Hãy lập phương trình đường thẳng (d) đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y=x3+3mx2−3x

Câu hỏi:

Hãy lập phương trình đường thẳng (d) đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số $y=x^3+3m{x}^2-3x$

A. $y=mx+3m-1$

B. $y=-2\left(m^2+1\right)x+m$

Đáp án chính xác

C. $y=\left(2m^3-2\right)x$

D. $y=-2x+2m$

Trả lời:

Đáp án BCó: $y=x^3+3m{x}^2-3x$$\Rightarrow y‘\left(x\right)=3x^2+6mx-3$Phương trình đường thẳng d đi qua 2 cực trị của (C) nên $\left(x_0;y_0\right)\in d$ thỏa mãn:$\left\{\begin{array}{c}y‘\left(x\right)=0\\ y_0=x_0^3+3m{x}_0^2-3x_0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}3x_0^3+6m{x}_0^2-3x_0=0\\ y_0=x_0\left(x_0^2+2m{x}_0\right)-3x_0+m{x}_0^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{x}_0^2+2m{x}_0=1\\ y_0=-2x_0+m{x}_0^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{x}_0^2=-2m{x}_0+1\\ y_0=-2x_0+m\left(-2m{x}_0+1\right)\end{array}\right.\Rightarrow y_0=-2\left(m^2+1\right)x_0+m$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Hàm số y=mx4+m+3×2+2m−1 chỉ có cực đại mà không có cực tiểu khi
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số $y=m{x}^4+\left(m+3\right)x^2+2m-1$ chỉ có cực đại mà không có cực tiểu khi

   A. $m\le -3$

   Đáp án chính xác

   B. m > 3

   C. -3 < m < 1

   D. $m\le -3\vee m>0$

   Trả lời:

   Đáp án A+ Với m = 0 thì ta có hàm số $y=3x^2-1$ có 3 > 0 nên đồ thị hàm số là một parabol có bề lõm hướng lên trên $\Rightarrow$ hàm số có điểm cực tiểu x = 0.+ Với $m\ne 0$ ta có hàm trùng phương $y=m{x}^4+(m+3)x^2+2m-1$$\Rightarrow y‘=4m{x}^3+2(m+3)x=x\left(4m{x}^2+2m+6\right)$; $y‘‘=12m{x}^2+2(m+3)$Xét phương trình $y‘=0\iff x\left(4m{x}^2+2m+6\right)\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x^2=\frac{-m-3}{2m} \left(2\right)\end{array}\right.$Nếu hàm số có cực đại mà không có cực tiểu thì phương trình y’ = 0 có nghiệm x = 0 duy nhất . hay phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x = 0.$\iff \frac{-m-3}{2m}\le 0\iff \frac{m+3}{2m}\ge 0\iff \left[\begin{array}{c}m\le -3\\ m>0\end{array}\right.$Với m > 0 thì phương trình y’ = 0 có nghiệm duy nhất x = 0 và $y‘‘\left(0\right)=2\left(m+3\right)>0$, do đó x = 0 điểm cực tiểu của hàm số (loại)Với m < – 3 thì $y‘‘\left(0\right)=2\left(m+3\right)<0$, do đó x = 0 là điểm cực đại (nhận)Với m = – 3 thì $y‘=-12x^3=0\iff x=0$ và y’ đổi dấu từ dương sang âm qua nghiệm x = 0Do đó x = 0 là điểm cực đại của hàm số (nhận)Vậy $m\le -3$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y=−13×3+mx23+4 đạt giá trị cực đại tại x = 2?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y=-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{m{x}^2}{3}+4$ đạt giá trị cực đại tại x = 2?

   A. m = 1

   B. m = 2

   C. m = 3

   Đáp án chính xác

   D. m = 4

   Trả lời:

   Đáp án CTXĐ: D = R$y‘=-x^2+\frac{2}{3}mx\Rightarrow y‘‘=-2x+\frac{2}{3}m$Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 2$\iff \left\{\begin{array}{c}y‘\left(2\right)=0\\ y‘‘\left(2\right)<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}-2^2+\frac{2}{3}m.2=0\\ -2.2+\frac{2}{3}m<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}-4+\frac{4}{3}m=0\\ -4+\frac{2}{3}m<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m=3\\ m<6\end{array}\right.\iff m=3$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y=x3−2mx2+m2x+2 đạt giá trị cực tiểu tại x = 1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y=x^3-2m{x}^2+m^{2}x+2$ đạt giá trị cực tiểu tại x = 1

   A. m = 3

   B. $m=1\vee m=3$

   C. m = -1

   D. m = 1

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án DTXĐ: D = RTa có: $y‘=3x^2-4mx+m^2\Rightarrow y‘‘=6x-4m$Để x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số thì:$\left\{\begin{array}{c}y‘\left(1\right)=0\\ y‘‘\left(1\right)>0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}{m}^2-4m+3=0\\ 6-4m>0\end{array}\right.\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m=1;m=3\\ m<\frac{3}{2}\end{array}\right.\iff m=1$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y=4×3+mx2−12x đạt cực tiểu tại điểm x = – 2
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số $y=4x^3+m{x}^2-12x$ đạt cực tiểu tại điểm x = – 2

   A. m = -9

   B. m = 2

   C. Không tồn tại m

   Đáp án chính xác

   D. m = 9

   Trả lời:

   Đáp án CTa có: $\left\{\begin{array}{c}y‘=12x^2+2mx-12\\ y‘‘=24x+2m\end{array}\right.$Từ giả thiết bài toán ta có $y‘(-2)=48-4m-12=0\iff m=9$Thay vào $y‘‘\left(-2\right)=-48+2m=-48+18=-30<0$Khi đó, hàm số đạt cực đại tại x = – 2Vậy không có giá trị m thỏa mãn.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Đồ thị hàm số y=x3−3m+1×2+m2+3m+2x+3 có điểm cực tiểu và điểm cực đại nằm về hai phía của trục tung khi:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Đồ thị hàm số $y=x^3-\left(3m+1\right)x^2+\left(m^2+3m+2\right)x+3$ có điểm cực tiểu và điểm cực đại nằm về hai phía của trục tung khi:

   A. 1 < m < 2

   B. -2 < m < -1

   Đáp án chính xác

   C. 2 < m < 3

   D. -3 < m < -2

   Trả lời:

   Đáp án B$y=x^3-\left(3m+1\right)x^2+\left(m^2+3m+2\right)x+3y‘=3x^2-\left(6m+2\right)x+m^2+3m+2$Để cực tiểu và cực đại của đồ thị hàm số y nằm về hai phía của trục tung thì $x_1{x}_2<0$, với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình y’ = 0$\iff 3\left(m^2+3m+2\right)<0\iff m^2+3m+2<0\iff -2<m<-1$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====