Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với (O). Đường thẳng vuông góc với OB tại O cắt tia AC tại N. Đường thẳng vuông góc với OC cắt tia AB tại M. Điểm A phải cách O một khoảng là bao nhiêu để cho MN là tiếp tuyến của (O)?

Câu hỏi:

Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với (O). Đường thẳng vuông góc với OB tại O cắt tia AC tại N. Đường thẳng vuông góc với OC cắt tia AB tại M. Điểm A phải cách O một khoảng là bao nhiêu để cho MN là tiếp tuyến của (O)?

A. OA = 2R

Đáp án chính xác

B. $OA =\frac{3}{2} R$

C. OA = 3R

D. $OA=\frac{4}{3}R$

Trả lời:

Đáp án ADễ có AMON là hình bình hành (ON // AM; OM // AN)Ta chứng minh OM = ONXét tam giác OBM và tam giác OCN có:$\widehat{OBM}=\widehat{OCN} = {90}^o$;OB = OC = R,và $\widehat{OMB}=\widehat{OCN}=\widehat{A}$$\Rightarrow ∆OBM = ∆OCN$$\Rightarrow$ OM = ON $\Rightarrow$ AMON là hình thoiVậy OA $\perp$ MN mà độ dài OA bằng 2 lần khoảng cách từ O đến MNDo đó MN là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)$\iff$ Khoảng cách từ O đến MN bằng R $\iff$ OA = 2R

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho tam giác ABC cân tại A; đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Khi đó đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC cân tại A; đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Khi đó đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI?

   A. HK

   Đáp án chính xác

   B. IB

   C. IC

   D. AC

   Trả lời:

   Đáp án AGọi O là trung điểm AI. Xét tam giác vuông AIK có:OK = OI = OA $\Rightarrow K\in \left(O;\frac{AI}{2}\right) (*)$Ta đi chứng minh OK $\perp$ KH tại K.Xét tam giác OKA cân tại O có $\widehat{OKA}=\widehat{OAK}$ (1)Vì tam giác ABC cân tại A có đường cao AH nên H là trung điểm của BC. Xét tam giác vuông BKC có $HK=HB=HC=\frac{BC}{2}$Suy ra tam giác KHB cân tại H nên $\widehat{HKB}=\widehat{HBK}$ (2)Mà $\widehat{HBK}=\widehat{KAH}$ (cùng phụ với $\widehat{ACB}$) (3)Từ (1); (2); (3) suy ra góc HKB = góc AKO mà:$\widehat{AKO}+\widehat{OKI} = {90}^o\Rightarrow \widehat{HKB}+\widehat{OKI}= {90}^o\Rightarrow \widehat{OKH}= {90}^o$ hay OK $\perp$ KH tại K (**)Từ (*) và (**) thì HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hình chữ nhật ABCD, H là hình chiếu của A trên BD. M, N lần lượt là trung điểm của BH, CD. Đường nào sau đây là tiếp tuyến của đường tròn tâm A, bán kính AM?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình chữ nhật ABCD, H là hình chiếu của A trên BD. M, N lần lượt là trung điểm của BH, CD. Đường nào sau đây là tiếp tuyến của đường tròn tâm A, bán kính AM?

   A. BN

   B. MN

   Đáp án chính xác

   C. AB

   D. CD

   Trả lời:

   Đáp án BLấy E là trung điểm của AH. Do M là trung điểm của BH (gt) nên EM là đường trung bình của $∆$AHB $\Rightarrow$ AM // AB và $EM =\frac{1}{2}AB$Hình chữ nhật ABCD có CD // AB và CD = AB mà N là trung điểm của DC, suy ra DN // AB và $DN =\frac{1}{2}AB$Từ (1) và (2) ta có AM // DN và AM = DNSuy ra tứ giác AMND là hình bình hành, do đó DI // MNDo EM // AB mà AB $\perp$ AD (tính chất hình chữ nhật)AH $\perp$ DM (dt) nên E là trực tâm của ADMSuy ra DE $\perp$ AM, mà DE // MN (cmt) $\Rightarrow$ MN $\perp$ AM tại MVì vậy MN là tiếp tuyến của đường tròn (A; AM)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn đường kính BH cắt AB tại D, đường tròn đường kính CH cắt AC tại E. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn đường kính BH cắt AB tại D, đường tròn đường kính CH cắt AC tại E. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

