Lý thuyết Toán 12 Chương 6 (Cánh diều): Một số yếu tố xác suất

Lý thuyết Toán 12 Chương 6: Một số yếu tố xác suất

A. Lý thuyết Toán 12 Chương 6: Một số yếu tố xác suất

1. Định nghĩa xác suất có điều kiện

● Định nghĩa xác suất có điều kiện

Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu là P(A | B).

Nếu P(B) > 0 thì $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}$ .

● Nhận xét

+ Từ định nghĩa của xác suất có điều kiện, ta suy ra: Nếu P(B) > 0 thì

P(A $\cap$ B) = P(B) ∙ P(A | B).

+ Vì A ∩ B = B ∩ A nên nếu A, B là hai biến cố bất kì thì

P(A $\cap$ B) = P(A) ∙ P(B | A) = P(B) ∙ P(A | B).

Công thức trên được gọi là công thức nhân xác suất.

+ Cho hai biến cố A và B với P(B) > 0. Khi đó, ta có:

P(A | B) = $\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(B\right)}$  (*).

● Chú ý: Người ta chứng minh được tính chất sau chỉ ra mối liên hệ giữa xác suất có điều kiện và biến cố độc lập:

Cho A và B là hai biến cố với 0 < P(A) < 1, 0 < P(B) < 1. Khi đó, A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi

P(A) = P(A | B) = P(A | $\overline{B}$ ) và P(B) = P(B | A) = P(B | $\overline{A}$ ).

Nhận xét: Tính chất trên giải thích vì sao hai biến cố là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.

2. Sử dụng sơ đồ hình cây để tính xác suất có điều kiện

Ta có thể sử dụng sơ đồ hình cây để tính xác suất có điều kiện.

3. Công thức xác suất toàn phần

Công thức xác suất toàn phần:

Cho hai biến cố A, B với 0 < P(B) < 1, ta có:

P(A) = P(A $\cap$ B) + P(A $\cap$ $\overline{B}$) = P(B) ∙ P(A | B) + P($\overline{B}$ ) ∙ P(A | $\overline{B}$ ).

4. Công thức Bayes

Công thức Bayes:

Với hai biến cố A, B mà P(A) > 0, P(B) > 0, ta có:

$P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right)\cdot P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}$.

Nhận xét: Cho hai biến cố A, B với P(A) > 0, 0 < P(B) < 1. Do

P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + P($\overline{B}$ ) ∙ P(A | $\overline{B}$ )

nên công thức Bayes còn có dạng: $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right)\cdot P\left(A|B\right)}{P\left(B\right)\cdot P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right)\cdot P\left(A|\overline{B}\right)}$ .

B. Bài tập Toán 12 Chương 6: Một số yếu tố xác suất

B.1. Bài tập tự luận

Bài 1. Một bình đựng 7 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Lần lượt lấy ngẫu nhiên ra 2 viên bi, mỗi lần lấy 1 viên bi không hoàn lại. Tính xác suất để viên bi thứ 2 lấy ra màu xanh nếu biết viên bi thứ nhất màu đỏ.

Hướng dẫn giải

Xét hai biến cố:

A: “Viên bi thứ nhất là màu đỏ”;

B: “Viên bi thứ hai là màu xanh”.

Ta cần tính P(B | A).

Ta có $P\left(A\right)=\frac{6}{13}$ ; $P\left(A\cap B\right)=\frac{6}{13}.\frac{7}{12}=\frac{7}{26}$ .

Do đó $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{7}{26}:\frac{6}{13}=\frac{7}{12}$ .

Bài 2. Một nhóm học sinh tham gia một kì thi học sinh giỏi Toán của trường, trong đó có 6 học sinh lớp 12A. Sau khi chấm điểm, có 2 học sinh lớp 12A đạt giải. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong nhóm học sinh trên. Tính xác suất chọn được học sinh đạt giải, biết rằng học sinh đó thuộc lớp 12A.

Hướng dẫn giải

Xét các biến cố:

A: “Chọn được học sinh đạt giải”;

B: “Chọn được học sinh thuộc lớp 12A”.

Khi đó, xác suất chọn được học sinh đạt giải, biết rằng học sinh đó thuộc lớp 12A, là xác suất của A với điều kiện B.

Ta có: n(B) = 6, n(A $\cap$ B) = 2. Suy ra P(A | B) = $\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(B\right)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ .

