Biết rằng hệ số của x2 trong khai triển của (1 + 3x)n là 90. Tìm giá trị của n.

Câu hỏi:

Biết rằng hệ số của x² trong khai triển của (1 + 3x)ⁿ là 90. Tìm giá trị của n.

Trả lời:

Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
(1 + 3x)ⁿ = $C_n^0{1}^n+C_n^1{1}^{n-1}\left(3x\right)+\mathrm{\dots }+C_n^k{1}^{n-k}{\left(3x\right)}^k+\mathrm{\dots }+C_n^n{\left(3x\right)}^n$
$=1+C_n^{1}3x+\mathrm{\dots }+C_n^k{3}^k{x}^k+\mathrm{\dots }+C_n^n{3}^n{x}^n.$
Số hạng chứa x2 ứng với giá trị k = 2. Hệ số của số hạng này là $C_n^2{3}^2=\frac{9n(n-1)}{2}.$
Theo giả thiết, ta có $\frac{9n(n-1)}{2}=90\Rightarrow n(n-1)=20\Rightarrow [\begin{array}{l}n=5\left(TM\right)\\ n=-4\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\left(L\right)\end{array}.$
Vậy n = 5.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Khai triển (a + b)n, n ∈ {1; 2; 3; 4; 5}. Trong Bài 25 SGK Toán 10 (bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống), ta đã biết: (a + b)1 = a + b (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 Với n ∈ {1; 2: 3; 4; 5}, trong khai triển của mỗi nhị thức (a + b)n: a) Có bao nhiêu số hạng? b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng bao nhiêu? c) Số mũ của a và b thay đổi thế nào khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sang phải?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Khai triển (a + b)n, n $\in$ {1; 2; 3; 4; 5}.
   Trong Bài 25 SGK Toán 10 (bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống), ta đã biết:
   (a + b)1 = a + b
   (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
   (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
   (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
   (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
   Với n $\in$ {1; 2: 3; 4; 5}, trong khai triển của mỗi nhị thức (a + b)n:
   a) Có bao nhiêu số hạng?
   b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng bao nhiêu?
   c) Số mũ của a và b thay đổi thế nào khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sang phải?

   Trả lời:

   a) Có n + 1 số hạng, số hạng đầu tiên là aⁿ và số hạng cuối cùng là bⁿ.
   b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng đều bằng n.
   c) Số mũ của a giảm 1 đơn vị và số mũ của b tăng 1 đơn vị khi chuyền từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sang phải.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tam giác Pascal Viết các hệ số của khai triển (a + b)n với một số giá trị đầu tiên của n, trong bảng tam giác sau đây, gọi là tam giác Pascal
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tam giác Pascal
   Viết các hệ số của khai triển (a + b)n với một số giá trị đầu tiên của n, trong bảng tam giác sau đây, gọi là tam giác Pascal

   Trả lời:

   
   (a + b)⁰       
   (a + b)¹
   (a + b)²
   (a + b)³
   (a + b)⁴
   (a + b)⁵
   Hàng đầu quy ước gọi là hàng 0. Hàng n ứng với các hệ số trong khai triển nhị thức (a + b)ⁿ.
   Từ tính chất này ta có thể tìm bất kì hàng nào của tam giác Ơasscal từ hàng ở ngay phía trên nó. Chẳng hạn ta có thể tìm hàng 6 từ hàng 5 như sau:
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. a) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của (a + b)7. b) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của (2x – 1)4.
   
   

   Câu hỏi:
   

   a) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của (a + b)⁷.
   b) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của (2x – 1)⁴.

