Từ một miếng tôn có hình dạng là nửa đường tròn bán kính 1m, người ta cắt ra một hình chữ nhật. Hỏi có thể cắt được miếng tôn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?

Câu hỏi:

Từ một miếng tôn có hình dạng là nửa đường tròn bán kính 1m, người ta cắt ra một hình chữ nhật. Hỏi có thể cắt được miếng tôn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?

A. $1,6m^2$

B. $2m^2$

C. $1m^2$

Đáp án chính xác

D. $0,8m^2$

Trả lời:

Đáp án CXét đường tròn bán kính 1, ta cắt trên đó một hình chữ nhật ABCD.Khi đó $S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC.BD.\sin \alpha =2\sin \alpha \le 2$Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\alpha = {90}^{\circ }$Vậy diện tích lớn nhất của miếng tôn cắt trên nửa đường tròn bằng 1

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Tam giác ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Khi đó tỉ số Rr bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tam giác ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Khi đó tỉ số $\frac{R}{r}$ bằng:

   A. $1+\sqrt{2}$

   Đáp án chính xác

   B. $\frac{2+\sqrt{2}}{2}$

   C. $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$

   D. $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$

   Trả lời:

   Đáp án ATa có: $R=\frac{abc}{4S},r=\frac{S}{p}$Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên b = c và $a=\sqrt{b^2+c^2}=b\sqrt{2}$Xét tỉ số:$\frac{R}{r}=\frac{abc.p}{4S^2}=\frac{abc.\frac{a+b+c}{2}}{4.\frac{1}{4}.{\left(b.c\right)}^2}=\frac{a\left(a+2b\right)}{2b^2}=\frac{2b^2\left(1+\sqrt{2}\right)}{2b^2}=1+\sqrt{2}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho tam giác đều ABC cạnh 18cm. Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức 2MA→+3MB→+4MC→=MA→−MB→ là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác đều ABC cạnh 18cm. Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức $\left|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|$ là:

   A. Tập rỗng

   B. Đường tròn cố định có bán kính R = 2cm

   Đáp án chính xác

   C. Đường tròn cố định có bán kính R = 3cm

   D. Một đường thẳng

   Trả lời:

   Đáp án BTa có: $\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{AB}\right|=18$Dựng điểm I thỏa mãn:$2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{AI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{9}\overrightarrow{AC}$Khi đó:$\left|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|\iff 9\left|\overrightarrow{MI}\right|=18\iff IM=2$Do đó tập hợp các điểm M là đường tròn cố định có bán kính R = 2cm

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Gọi M là điểm tùy ý trên đường tròn nội tiếp hình vuông. Tính MA→.MB→+MC→.MD→
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Gọi M là điểm tùy ý trên đường tròn nội tiếp hình vuông. Tính $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD}$

   A. $\frac{a^2}{2}$

   Đáp án chính xác

   B. $\frac{a^2}{4}$

   C. $\frac{a^2}{8}$

   D. 0

   Trả lời:

   Đáp án A$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD}=\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)+\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}\right)\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}\right)=2M{O}^2+\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{MO}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right)Có \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OB}\Rightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0,\overrightarrow{OC}\perp \overrightarrow{OD}\Rightarrow \overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OD}=0$Đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh a có bán kính $\frac{a}{2}\Rightarrow MO=\frac{a}{2}\Rightarrow M{O}^2=\frac{a^2}{4}$Vậy $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD}=2.\frac{a^2}{4}=\frac{a^2}{2}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Trên nóc một tòa nhà có cột ăng-ten cao 5m. Từ vị trí quan sát A cao 7m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten dưới góc 50∘ và 40∘ so với phương nằm ngang (như hình vẽ bên). Chiều cao của tòa nhà (được làm tròn đến hàng phần mười) là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trên nóc một tòa nhà có cột ăng-ten cao 5m. Từ vị trí quan sát A cao 7m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten dưới góc ${50}^{\circ }$ và ${40}^{\circ }$ so với phương nằm ngang (như hình vẽ bên). Chiều cao của tòa nhà (được làm tròn đến hàng phần mười) là:

   A. 21,2m

   B. 14,2m

   C. 11,9m

   D. 18,9m

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án DTa có chiều cao của tòa nhà chính là đoạn HC.Mà HC = CD + DH = CD + 7Xét tam giác ACD vuông tại D có $AC=\frac{CD}{\sin {40}^0}$Xét tam giác ABD vuông tại D có $AB=\frac{5+CD}{\sin {50}^0}$Xét tam giác ABC có:$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB.AC.\cos \widehat{BAC}\iff \left(\frac{1}{{\sin }^2{50}^0}+\frac{1}{{\sin }^2{40}^0}-\frac{2\cos {10}^0}{\sin {40}^0\sin {50}^0}\right)C{D}^2+\left(\frac{10}{{\sin }^2{50}^0}-\frac{10\cos {10}^0}{\sin {40}^0\sin {50}^0}\right)+\frac{25}{{\sin }^2{50}^0}-25=0\iff CD\approx 11,9\Rightarrow HC\approx 7+11,9\approx 18,9\left(m\right)$Vậy tòa nhà cao 18,9m

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho tam giác ABC có a = 5 cm, c = 9 cm, cosC=−110. Tính độ dài đường cao ha hạ từ A của tam giác ABC
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC có a = 5 cm, c = 9 cm, $\cos C=-\frac{1}{10}$. Tính độ dài đường cao $h_a$ hạ từ A của tam giác ABC

   A. $h_a=\frac{\sqrt{462}}{40}cm$

   B. $h_a=\frac{\sqrt{462}}{100}cm$

   C. $h_a=\frac{21\sqrt{11}}{40}cm$

   D. $h_a=\frac{21\sqrt{11}}{10}cm$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án DÁp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:$c^2=a^2+b^2-2a.b.\cos C\Rightarrow 81=25+b^2-\mathrm{2.5.}b.\left(-\frac{1}{10}\right)\iff b^2+b-56=0\iff \left[\begin{array}{c}b=7\\ b=-8\end{array}\right.$Ta nhận được b = 7 (cm)Diện tích tam giác ABC là  $S_{\Delta ABC}=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=\sqrt{\frac{21}{2}\left(\frac{21}{2}-5\right)\left(\frac{21}{2}-7\right)\left(\frac{21}{2}-9\right)}=\frac{21\sqrt{11}}{4}\left(c{m}^2\right)$Độ dài đường cao $h_a=\frac{2S}{a}=\frac{\frac{21\sqrt{11}}{2}}{5}=\frac{21\sqrt{11}}{10}\left(cm\right)$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====