Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường y=(x-2)2 và y=4. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (D) khi nó quay xung quanh trục Oy

Câu hỏi:

Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường $y={(x–2)}^2$ và $y=4$. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (D) khi nó quay xung quanh trục Oy

A. $\frac{219\mathrm{\pi }}{2}$

B. $\frac{172\mathrm{\pi }}{5}$

C. $\frac{113\mathrm{\pi }}{2}$

D. $\frac{128\mathrm{\pi }}{3}$

Đáp án chính xác

Trả lời:

Chọn D
D quay xung quanh trục Oy
Ta có: $y={(x–2)}^2\iff x–2=\pm \sqrt{y}$$\iff x=2\pm \sqrt{y}$
$V=\mathrm{\pi }{\int }_0^4\left[{\left(2+\sqrt{\mathrm{y}}\right)}^2–{\left(2–\sqrt{\mathrm{y}}\right)}^2\right]\mathrm{dy} =8\mathrm{\pi }.{\int }_0^4\sqrt{\mathrm{y}}\mathrm{dy}=8\mathrm{\pi }.\frac{2}{3}{\mathrm{y}}^{\frac{3}{2}}{|}_0^{\mathrm{\pi }}=\frac{128\mathrm{\pi }}{3} đvtt$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Tính ∫01x.e2xdx
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tính ${\int }_0^{1}x.e^{2x}dx$

   A. $\frac{2–e^2}{6}$

   B. $\frac{1+e^3}{4}$

   C. $\frac{2–e^2}{4}$

   D. $\frac{1+e^2}{4}$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Chọn D
   Đặt
   $\left\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=e^{2x}dx\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=dx\\ v=\frac{1}{2}{e}^{2x}\end{array}\right.\right.$
   Khi đó 
   ${\int }_0^{1}x.e^{2x}dx=\frac{1}{2}x.e^{2x}{|}_0^1–\frac{1}{2}{\int }_0^1{e}^{2x}dx =\frac{1}{2}x.e^{2x}{|}_0^1–\frac{1}{4}{e}^{2x}{|}_0^1 =\frac{1}{2}{e}^2–\frac{1}{4}{e}^2+\frac{1}{4}=\frac{1+e^2}{4}$
    
    

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tính C=∫0π2x2cosxdx
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tính $C={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{x}^2\cos xdx$

   A. $\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{4}–2$

   Đáp án chính xác

   B. $\frac{\mathrm{\pi }}{4}–2$

   C. $\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{6}+2$

   D. $\frac{\mathrm{\pi }}{8}+2$

   Trả lời:

   Chọn A
   Đặt
   $\left\{\begin{array}{l}u=x^2\\ dv=\cos xdx\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=2xdx\\ v=\sin x\end{array}\right.\right.$
   ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{x}^2\cos xdx=x^2\sin x{|}_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}–2{\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}x\sin xdx =\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{4}–2{\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}x\sin xdx$
   * Tính: $I={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}x \sin xdx$
   Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=\sin xdx\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=dx\\ v=–\cos x\end{array}\right.\right.$
   $I={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}x\sin xdx=–xcos x{|}_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}+{\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\cos xdx =–x.\cos x{|}_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}+\sin x{|}_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}=1$
   Thế I = 1 vào C ta được ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{x}^2 \cos xdx=\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{4}–2$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Tính tích phân sau I=∫0π2x sinxdx
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tính tích phân sau $I={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}x \sin xdx$

   A. -1

   B. 0

   C. 1

   Đáp án chính xác

   D. 2

   Trả lời:

   Chọn C
   Đặt
   $\left\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=\sin xdx\end{array}\Rightarrow \right.\left\{\begin{array}{l}du=dx\\ v=–\cos x\end{array}\right.$
   Do đó 
   $I= {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}x \sin xdx=\left(–x\cos x\right){|}_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}+{\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\cos xdx =0+\sin x{|}_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}=1$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Tính tích phân sau I=∫0e-1xlnx+1dx
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tính tích phân sau $I={\int }_0^{e–1}x\ln \left(x+1\right)dx$

   A. $\frac{2–e^2}{6}$

   B. $\frac{1+e^3}{4}$

   C. $\frac{2–e^2}{4}$

   D. $\frac{e^2–3}{4}$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Chọn D
   Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\ln (x+1)\\ dv=xdx\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=\frac{1}{x+1}dx\\ v=\frac{x^2–1}{2}\end{array}\right.\right.$
   $I={\int }_0^{e–1}x\ln (x+1)dx =\left[\ln (x+1)\frac{x^2–1}{2}\right]{|}_0^{e–1}–\frac{1}{2}{\int }_0^{e–1}(x–1)dx =\frac{e^2–2e}{2}–\frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{2}–x\right){|}_0^{e–1} =\frac{e^2–2e}{2}–\frac{1}{2}\frac{e^2–4e+3}{2}=\frac{e^2–3}{4}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tính tích phân sau I=∫0π42x+3.sin 4xdx
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tính tích phân sau $I={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\left(2x+3\right).\sin 4xdx$

   A. $I=\frac{\mathrm{\pi }}{8}–\frac{3}{2}$

   B. $I=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\frac{3}{8}$

   C.$I=\frac{\mathrm{\pi }}{8}+\frac{3}{2}$

   Đáp án chính xác

   D. $I=\frac{\mathrm{\pi }}{8}+3$

   Trả lời:

   Chọn C
   Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=2x+3\\ dv=\sin 4x.dx\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=2.dx\\ v=–\frac{1}{4}\cos 4x.dx\end{array}\right.\right.$
   $\Rightarrow I=\left(–\frac{1}{4}(2x+3)\cos 4x\right){|}_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}+\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\cos 4xdx =\left(–\frac{1}{4}(2x+3)\cos 4x+\frac{1}{2}.\frac{1}{4}.\sin 4x\right){|}_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}=\frac{\mathrm{\pi }}{8}+\frac{3}{2}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====