Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:x3=y2=z2, điểm A(3; -1; -1) và mặt phẳng P:x+2y+2z−3=0. Gọi ∆ là đường thẳng đi qua A và tạo với mặt phẳng (P) một góc φ. Biết rằng khoảng cách giữa d và ∆ là 3, tính giá trị nhỏ nhất của cosφ 

Câu hỏi:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z}{2},$ điểm A(3; -1; -1) và mặt phẳng
$\left(P\right):x+2y+2z-3=0.$ Gọi $∆$ là đường thẳng đi qua A và tạo với mặt phẳng (P) một góc $\phi$. Biết rằng khoảng cách giữa d và $∆$ là 3, tính giá trị nhỏ nhất của $cos\phi$ 

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{4}{9}$

Đáp án chính xác

D. $\frac{5}{9}$

Trả lời:

Gọi (Q) là mặt phẳng chứa $∆$ và song song với d
Khi đó ta có $d\left(\Delta ;d\right)=d\left(d;\left(Q\right)\right)=d\left(O;\left(Q\right)\right)$ do $O\in d.$
Gọi $\overrightarrow{n_Q}=\left(a;b;c\right)$ là 1 VTPT của (Q).
Khi đó phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A(3; -1; -1) là:
                     $a\left(x-3\right)+b\left(y+1\right)+c\left(z+1\right)=0\iff ax+by+cz-3a+b+c=0$
Lại có d // (Q) nên $\overrightarrow{u_d}\perp \overrightarrow{n_Q}\iff 3a+2b+2c=0.$
Ta có: $d\left(O;\left(Q\right)\right)=\frac{\left|-3a+b+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=3.$
$\iff {\left(-3a+b+c\right)}^2=9\left(a^2+b^2+c^2\right)$
$\iff 9a^2+b^2+c^2-6ab-6ac+2bc=9\left(a^2+b^2+c^2\right)$
$\iff 4\left(b^2+c^2\right)=-3ab-3ac+bc$
Ta có hệ phương trình
$\left\{\begin{array}{l}4\left(b^2+c^2\right)=-3ab-3ac+bc\\ 3a+2b+2c=0\end{array}\right.$
$\iff \left\{\begin{array}{l}4\left(b^2+c^2\right)=2\left(b+c\right)b+2\left(b+c\right)c+bc\\ 3a=-2\left(b+c\right)\end{array}\right.$
$\iff \left\{\begin{array}{l}4b^2+4c^2=2b^2+2bc+2bc+2c^2+bc\\ 3a=-2\left(b+c\right)\end{array}\right.$
$\iff \left\{\begin{array}{l}2b^2+2c^2-5bc=0\\ 3a=-2\left(b+c\right)\end{array}\right.$
$\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}b=2c\\ c=2b\end{array}\right.\\ 3a=-2\left(b+c\right)\end{array}\right.$
$\iff \left[\begin{array}{l}b=2c;a=-2c\\ c=2b;a=-2b\end{array}\right.$
$\iff \left[\begin{array}{l}\overrightarrow{n_Q}=\left(-2c;2c;c\right)=\left(-2;2;1\right)\\ \overrightarrow{n_Q}=\left(-2b;b;2b\right)=\left(-2;1;2\right)\end{array}\right.$

Gọi $d‘=\left(P\right)\cap \left(Q\right).$ Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên $\left(P\right),d‘,M=\Delta \cap \left(P\right).$
Khi đó ta có $\angle \left(\left(P\right);\left(Q\right)\right)=\angle AKH,\phi =\angle \left(\Delta ;\left(P\right)\right)=\angle AMH.$
Ta có cos$\phi$ đạt giá trị nhỏ nhất $\Rightarrow \sin \phi$ đạt giá trị lớn nhất.
Ta có $\sin \phi =\frac{AH}{AM}\le \frac{AH}{AK},$ do đó $\sin {\phi }_{\max }=\frac{AH}{AK}\iff H\equiv K.$
Khi đó $\cos {\phi }_{\min }=\cos \left(\left(P\right);\left(Q\right)\right)=\frac{\left|\overrightarrow{n_P}.\overrightarrow{n_Q}\right|}{\left|\overrightarrow{n_P}\right|.\left|\overrightarrow{n_Q}\right|}.$
TH1: $\overrightarrow{n_Q}=\left(-2;2;1\right)\Rightarrow \cos {\phi }_{\min }=\frac{\left|-2.1+2.2+1.2\right|}{\sqrt{9}.\sqrt{9}}=\frac{4}{9}.$
TH2: $\overrightarrow{n_Q}=\left(-2;1;2\right)\Rightarrow \cos {\phi }_{\min }=\frac{\left|-2.1+1.2+2.2\right|}{\sqrt{9}.\sqrt{9}}=\frac{4}{9}.$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $\cos \phi$ bằng $\frac{4}{9}.$
Chọn C.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’x=x−13x−2 với mọi x∈ℝ. Hàm số đã cho đạt cực đại tại 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm $f‘\left(x\right)={\left(x-1\right)}^3\left(x-2\right)$ với mọi $x\in ℝ.$ Hàm số đã cho đạt cực đại tại 

