách giữa điểm đầu $A$ và điểm cuối $B$, kí hiệu là $|\vec{AB}|$. Như vậy $|\vec{AB}| = AB$.

Độ dài của vectơ $\vec{a}$ được kí hiệu là $|\vec{a}|$.

3 3. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng

Giá của vectơ: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.
Vectơ cùng phương: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
Vectơ cùng hướng/ngược hướng: Hai vectơ cùng phương thì chúng chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

4 4. Hai vectơ bằng nhau

Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài.

Kí hiệu: $\vec{a} = \vec{b}$ nếu $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ và $\vec{a}, \vec{b}$ cùng hướng.

5 5. Vectơ-không

Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là vectơ-không, kí hiệu là $\vec{0}$.

Vectơ $\vec{0}$ có độ dài bằng $0$.
Quy ước: Vectơ $\vec{0}$ cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ.

Các dạng bài tập

1 Dạng 1: Nhận biết các yếu tố của vectơ

Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa về điểm đầu, điểm cuối, giá, phương, hướng của vectơ.
Từ $n$ điểm phân biệt, số vectơ khác $\vec{0}$ có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đã cho là $n(n-1)$.

Ví dụ minh họa

VÍ DỤ 1

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của tam giác?

GIẢI

Các vectơ thỏa mãn yêu cầu là: $\vec{AB}, \vec{BA}, \vec{AC}, \vec{CA}, \vec{BC}, \vec{CB}$.

Vậy có tất cả $6$ vectơ.

2 Dạng 2: Xác định độ dài vectơ

Phương pháp giải

Để tính độ dài $|\vec{AB}|$, ta tính độ dài đoạn thẳng $AB$ dựa trên các hệ thức lượng trong tam giác hoặc các hình học đặc biệt (hình vuông, hình chữ nhật).

Ví dụ minh họa

VÍ DỤ 1

Ví dụ: Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Tính $|\vec{AC}|$.

GIẢI

Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $|\vec{AC}| = AC$.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông $ABC$: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Vậy $|\vec{AC}| = a\sqrt{2}$.

3 Dạng 3: Vectơ bằng nhau và cùng phương

Phương pháp giải

Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng hướng và cùng độ dài.
Sử dụng tính chất của các hình (hình bình hành, hình vuông,...) để tìm các vectơ bằng nhau.

Ví dụ minh họa

VÍ DỤ 1

Ví dụ: Cho hình bình hành $ABCD$. Hãy chỉ ra các vectơ bằng vectơ $\vec{AB}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình bình hành.

GIẢI

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB // CD$ và $AB = CD$.

Vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{DC}$ có cùng hướng và cùng độ dài.

Vậy $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Sẵn sàng thử thách bản thân?

Hoàn thành 10 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài

Làm bài tập ngay

Bài học trong chương: Chương IV: Vectơ

Đây là bài đầu tiên

Bài tiếp theo

Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

90 phút 🟡 TB