   Trả lời:

   a) (a + b)⁷ = a⁷ + 7a⁶b + 21a⁵b² + 35a⁴b³ + 35a³b⁴ + 21a²b⁵ + 7ab⁶ + b⁷.
   b) (2x – 1)⁴ = [(2x + (–1)]⁴ = (2x)⁴ + 4(2x)³(–1) + 6(2x)²(–1)² + 4(2x)(–1)³ + (–1)⁴
   = 16x⁴ – 32x³ + 24x² – 8x + 1.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Tính chất của các số Cnk a) Quan sát ba dòng đầu, hoàn thành tiếp hai dòng cuối theo mẫu: (a + b)1 = a + b =C10a+C10b (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 =C20a2+C21ab+C20b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 =C30a3+C31a2b+C32ab2+C30b3 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 = … (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 = … Nhận xét rằng các hệ số khai triển của hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối luôn bằng nhau. Hãy so sánh, chẳng hạn, C41 và C43, C52 và C53. Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa Cnk và Cnn−k (0 ≤ k ≤ n). b) Dựa vào kết quả của HĐ3a, ta có thể viết những hàng đầu của tam giác Pascal dưới dạng: (a + b)1 (a + b)2 (a + b)3 (a + b)4 (a + b)5 Từ tính chất của tam giác Pascal, hãy so sánh C10+C11 và C21, C20+C21 và C31,… Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa Cn−1k−1+Cn−1k và Cnk.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tính chất của các số $C_n^k$
   a) Quan sát ba dòng đầu, hoàn thành tiếp hai dòng cuối theo mẫu:
   (a + b)¹ = a + b $=C_1^{0}a+C_1^{0}b$
   (a + b)² = a² + 2ab + b² $=C_2^0{a}^2+C_2^{1}ab+C_2^0{b}^2$
   (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ $=C_3^0{a}^3+C_3^1{a}^{2}b+C_3^{2}a{b}^2+C_3^0{b}^3$
   (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ = …
   (a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵ = …
   Nhận xét rằng các hệ số khai triển của hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối luôn bằng nhau. Hãy so sánh, chẳng hạn, $C_4^1$ và $C_4^3$, $C_5^2$ và $C_5^3$. Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa $C_n^k$ và $C_n^{n-k}$ (0 ≤ k ≤ n).
   b) Dựa vào kết quả của HĐ3a, ta có thể viết những hàng đầu của tam giác Pascal dưới dạng:
   
   (a + b)¹
   (a + b)²
   (a + b)³
   (a + b)⁴
   (a + b)⁵
   Từ tính chất của tam giác Pascal, hãy so sánh $C_1^0+C_1^1$ và $C_2^1,$ $C_2^0+C_2^1$ và $C_3^1\mathrm{,\dots }$ Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$ và $C_n^k.$
   

   Trả lời:

   a) (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ = $C_4^0$a⁴ + $C_4^1$a³b + $C_4^2$a²b² + $C_4^3$ab³ + $C_4^4$b⁴.
   (a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵
   = $C_5^0$a⁵ + $C_5^1$a⁴b + $C_5^2$a³b² + $C_5^3$a²b³ + $C_5^4$ab⁴ + $C_5^5$b⁵.
   Ta thấy $C_4^1$ = $C_4^3$, $C_5^2$ = $C_5^3$,…
   Dự đoán: $C_n^k$ = $C_n^{n-k}$.
   b) Ta thấy $C_1^0+C_1^1$ = $C_2^1,$ $C_2^0+C_2^1$ = $C_3^1\mathrm{,\dots }$
   Dự đoán: $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$ = $C_n^k.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Quan sát khai triển nhị thức của (a + b)n với n ∈ {1; 2; 3; 4; 5} ở HĐ3, hãy dự đoán công thức khai triển trong trường hợp tổng quát.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Quan sát khai triển nhị thức của (a + b)n với n $\in$ {1; 2; 3; 4; 5} ở HĐ3, hãy dự đoán công thức khai triển trong trường hợp tổng quát.

   Trả lời:

   Dự đoán công thức khai triển trong trường hợp tổng quát:
   ${(a+b)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+\dots +C_n^{n-1}a{b}^{n-1}+C_n^n{b}^n.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====