Cho vecto a→≠0→. Chứng minh rằng 1a→.a→ (hay còn được viết là a→a→) là một vecto đơn vị cùng hướng với a→.

Câu hỏi:

Cho vecto $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}.$ Chứng minh rằng $\frac{1}{\left|\overrightarrow{a}\right|}.\overrightarrow{a}$ (hay còn được viết là $\frac{\overrightarrow{a}}{\left|\overrightarrow{a}\right|}$) là một vecto đơn vị cùng hướng với $\overrightarrow{a}$.

Trả lời:

Nhắc lại kiến thức: $k.\overrightarrow{a}$ cùng hướng với $\overrightarrow{a}$ nếu k > 0.
Ta có: $k=\frac{1}{\left|\overrightarrow{a}\right|}>0\left(\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}\right)$
Do đó $\frac{1}{\left|\overrightarrow{a}\right|}.\overrightarrow{a}$ cùng hướng với $\overrightarrow{a}$ hay $\frac{\overrightarrow{a}}{\left|\overrightarrow{a}\right|}$ cùng hướng với $\overrightarrow{a}$.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vecto nào sau đây có cùng phương? A. u→2;3 và v→12;6. B. a→2;6 và b→1;32. C. i→0;1 và j→1;0. D. c→1;3 và d→2;−6.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vecto nào sau đây có cùng phương?
   A. $\overrightarrow{u}\left(2;3\right)$ và $\overrightarrow{v}\left(\frac{1}{2};6\right)$.
   B. $\overrightarrow{a}\left(\sqrt{2};6\right)$ và $\overrightarrow{b}\left(1;3\sqrt{2}\right)$.
   C. $\overrightarrow{i}\left(0;1\right)$ và $\overrightarrow{j}\left(1;0\right)$.
   D. $\overrightarrow{c}\left(1;3\right)$ và $\overrightarrow{d}\left(2;-6\right)$.

   Trả lời:

   Hai vecto $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là hai vecto không cùng phương vì $\frac{2}{\frac{1}{2}}\ne \frac{3}{6}$. Do đó A sai.
   Hai vecto $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vecto cùng phương vì $\frac{\sqrt{2}}{1}=\frac{6}{3\sqrt{2}}=\sqrt{2}$. Do đó B đúng.
   Hai vecto $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{j}$ là hai vecto không cùng phương vì $\frac{0}{1}\ne \frac{1}{0}$ và $\frac{1}{0}$ không tồn tại. Do đó C sai.
   Hai vecto $\overrightarrow{c}$ và $\overrightarrow{d}$ là hai vecto không cùng phương vì $\frac{1}{2}\ne \frac{3}{-6}$. Do đó D sai.
   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vecto nào sau đâu vuông góc với nhau? A. u→2;3 và v→4;6. B. a→1;−1 và b→−1;1. C. za;b và t→−b;a. D. n→1;1 và k→2;0.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vecto nào sau đâu vuông góc với nhau?

   A. $\overrightarrow{u}\left(2;3\right)$ và $\overrightarrow{v}\left(4;6\right)$.
   B. $\overrightarrow{a}\left(1;-1\right)$ và $\overrightarrow{b}\left(-1;1\right)$.
   C. $z\left(a;b\right)$ và $\overrightarrow{t}\left(-b;a\right)$.
   D. $\overrightarrow{n}\left(1;1\right)$ và $\overrightarrow{k}\left(2;0\right)$.

   Trả lời:

   Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=2.4+3.6=8+18=26\ne 0.$ Suy ra hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ không vuông góc. Do đó A sai.
   Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=1.\left(-1\right)+\left(-1\right).1=-1+\left(-1\right)=-2\ne 0.$ Suy ra hai vecto $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ không vuông góc với nhau. Do đó B sai.
   Ta có: $\overrightarrow{z}.\overrightarrow{t}=a.\left(-b\right)+b.a=-ab+ab=0.$ Suy ra hai vecto $\overrightarrow{z},\overrightarrow{t}$ vuông góc với nhau. Do đó C đúng.
   Ta có: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{k}=1.2+1.0=2+0=2\ne 0.$ Suy ra hai vecto $\overrightarrow{n},\overrightarrow{k}$ không vuông góc. Do đó D sai.
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trong mặt phẳng tọa độ, vecto nào sau đây có độ dài bằng 1? A. a→1;1 B. b→1;−1 C. c→2;12 D. d→12;−12
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong mặt phẳng tọa độ, vecto nào sau đây có độ dài bằng 1?
   A. $\overrightarrow{a}\left(1;1\right)$
   B. $\overrightarrow{b}\left(1;-1\right)$
   C. $\overrightarrow{c}\left(2;\frac{1}{2}\right)$
   D. $\overrightarrow{d}\left(\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)$

   Trả lời:

   Vì $\overrightarrow{a}\left(1;1\right)\Rightarrow \left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\ne 1$.  Do đó A sai.
   Vì $\overrightarrow{b}\left(1;-1\right)\Rightarrow \left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{2}\ne 1$. Do đó B sai.
   Vì $\overrightarrow{c}\left(2;\frac{1}{2}\right)\Rightarrow \left|\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{2^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{17}{4}}\ne 1$. Do đó C sai.
   Vì $\overrightarrow{d}\left(\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)\Rightarrow \left|\overrightarrow{d}\right|=\sqrt{{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)}^2}=1$. Do đó D đúng.
   Chọn D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Góc giữa vecto a→1;−1 và vecto b→−2;0 có số đo bằng: A. 900. B. 00. C. 1350. D. 450.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Góc giữa vecto $\overrightarrow{a}\left(1;-1\right)$ và vecto $\overrightarrow{b}\left(-2;0\right)$ có số đo bằng:
   A. 90⁰.
   B. 0⁰.
   C. 135⁰.
   D. 45⁰.

   Trả lời:

   Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=1.\left(-2\right)+\left(-1\right).0=-2,\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{2},\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+0^2}=2.$
   $\Rightarrow cos\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{-2}{2\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)={135}^0.$
   Chọn C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. a→.b→c→=a→b→.c→. B. a→.b→2=a→2.b→2. C. a→.b→=a→.b→.sina→,b→. D. a→b→−c→=a→.b→−a→.c→.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Khẳng định nào sau đây là đúng?
   A. $\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\left(\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}\right).$
   B. ${\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2.{\overrightarrow{b}}^2.$
   C. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\sin \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right).$
   D. $\overrightarrow{a}\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}.$

   Trả lời:

   Theo tính chất của tích vô hướng ta có:
   $\overrightarrow{a}\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}$ (tính chất phân phối đối với phép trừ)
   Chọn D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====