   A. DE là cát tuyến của đường tròn đường kính BH

   Đáp án chính xác

   B. DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BH

   C. Tứ giác AEHD là hình chữ nhật

   D. DE $\perp$ DI (với I là trung điểm BH)

   Trả lời:

   Đáp án AGọi I, J lần lượt là trung điểm của BH và CHĐể chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I đường kính BH ta chứng minh ID $\perp$ DE hay $\widehat{ODI} = {90}^o$Vì D, E lần lượt thuộc đường tròn đường kính BH và HC nên ta có $\widehat{BDH}=\widehat{CEH}={90}^o$Suy ra tứ giác ADHE là hình chữ nhậtGọi O là giao điểm của AH và DE, khi đó ta có OD = OH = OE = OASuy ra $∆$ODH cân tại I $\Rightarrow \widehat{ODH}=\widehat{OHD}$Ta cũng có $∆$IDH cân tại I $\Rightarrow \widehat{IDH}=\widehat{IHD}$Từ đó $\Rightarrow \widehat{IDH}+\widehat{HDO}=\widehat{IHD}+\widehat{DHO}\Rightarrow \widehat{IDO}={90}^o$$\Rightarrow ID\perp DE$Ta có $ID \perp DE$, D $\in$ (I) nên DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BHTừ chứng minh trên, suy ra các phương án B, C, D đúng

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho đường tròn (O; 2cm) bán kính OB. Vẽ dây BC sao cho OBC^ = 60o. Trên tia OB lấy điểm M sao cho BM = 2cm
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho đường tròn (O; 2cm) bán kính OB. Vẽ dây BC sao cho $\widehat{OBC} = {60}^o$. Trên tia OB lấy điểm M sao cho BM = 2cm

   A. MC là tiếp tuyến của (O)

   Đáp án chính xác

   B. MC là cát tuyến của (O)

   C. $MC\perp BC$ 

   D. $\widehat{MCB} = {45}^{\circ }$

   Trả lời:

   Đáp án ATam giác OBC cân tại O có $\widehat{OBC} = {60}^o$Nên tam giác OCB là tam giác đều suy ra BC = OB = OC = 2Xét tam giác OCM có $BC = OB = BM = 2 =\frac{OM}{2}$ nên $∆$OCM vuông tại C$\Rightarrow OC \perp CM \Rightarrow MC$ là tiếp tuyến của (O; 2cm)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho đường tròn (O; 2cm) bán kính OB. Vẽ dây BC sao cho OBC^ = 60o. Trên tia OB lấy điểm M sao cho BM = 2cm . Tính độ dài MC
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho đường tròn (O; 2cm) bán kính OB. Vẽ dây BC sao cho $\widehat{OBC} = {60}^o$. Trên tia OB lấy điểm M sao cho BM = 2cm . Tính độ dài MC

   A. $MC =2\sqrt{2} cm$

   B. $MC=\sqrt{3} cm$

   C. $MC=2\sqrt{3} cm$

   Đáp án chính xác

   D. MC = 4cm

   Trả lời:

   Đáp án CTam giác OBC cân tại O có $\widehat{OBC} = {60}^o$Nên tam giác OCB là tam giác đều suy ra BC = OB = OC = 2Xét tam giác OCM có $BC = OB = BM = 2 =\frac{OM}{2}$ nên $∆$OCM vuông tại CÁp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OCM, ta có $M^2 = O{C}^2 + M{C}^2$$\Rightarrow M{C}^2 = O{M}^2 – O{C}^2 = 4^2 – 2^2 = 12\Rightarrow MC = 2\sqrt{3} cm$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====