Cho hàm số fx=x4−5×2+4×3+1khi   x

Câu hỏi:

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^4-5x^2+4}{x^3+1}khix<-1\\ m^2{x}^2+2mx-5khix\ge -1\end{array}\right.$
Tìm m để hàm số liên tục tại điểm x=-1

Trả lời:

Hướng dẫn giải
Hàm số xác định trên R
Ta có: $\lim x\to -1^{-}f\left(x\right)=\lim x\to -1^{-}\frac{x^4-5x^2+4}{x^3+1}=\lim x\to -1^{-}\frac{\left(x-1\right)\left(x^2-4\right)}{x^2-x+1}=2$

$\lim x\to -1^{+}f\left(x\right)=\lim x\to -1^{+}\left(m^2{x}^2+2mx-5\right)=m^2-2m-5=f\left(-1\right)$

Hàm số liên tục tại x=-1 khi và chỉ khi
 $\lim x\to -1^{+}f\left(x\right)=\lim x\to -1^{-}f\left(x\right)=f\left(-1\right)$ $\iff m^2-2m-5=2\Rightarrow m=1\pm \sqrt{2}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hàm số  fx=x3−27×2−x−6,  khi  x≠3275,  khi   x=3  Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x=3 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số
    $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^3-27}{x^2-x-6},khix\ne 3\\ \frac{27}{5},khix=3\end{array}\right.$
   Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x=3 

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Hàm số xác định trên R 
   Ta có $f\left(3\right)=\frac{27}{5}$ và $\lim x\to 3f\left(x\right)=\lim x\to 3\frac{x^3-27}{x^2-x-6}=\lim x\to 3\frac{\left(x-3\right)\left(x^2+3x+9\right)}{\left(x-3\right)\left(x+2\right)}$
   $=\lim x\to 3\frac{x^2+3x+9}{x+2}=\frac{27}{5}$

                 

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hàm số fx−x−32x+3−3khi   x
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $f\left(x\right)-\left\{\begin{array}{l}\frac{x-3}{\sqrt{2x+3}-3}khix<3\\ {\left(x-1\right)}^{2}khix\ge 3\end{array}\right.$ . Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x=3 

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Ta có $\lim x\to 3^{+}f\left(x\right)=\lim x\to 3^{+}{\left(x-1\right)}^2=4$
   $\lim x\to 3^{-}=\lim x\to 3^{-}\frac{x-3}{\sqrt{2x+3}-3}=\lim x\to 3^{-}\frac{\sqrt{2x+3}+3}{2}=3$

   Do đó $\lim x\to 3^{-}f\left(x\right)\ne \lim x\to 3^{+}f\left(x\right)$
   Vậy hàm số gián đoạn tại x=3 

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho hàm số fx=4×3−2x−2,khi   x≠2a,khi   x=2 . Tìm a để hàm số liên tục tại điểm x=2 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{4x3-2}{x-2},khix\ne 2\\ a,khix=2\end{array}\right.$ . Tìm a để hàm số liên tục tại điểm x=2 

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Hàm số xác định trên R
   Ta có $f\left(2\right)=a$  và $\lim x\to 2f\left(x\right)=\lim x\to 2\frac{4x3-2}{x-2}=\lim x\to 2\frac{4}{{\left(4x\right)}^{2}3+24x3+4}=\frac{1}{3}$
   Vậy để hàm số liên tục tại điểm x=2  thì $\lim x\to 2f\left(x\right)=f\left(2\right)\iff a=\frac{1}{3}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hàm số fx=x2−1x+1,khi   x≠−12,khi   x=−1 Xét tính liên tục của hàm số trên toàn bộ tập xác định
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2-1}{x+1},khix\ne -1\\ 2,khix=-1\end{array}\right.$

   Xét tính liên tục của hàm số trên toàn bộ tập xác định

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Hàm số xác định trên D=R 
   Với $x\ne -1$  thì $f\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x+1}=x-1$ là hàm số liên tục trên tập xác định.
   Do đó hàm số liên tục trên $\left(-\infty ;-1\right)$  và $\left(-1;+\infty \right)$
   Với x= -1 ta có $\lim x\to -1f\left(x\right)=\lim x\to -1\frac{x^2-1}{x+1}=\lim x\to -1\left(x-1\right)=-2$
   Vì $f\left(-1\right)=2\ne \lim x\to -1f\left(x\right)$
   Vậy hàm số liên tục trên các khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$  và $\left(-1;+\infty \right)$ ; hàm số không liên tục tại điểm x=-1

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hàm số fx=a2x−2x+2−2khi   x>21−axkhi   x≤2 Tìm a để hàm số liên tục trên tập xác định
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{a^2\left(x-2\right)}{\sqrt{x+2}-2}khix>2\\ \left(1-a\right)xkhix\le 2\end{array}\right.$
   Tìm a để hàm số liên tục trên tập xác định

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Hàm số xác định trên R
   Với x>2 ta có $f\left(x\right)=\frac{a^2\left(x-2\right)}{\sqrt{x+2}-2}$  là hàm số liên tục trên từng khoảng xác định.
   Do đó hàm số f(x)  liên tục trên $\left(2;+\infty \right)$
   Với x<2 ta có $f\left(x\right)=\left(1-a\right)x$  là hàm số liên tục trên tập xác định. Do đó hàm số f(x)  liên tục trên $\left(-\infty ;2\right)$
   Với x=2  ta có $\lim x\to 2^{-}f\left(x\right)=\lim x\to 2^{-}\left(1-a\right)x=2\left(1-a\right)=f\left(2\right)$
        $\lim x\to 2^{+}f\left(x\right)=\lim x\to 2^{+}\frac{a^2\left(x-2\right)}{\sqrt{x+2}-2}=\lim x\to 2^{+}{a}^2\left(\sqrt{x+2}+2\right)=4a^2$                
   Hàm số liên tục trên  khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x=2 , nên
   $\lim x\to 2^{-}f\left(x\right)=\lim x\to 2^{+}f\left(x\right)\iff 4a^2=2\left(1-a\right)\iff \left[\begin{array}{l}a=-1\\ a=\frac{1}{2}\end{array}\right.$

   Vậy $a=-1;a=\frac{1}{2}$  là những giá trị cần tìm.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====