   A. x = -1

   B. x = 1

   Đáp án chính xác

   C. x = 2

   D. x = -2

   Trả lời:

   Ta có: $f‘\left(x\right)={\left(x-1\right)}^3\left(x-2\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=2\end{array}\right..$
   BXD:
   
   $\Rightarrow$ Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 1.
   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:x=1−ty=2+3tz=5−tt∈ℝ. Một vectơ chỉ phương của d là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2+3t\\ z=5-t\end{array}\right.\left(t\in ℝ\right).$ Một vectơ chỉ phương của d là

   A. $\overrightarrow{u_2}=\left(-1;3;-1\right)$

   Đáp án chính xác

   B. $\overrightarrow{u_4}=\left(1;3;-1\right)$

   C. $\overrightarrow{u_1}=\left(1;3;1\right)$

   D. $\overrightarrow{u_3}=\left(1;2;5\right)$

   Trả lời:

   Đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2+3t\\ z=5-t\end{array}\right.\left(t\in ℝ\right).$ Một vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u_2}=\left(-1;3;-1\right).$
   Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:  Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
   
    Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

   A. x = 1

   Đáp án chính xác

   B. x = -3

   C. x = -5

   D. x = -2

   Trả lời:

   Dựa vào BBT suy ra hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1.
   Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Gọi z1,z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2+2z+5=0. Giá trị của z12+z22 là: 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Gọi $z_1,z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^2+2z+5=0.$ Giá trị của ${\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2$ là: 

   A. 10                           

   Đáp án chính xác

   B. 50                           

   C. 5                             

   D. 18

   Trả lời:

   Ta có: $z^2+2z+5=0\iff \left[\begin{array}{l}{z}_1=-1+2i\\ z_2=-1-2i\end{array}\right.\Rightarrow \left|z_1\right|=\left|z_2\right|=\sqrt{5}.$
   Vậy ${\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2=5+5=10.$
   Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d1:x=2−2ty=4tz=−3+6t và d2:x=1−ty=2+2tz=3t. Khẳng định nào sau đây đúng? 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d_1:\left\{\begin{array}{l}x=2-2t\\ y=4t\\ z=-3+6t\end{array}\right.$ và $d_2:\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2+2t\\ z=3t\end{array}\right..$ Khẳng định nào sau đây đúng? 

   A. $d_1$và $d_2$ chéo nhau

   B. $d_1\equiv d_2$

   Đáp án chính xác

   C. $d_1\perp d_2$

   D. $d_1//d_2$

   Trả lời:

   Đường thẳng $d_1:\left\{\begin{array}{l}x=2-2t\\ y=4t\\ z=-3+6t\end{array}\right.$ có 1 VTCP là $\overrightarrow{u_1}=\left(-2;4;6\right).$
   Đường thẳng $d_2:\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2+2t\\ z=3t\end{array}\right.$ có 1 VTCP là $\overrightarrow{u_2}=\left(-1;2;3\right).$
   Ta có $\overrightarrow{u_1}=2\overrightarrow{u_2}$ nên $d_1\equiv d_2$ hoặc $d_1//d_2$
   Lấy $M\left(2;0;-3\right)\in d_1,$ thay vào phương trình đường thẳng $d_2$ ta có: $\left\{\begin{array}{l}2=1-t\\ 0=2+2t\\ -3=3t\end{array}\right.\iff t=-1\Rightarrow M\in d_2.$
   Vậy $d_1\equiv d_2.$
   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====