Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng 1. Mặt phẳng α qua đỉnh S của hình nón đó cắt đường tròn đáy tại M, N. Tính diện tích tam giác SMN, biết góc giữa α và đáy hình nón bằng 60o

Câu hỏi:

Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng 1. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ qua đỉnh S của hình nón đó cắt đường tròn đáy tại M, N. Tính diện tích tam giác SMN, biết góc giữa $\left(\alpha \right)$ và đáy hình nón bằng 60^o

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Đáp án chính xác

D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Trả lời:

Chọn C

Gọi O là tâm đường tròn đáy, H là trung điểm của MN.
Ta có MN là giao tuyến của đường tròn đáy và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$, lại có $OH\perp MN,SH\perp MN$. Do đó góc giữa $\left(\alpha \right)$ và đáy hình nón là $\widehat{SHO}=60°$
Vì thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng 1 $\Rightarrow SO=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Xét $\Delta SOH$ vuông tại O có $\sin 60°=\frac{SO}{SH}\Rightarrow SH=\frac{SO}{\sin 60°}=\frac{\sqrt{6}}{3}$
Khi đó $MN=2\sqrt{S{N}^2-S{H}^2}=2\sqrt{1^2-{\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
Vậy diện tích tam giác SMN là $S_{\Delta SMN}=\frac{1}{2}SH.MN=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{6}}{3}.\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====