Câu hỏi:
Cho \(A = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + … + \frac{1}{{{{100}^2}}}\). Chứng minh \(A < \frac{1}{2}\).
Trả lời:
Hướng dẫn giải:
Ta có:
\(A = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + … + \frac{1}{{{{100}^2}}}\)
\( = \frac{1}{{{2^2}}}\left( {1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + … + \frac{1}{{{{50}^2}}}} \right)\).
Mặt khác ta có: \(\frac{1}{{{2^2}}} = \frac{1}{{2.2}} < \frac{1}{{1.2}} = \frac{{2 – 1}}{{1.2}} = \frac{2}{{1.2}} – \frac{1}{{1.2}} = 1 – \frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{{{3^2}}} = \frac{1}{{3.3}} < \frac{1}{{2.3}} = \frac{{3 – 2}}{{2.3}} = \frac{3}{{2.3}} – \frac{2}{{2.3}} = \frac{1}{2} – \frac{1}{3}\)
………………..
\(\frac{1}{{{{50}^2}}} = \frac{1}{{50.50}} < \frac{1}{{49.50}} = \frac{{50 – 49}}{{49.50}} = \frac{{50}}{{49.50}} – \frac{{49}}{{49.50}} = \frac{1}{{49}} – \frac{1}{{50}}\)
Do đó \(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + … + \frac{1}{{{{50}^2}}} < 1 – \frac{1}{2} + \frac{1}{2} – \frac{1}{3} + … + \frac{1}{{49}} – \frac{1}{{50}}\)
Suy ra \(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + … + \frac{1}{{{{50}^2}}} < 1 – \frac{1}{{50}}\)
\(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + … + \frac{1}{{{{50}^2}}} < \frac{{49}}{{50}} < \frac{{50}}{{50}} = 1\)
\(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + … + \frac{1}{{{{50}^2}}} < 1\)
Từ đó ta có: \(1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + … + \frac{1}{{{{50}^2}}} < 1 + 1 = 2\)
\(A = \frac{1}{{{2^2}}}\left( {1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + … + \frac{1}{{{{50}^2}}}} \right) < \frac{1}{4}.2 = \frac{1}{2}\).
Vậy \(A < \frac{1}{2}.\)
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Số đối của phân số \(\frac{4}{5}\) là:
Câu hỏi:
Số đối của phân số \(\frac{4}{5}\) là:
A. \(\frac{{ – 4}}{5};\)
B. \(\frac{4}{5};\)
C. \(\frac{5}{4};\)
Đáp án chính xác
D. \(\frac{{ – 5}}{4}.\)
Trả lời:
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Số đối của phân số \(\frac{4}{5}\) là \(\frac{{ – 4}}{5}\) vì \(\frac{{ – 4}}{5} + \frac{4}{5} = 0\).====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Biết \(\frac{1}{3}\) quả dưa hấu nặng \(0,8{\rm{ kg}}\).Quả dưa hấu đó nặng là:
Câu hỏi:
Biết \(\frac{1}{3}\) quả dưa hấu nặng \(0,8{\rm{ kg}}\).Quả dưa hấu đó nặng là:
A. 3 kg;
B. 3,2 kg;
C. 2,4 kg;
Đáp án chính xác
D. 4,2 kg.
Trả lời:
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Quả dưa hấu đó nặng là \(0,8{\rm{ :}}\frac{{\rm{1}}}{3}{\rm{ = }}\frac{{\rm{4}}}{{\rm{5}}}{\rm{.}}\frac{3}{{\rm{1}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{12}}}}{{\rm{5}}}{\rm{ = 2}}{\rm{,4 kg}}\).
Vậy quả dưa hấu đó nặng 2,4 kg.====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Tổng của hai phân số \(\frac{7}{{15}}\) và \(\frac{{ – 2}}{5}\) bằng:
Câu hỏi:
Tổng của hai phân số \(\frac{7}{{15}}\) và \(\frac{{ – 2}}{5}\) bằng:
A. \(\frac{5}{{10}}\) ;
B. \(\frac{5}{{20}}\);
C. \(\frac{1}{{15}}\);
Đáp án chính xác
D. \(\frac{{ – 1}}{{15}}.\)
Trả lời:
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Vì: \(\frac{7}{{15}} + \frac{{ – 2}}{5} = \frac{7}{{15}} + \frac{{ – 6}}{{15}} = \frac{{7 + \left( { – 6} \right)}}{{15}} = \frac{1}{{15}}\)
Vậy tổng của hai phân số \(\frac{7}{{15}}\) và \(\frac{{ – 2}}{5}\) bằng \(\frac{1}{{15}}.\)====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Một xạ thủ bắn 20 mũi tên vào một tấm bia thì được 18 lần trúng. Xác suất xạ thủ bắn trúng tấm bia là:
Câu hỏi:
Một xạ thủ bắn 20 mũi tên vào một tấm bia thì được 18 lần trúng. Xác suất xạ thủ bắn trúng tấm bia là:
A. \(\frac{{10}}{{19}}\);
B. \(\frac{{10}}{{19}};\)
C. \(\frac{9}{{10}};\)
Đáp án chính xác
D. \(\frac{9}{{19}}.\)
Trả lời:
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Tổng số lần thực hiện hoạt động bắn mũi tên vào tấm bia là 20, số lần bắn trúng tấm bia là 18 lần.
Xác suất thực nghiệm bắn trúng bia là: \(\frac{{18}}{{20}} = \frac{9}{{10}}.\)====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Trong hộp có bốn viên bi, trong đó có một viên bi màu vàng, một viên bi màu trắng, một viên bi màu đỏ và một viên bi màu tím. Lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Hỏi có bao nhiêu kết quả xảy ra đối với màu của viên bi được lấy ra?
Câu hỏi:
Trong hộp có bốn viên bi, trong đó có một viên bi màu vàng, một viên bi màu trắng, một viên bi màu đỏ và một viên bi màu tím. Lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Hỏi có bao nhiêu kết quả xảy ra đối với màu của viên bi được lấy ra?
A. 1;
B. 2;
C. 3;
D. 4.
Đáp án chính xác
Trả lời:
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Khi lấy ngẫu nhiên một viên bi, có 4 kết quả có thể xảy ra đối với màu của viên bi được lấy ra, đó là: màu vàng, màu trắng, màu đỏ, màu tím.====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====