Cho hai đường thẳng d1:y=kx+k và d2:y=k2−12kx+k2+12k với k≠0❶ Chứng minh rằng khi k thay đổi d1 luôn đi qua một điêm cố định.❷ Với mỗi giá trị của k≠0, hãy xác định giao điểm I của d1 và d2

Câu hỏi:

Cho hai đường thẳng $\left(d_1\right):y=kx+k$ và $\left(d_2\right):y=\frac{k^2-1}{2k}x+\frac{k^2+1}{2k}$ với $k\ne 0$❶ Chứng minh rằng khi k thay đổi $\left(d_1\right)$ luôn đi qua một điêm cố định.❷ Với mỗi giá trị của $k\ne 0$, hãy xác định giao điểm I của $\left(d_1\right)$ và $\left(d_2\right)$

Trả lời:

❶ Giả sử $\left(d_1\right)$ đi qua điểm cố định $M(x_0;y_0)$, khi đó $y_0=k{x}_0+k$ với mọi k.$\begin{array}{l}k(x_0+1)-y_0=0\forall k\\ \iff \left\{\begin{array}{l}{x}_0+1=0\\ y_0=0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}{x}_0=-1\\ y_0=0\end{array}\right.\end{array}$Vậy đường thẳng $\left(d_1\right)$ luôn đi qua một điểm cố định $M(-1;0)$.❷ Giao điểm I có tọa độ $\left(\frac{1-k^2}{1+k^2};\frac{2k}{1+k^2}\right)$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Lập phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng Δ;y=−3x và đi qua điểm M(1;3). Vẽ đồ thị của (d).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Lập phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng $\left(\Delta \right);y=-3x$ và đi qua điểm $M(1;3)$. Vẽ đồ thị của (d).

   Trả lời:

   ❶ Vì (d) song song với $\left(∆\right)$ nên ta có phương trình: $\left(d\right):y=-3x+b$
   Vì $M(1;3)$ thuộc (d) nên $3=-3.1+b\iff b=6$.
   Vậy phương trình đường thẳng $\left(d\right):y=-3x+6$.
   ❷ Vẽ đồ thị của (d), ta lựa chọn hai điểm $A(0;6),B(2;0)$ thuộc (d)
   Nối A và B ta được đồ thị của (d)
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho đường thẳng Δ:y=−x+2. Lập phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng Δ và❶ Đi qua điểm M(1;−2).❷ Chắn trên hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8.❸ Khoảng cách từ O đến (d) bằng 92
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho đường thẳng $\left(\Delta \right):y=-x+2$. Lập phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng $\left(\Delta \right)$ và❶ Đi qua điểm $M(1;-2)$.❷ Chắn trên hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8.❸ Khoảng cách từ O đến (d) bằng $9\sqrt{2}$

   Trả lời:

   Đường thẳng (d) song song với đường thẳng $\left(\Delta \right)$ nên có phương trình $\left(d\right):y=-x+b$❶ Vì $M(1;-2)\in d$ nên $-2=-1.1+b\iff b=-1$Vậy phương trình đường thẳng $\left(d\right):y=-x-1$❷ Gọi A, B theo thứ tự là giao điểm của (d) với trục tọa độ Ox, Oy, ta được:Với điểm A, $x=0\Rightarrow y=0+b=b$, do đó điểm A có tọa độ $\left(0;b\right)$.Với điểm B, $y=0\Rightarrow 0=-x+b\Rightarrow x=b$, do đó điểm B có tọa độ $\left(b;0\right)$.Diện tích $\Delta AOB$ được tính bởi công thức:$S_{\Delta AOB}=\frac{1}{2}.OA.OB\iff 8=\frac{1}{2}.\left|b\right|.\left|b\right|\iff 8=\frac{b^2}{2}\iff b^2=16\iff b=\pm 4$Khi đó:Với b = 4, ta được đường thẳng $\left(d_1\right):y=-x+4$Với b = -4 ta được đường thẳng $\left(d_2\right):y=-x-4$Vậy tồn tại hai đường thẳng $\left(d_1\right)$ và $\left(d_2\right)$ thỏa mãn yêu cầu đề bài❸ Gọi A, B theo thứ tự là giao điểm của (d) với các trục tọa độ Ox, Oy, ta được:Với điểm A, $x=0\Rightarrow y=0+b=b$, do đó điểm A có tọa độ $\left(0;b\right)$Với điểm B, $y=0\Rightarrow 0=-x+b\Rightarrow x=b$, do đó điểm B có tọa độ $\left(b;0\right)$Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng (d).Trong $\Delta OAB$ vuông tại O , ta có:$\begin{array}{l}\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}\\ \iff OH=\frac{OA.OB}{\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}}\\ \iff 9\sqrt{2}=\frac{\left|b\right|.\left|-b\right|}{\sqrt{b^2+{\left(-b\right)}^2}}=\frac{\left|b\right|}{\sqrt{2}}\\ \iff \left|b\right|=18\\ \iff b=\pm 18\end{array}$Khi đó:Với b = 18, ta được đường thẳng $\left(d_3\right)$ :$y=-x+18$ Với b = -18, ta được đường thẳng $\left(d_4\right)$: $y=-x-18$Vậy tồn tại hai đường thẳng $\left(d_3\right)$ và $\left(d_4\right)$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 và d2biết:❶ d1:x+y+1=0,d2:2x+2y+3=0❷ d1:3x−y+1=0,d2:4x−y+1=0❸ d1:x+2y+1=0,d2:x+4y+3=0❹d1:2x+3y+1=0,d2:4x+6y+2=0Trong trường hợp cắt nhau, hãy tìm tọa độ giao điểm.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $\left(d_1\right)$ và $\left(d_2\right)$biết:❶ $\left(d_1\right):x+y+1=0,\left(d_2\right):2x+2y+3=0$❷ $\left(d_1\right):3x-y+1=0,\left(d_2\right):4x-y+1=0$❸ $\left(d_1\right):x+2y+1=0,\left(d_2\right):x+4y+3=0$❹$\left(d_1\right):2x+3y+1=0,\left(d_2\right):4x+6y+2=0$Trong trường hợp cắt nhau, hãy tìm tọa độ giao điểm.

