Cho hình tứ diện ABCD có AD⊥ABC, ABC là tam giác vuông tại B. Biết BC=a, AB=a3, AD=3a. Quay các tam giác ABC và ABD (bao gồm cả điểm bên trong hai tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta được hai khối tròn xoay. Thể tích phần chung của hai khối tròn xoay đó bằng:

Câu hỏi:

Cho hình tứ diện ABCD có $AD\perp \left(ABC\right)$, ABC là tam giác vuông tại B. Biết $BC=a, AB=a\sqrt{3}, AD=3a$. Quay các tam giác ABC và ABD (bao gồm cả điểm bên trong hai tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta được hai khối tròn xoay. Thể tích phần chung của hai khối tròn xoay đó bằng:

A. $\frac{3\sqrt{3}\pi a^3}{16}$

Đáp án chính xác

B. $\frac{8\sqrt{3}\pi a^3}{3}$

C. $\frac{5\sqrt{3}\pi a^3}{16}$

D. $\frac{4\sqrt{3}\pi a^3}{16}$

Trả lời:

Chọn A

Khi quay tam giác ABD quanh AB ta được khối nón đỉnh B có đường cao BA, đáy là đường tròn bán kính AE = 3cm. Gọi $I=AC\cap BE, IH\perp AB$, tại H.
Phần chung của 2 khối nón khi quay tam giác ABC và tam giác ABD quanh AB là 2 khối nón đỉnh A và đỉnh B có đáy là đường tròn bán kính IH.
Ta có $\Delta IBC$ đồng dạng với $\Delta IEA\Rightarrow \frac{IC}{IA}=\frac{BC}{AE}=\frac{1}{3}\Rightarrow IA=3IC$
Mặt khác $IH\text{ // BC}\Rightarrow \frac{AH}{AB}=\frac{IH}{BC}=\frac{AI}{AC}=\frac{3}{4}\Rightarrow IH=\frac{3}{4}BC=\frac{3a}{4}$
Gọi $V_1;{\text{ V}}_2$ lần lượt là thể tích của khối nón đỉnh A và B có đáy là hình tròn tâm H.
$V_1=\frac{1}{3}\pi I{H}^2.AH;{\text{ V}}_2=\frac{1}{3}\pi I{H}^2.BH\Rightarrow V=V_1+V_2\Rightarrow V=\frac{\pi }{3}I{H}^2.AB\Rightarrow V=\frac{\pi }{3}.\frac{9a^2}{16}.a\sqrt{3}\Rightarrow V=\frac{3a^3\sqrt{3}}{16}\pi$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====