Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị trên \(\left[ { – 2;6} \right]\) như hình vẽ bên. Biết các miền A, B, \(x = 2\) có diện tích lần lượt là 32; 2; 3.
Tích phân \(\int\limits_{ – 2}^2 {\left[ {f\left( {2x + 2} \right) + 1} \right]dx} \) bằng
A. \(\frac{{45}}{2}\).
B. 41.
C. 37.
D. \(\frac{{41}}{2}\).
Đáp án chính xác
Trả lời:
Hướng dẫn giải
Ta có \(\int\limits_{ – 2}^2 {\left[ {f\left( {2x + 2} \right) + 1} \right]dx} = \int\limits_{ – 2}^2 {f\left( {2x + 2} \right)dx} + 4\)
Xét \({I_1} = \int\limits_{ – 2}^2 {f\left( {2x + 2} \right)dx} \).
Đặt \(t = 2x + 2 \Rightarrow dt = 2dx \Rightarrow dx = \frac{{dt}}{2}\)
Đổi cận: \(x = – 2 \Rightarrow t = – 2\); \(x = 2 \Rightarrow t = 6\).
Suy ra \({I_1} = \frac{1}{2}\int\limits_{ – 2}^6 {f\left( t \right)dt} \).
Gọi \({x_1}\); \({x_2}\) là các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) với trực hoành \(\left( { – 2 < {x_1} < {x_2} < 6} \right)\) . Ta có
\(\begin{array}{l}{I_1} = \frac{1}{2}\left( {\int\limits_{ – 2}^{{x_1}} {f\left( t \right)df} + \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {f\left( t \right)df} + \int\limits_{{x_2}}^6 {f\left( t \right)df} } \right) = \frac{1}{2}\left( {{S_A} – {S_B} + {S_C}} \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {32 – 2 + 3} \right) = \frac{{33}}{2}\end{array}\)
Vậy \(\int\limits_{ – 2}^2 {\left[ {f\left( {2x + 2} \right) + 1} \right]dx} = {I_1} + 4 = \frac{{33}}{2} + 4 = \frac{{41}}{2}\)
Chọn D.
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====