Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Bài 4: Nhị thức Newton sách Cánh diều hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 10.
Lý thuyết Toán lớp 10 Bài 4: Nhị thức Newton
A. Lý thuyết
Công thức nhị thức Newton (a + b)n ứng với n = 4 ; n = 5 :
• (a + b)4 = a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4
= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4.
• (a + b)5 = a5 + a4b + a3b2 + a2b3 + ab4 + b5
= a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5.
Ví dụ:
a) Khai triển (2 + x)4 ;
b) Khai triển (x – 3)5.
Hướng dẫn giải
a) Ta có :
(2 + x)4 = 24 + 23.x + 22x2 + 2.x3 + x4
= 24 + 4.23x + 6.22.x2 + 4.2.x3 + x4
= 16 + 32x + 24x2 + 8x3 + x4.
Vậy (2 + x)4 = 16 + 32x + 24x2 + 8x3 + x4.
b) Ta có :
(x – 3)5 = x5 + x4.(–3) + x3.(–3)2 + x2.(–3)3 + x.(–3)4 + (–3)5
= x5 + 5x4.(–3) + 10x3.(–3)2 + 10x2.(–3)3 + 5x.(–3)4 + (–3)5
= x5 – 15x4 + 90x3 – 270x2 + 405x – 243.
Vậy (x – 3)5 = x5 – 15x4 + 90x3 – 270x2 + 405x – 243.
B. Bài tập tự luyện
B.1 Bài tập tự luận
Bài 1. Cho tập hợp E có 4 phần tử. Tính số tập con của E.
Hướng dẫn giải
Số tập hợp con của E có 0 phần tử là: ;
Số tập hợp con của E có 1 phần tử là: ;
Số tập hợp con của E có 2 phần tử là: ;
Số tập hợp con của E có 2 phần tử là: ;
Số tập hợp con của E có 6 phần tử là: .
Khi đó số tập hợp con của E là : + + + + .
Mặt khác, ta có: (1 + 1)4 = + + + +
⇒ 
= 24 = 16.
Vậy tập hợp E có 16 tập con.
Bài 2. Khai triển các đa thức sau :
a) (2x – 3)4 ;
b) (x + 5)5 + (x – 5)5.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: (2x – 3)4
= (2x)4 + 4(2x)3.(–3) + 6(2x)2.(–3)2 + 4.2x.(–3)3 + (–3)4.
= 16x4 – 96x3 + 216x2 – 216x + 81.
Vậy: (2x – 3)4 = 16x4 – 96x3 + 216x2 – 216x + 81.
b) Ta có:
(x + 5)5 + (x – 5)5
= [x5 + 5x4.5 + 10.x3.52 + 10.x2.53 + 5.x.54 + 55] + [x5 + 5x4.(–5) + 10.x3.(–5)2 + 10.x2.(–5)3 + 5.x.(–5)4 + (–5)5]
= [x5 + 25x4 + 250x3 + 1250x2 + 3125x + 3125] + [x5 – 25x4 + 250x3 – 1250x2 + 3125x – 3125]
= x5 + 25x4 + 250x3 + 1250x2 + 3125x + 3125 + x5 – 25x4 + 250x3 – 1250x2 + 3125x – 3125
= 2x5 + 500x3 + 6250x.
Vậy (x + 5)5 + (x – 5)5 = 2x5 + 500x3 + 6250x.
Bài 3. Xác định hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức (3x – 2)4.
Hướng dẫn giải
Áp dụng hệ thức Newton ta có :
(3x – 2)4 = (3x)4 + (3x)3.(–2) + (3x)2.(–2)2 + (3x).(–2)3 + (–2)4
= (3x)4 + 4(3x)3(–2) + 6(3x)2(–2)2 + 4(3x)(–2)3 + (–2)4
= 34x4 + 4.33x3.(–2) + 6.32.x2.(–2)2 + 4.3x.(–2)3 + (–2)4
⇒ Hệ số của x3 là 4.33.(–2) = – 216.
Vậy hệ số của x3 trong khai triển (3x – 2)4 là – 216.
B.2 Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Tổng hệ số của x3 và x2 trong khai triển (1 + 2x)4 là :
A. 24;
B. 44;
C. 20;
D. 54.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 5a2b2 + 4ab3 + b4.
Do đó (1 + 2x)4 = 14 + 4.13.(2x) + 5.12.(2x)2 + 4.1.(2x)3 + (2x)4
= 1 + 8x + 20x2 + 24x3 + 16x4
Suy ra hệ số của x3 là 24 và hệ số của x2 là 20.
Khi đó ta có tổng hai hệ số bằng 24 + 20 = 44.
Câu 2. Hệ số của x2 trong khai triển (2 – 3x)3 là k. Nhận xét nào sau đây đúng về k ?
A. k là một số tự nhiên;
B. k là một số nguyên âm;
C. k là một số nguyên dương;
D. k = 0.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: (2x – 3)3
= (2x)3 + 2.(2x)2.(– 3) + 2.(2x).(– 3)2 + (– 3)3
= 8x3 – 24x2 + 36x – 27.
Hệ số của x2 là k = – 24.
Vậy k là một số nguyên âm.
Câu 3. Tính giá trị biểu thức .
A. ;
B. ;
C. ;
D. .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
====== ****&**** =====