   Trả lời:

   ❶ Ta có :$\left(d_1\right):y=-x-1$$\left(d_2\right):y=-x-\frac{3}{2}$Suy ra $\left(d_1\right)\left|\right|\left(d_2\right)$ vì $a=a^{‘}$ và $b\ne b^{‘}$.❷ Ta có:$\left(d_1\right):y=3x+1$$\left(d_2\right):y=4x+1$Suy ra $\left(d_1\right)$ cắt $\left(d_2\right)$ vì $a\ne a^{‘}$❸ Ta có:$\left(d_1\right):y=\frac{-1}{2}x-\frac{1}{2}$$\left(d_2\right):y=\frac{-1}{4}x-\frac{3}{4}$Suy ra $\left(d_1\right)$ cắt $\left(d_2\right)$ vì $a\ne a^{‘}$❹  Ta có:Suy ra $\left(d_1\right)$ trùng $\left(d_2\right)$ vì $a=a^{‘}$ và $b=b^{‘}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hai đường thẳng d1:y=2x−1 và d2:y=−x+2❶ Chứng tỏ rằng hai đường thẳng d1 cắt d2.Xác định tọa độ giao điểm I của chúng và vẽ hai đường thẳng này trên cùng một hệ trục tọa độ.❷ Lập phương trình đường thẳng đi qua I và song song với đường thẳng y=5x+7
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai đường thẳng $\left(d_1\right):y=2x-1$ và $\left(d_2\right):y=-x+2$❶ Chứng tỏ rằng hai đường thẳng $\left(d_1\right)$ cắt $\left(d_2\right)$.Xác định tọa độ giao điểm I của chúng và vẽ hai đường thẳng này trên cùng một hệ trục tọa độ.❷ Lập phương trình đường thẳng đi qua I và song song với đường thẳng $y=5x+7$

   Trả lời:

   ❶ Nhận xét rằng:Đường thẳng $\left(d_1\right)$ có $a_1=2$ và $b_1=-1$Đường thẳng $\left(d_2\right)$ có $a_2=-1$ và $b_2=2$Suy ra $a_1\ne a_2$ và $b_1\ne b_2$ => $\left(d_1\right)$ và $\left(d_2\right)$ cắt nhau tại điểm I.Giả sử giao điểm của hai đường thẳng có tọa độ $I(x_0;y_0)$, khi đó:Vì I thuộc $\left(d_1\right)$ nên $y_0=2x_0-1\left(1\right)$Vì I thuộc $\left(d_2\right)$ nên $y_0=-x_0+2\left(2\right)$Từ (1) và (2) suy ra $2x_0-1=-x_0+2\iff x_0=1\Rightarrow y_0=1$.❷ Đường thẳng $\left(d^{‘}\right)$ song song với đường thẳng $y=5x+7$, có phương trình $\left(d^{‘}\right)$: $y=5x+b$ với $b\ne 7$.Vì I thuộc đường thẳng $\left(d^{‘}\right)$ nên $1=5.1+b\Rightarrow b=-4$Vậy phương trình đường thẳng $\left(d^{‘}\right)$: $y=5x-4$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho ba đường thẳngd1:y=2x+3,d2:y=3x+2,d3:y=ax+a+3Xác định a để ba đường thẳng trên đồng quy, rồi vẽ đồ thị của ba đường thẳng đó trên cùng một hệ trục tọa độ.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho ba đường thẳng$\left(d_1\right):y=2x+3,\left(d_2\right):y=3x+2,\left(d_3\right):y=ax+a+3$Xác định a để ba đường thẳng trên đồng quy, rồi vẽ đồ thị của ba đường thẳng đó trên cùng một hệ trục tọa độ.

   Trả lời:

   Xác định giao điểm của hai đường thẳng $\left(d_1\right)$ và $\left(d_2\right)$ là $A(1;5)$Để ba đường thẳng đồng quy thì $\left(d_3\right)$ đi qua A.Thay tọa độ của A vào phương trình đường thẳng $\left(d_3\right)$ ta được:$\begin{array}{l}5=a.1+a+3=2a+3\\ \iff a=1\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====