Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a∈−10;+∞ để hàm số y=x3+a+2x+9−a2 đồng biến trên khoảng (0,1)?

Câu hỏi:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

$a\in \left(-10;+\infty \right)$ để hàm số

$y=\left|x^3+\left(a+2\right)x+9-a^2\right|$ đồng biến trên khoảng (0,1)?

A. 12

B. 11

Đáp án chính xác

C. 6

D. 5

Trả lời:

Chọn B
Xét 

$f\left(x\right)=x^3+\left(a+2\right)x+9-a^2$
$f‘\left(x\right)=3x^2+a+2$Để

$y=\left|f\left(x\right)\right|$ đồng biến trên khoảng 

$\left(0;1\right)$TH1:

$\left\{\begin{array}{l}f‘\left(x\right)\ge 0,\forall x\in \left(0;1\right)\\ f\left(0\right)\ge 0\end{array}\right.$
$\iff \left\{\begin{array}{l}3x^2+a+2\ge 0,\forall x\in \left(0;1\right)\\ 9-a^2\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a\ge Max\left(0;1\right)\left(-3x^2-2\right)\\ 9-a^2\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a\ge -2\\ -3\le a\le 3\end{array}\right.\Rightarrow a\in \left[-2;3\right]$
$a=\left\{-2;-1;0;1;2;3;\right\}$ → 6 giá trị
TH2:

$\left\{\begin{array}{l}f‘\left(x\right)\le ,\forall x\in \left(0;1\right)\\ f\left(0\right)\le 0\end{array}\right.$
$\iff \left\{\begin{array}{l}3x^2+a+2\le 0,\forall x\in \left(0;1\right)\\ 9-a^2\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a\le Min\left(0;1\right)\left(-3x^2-2\right)\\ 9-a^2\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a\le -5\\ \left[\begin{array}{l}a\ge 3\\ a\le -3\end{array}\right.\end{array}\right.\Rightarrow a\le -5$Kết hợp với điều kiện bài toán

$a=\left\{-9;-8;-7;-6;-5\right\}$ → 5 giá trị
Vậy có 11 giá trị thoả mãn.

====== **** =====