Vậy xác suất chọn được học sinh đạt giải, biết rằng học sinh đó thuộc lớp 12A, là $\frac{1}{3}$ .

Bài 3. Một lô sản phẩm có 30 sản phẩm, trong đó có 10 sản phẩm chất lượng thấp. Lấy liên tiếp 2 sản phẩm trong lô sản phẩm trên, trong đó sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất không được bỏ lại vào lô sản phẩm. Tính xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp.

Hướng dẫn giải

Xét các biến cố:

A: “Lần thứ nhất lấy ra sản phẩm chất lượng thấp”;

B: “Lần thứ hai lấy ra sản phẩm chất lượng thấp”;

C: “Cả hai lần lấy ra sản phẩm chất lượng thấp”.

Khi đó, xác suất để lần thứ hai lấy ra sản phẩm có chất lượng thấp, biết lần thứ nhất lấy ra sản phẩm có chất lượng thấp, là xác suất có điều kiện P(B | A).

Và P(C) = P(B $\cap$ A).

Ta có: P(A) = $\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$ ; P(B | A) = $\frac{9}{29}$ .

Suy ra P(C) = P(B $\cap$ A) = P(A) ∙ P(B | A) = $\frac{1}{3}\cdot \frac{9}{29}=\frac{3}{29}$ .

Vậy xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp là $\frac{3}{29}$.

Bài 4. Một hộp có 7 viên bi màu đen và 4 viên bi màu tím; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Có 5 viên bi trong hộp được đánh số, trong đó có 3 viên bi màu đen và 2 viên bi màu tím. Lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Dùng sơ đồ hình cây, tính xác suất để viên bi được lấy ra có màu đen, biết rằng viên bi đó được đánh số.

Hướng dẫn giải

Xét hai biến cố sau:

A: “Viên bi được lấy ra có màu đen”;

B: “Viên bi được lấy ra có đánh số”.

Khi đó, xác suất để viên bi được lấy ra có màu đen, biết rằng viên bi đó được đánh số, là xác suất có điều kiện P(A | B).

Sơ đồ hình cây biểu thị cách tính xác suất có điều kiện P(A | B) được vẽ như sau:

Vậy xác suất để viên được lấy ra có màu đen, biết rằng viên đó được đánh số, là $\frac{3}{5}$

Bài 5. Tại một địa phương có 1 000 người cao tuổi, bao gồm 460 nam và 540 nữ. Trong nhóm người cao tuổi nam và nữ lần lượt có 40% và 55% bị bệnh tiểu đường. Chọn ngẫu nhiên một người. Xác suất để chọn được một người không bị bệnh tiểu đường là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Xét các biến cố:

A: “Chọn được người không bị bệnh tiểu đường”;

B: “Chọn được người cao tuổi là nam”;

$\overline{B}$: “Chọn được người cao tuổi là nữ”.

Từ giả thiết, ta có: P(B) = $\frac{460}{1000}=0,46$ ; P(A | B) = 1 – 0,4 = 0,6;

                            $P\left(\overline{B}\right)=\frac{540}{1000}=0,54$ ; P(A |$\overline{B}$ ) = 1 – 0,55 = 0,45.

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + P($\overline{B}$ ) ∙ P(A | $\overline{B}$ ) = 0,46 ∙ 0,6 + 0,54 ∙ 0,45 = 0,519.

Vậy xác suất để chọn được một người không bị bệnh tiểu đường là 0,519.

Bài 6. Có hai chiếc hộp, hộp I có 3 viên bi màu trắng và 7 viên bi màu đen, hộp II có 6 viên bi màu trắng và 4 viên bi màu đen, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp I bỏ sang hộp II. Sau đó lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp II.

a) Tính xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng.

b) Giả sử viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng. Tính xác suất viên bi màu trắng đó thuộc hộp I.

Hướng dẫn giải

a) Xét các biến cố:

A: “Lấy được viên bi màu trắng từ hộp II”.

B: “Lấy được viên vi màu trắng từ hộp I bỏ sang hộp II”.

$\overline{B}$: “Lấy được viên bi màu đen từ hộp I bỏ sang hộp II”.

Theo giả thiết, ta có: $P\left(B\right)=\frac{3}{10}$$\Rightarrow P\left(\overline{B}\right)=\frac{7}{10}$ ;

   $P\left(A|B\right)=\frac{7}{11}$; $P\left(A|\overline{B}\right)=\frac{6}{11}$ .

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + P( $\overline{B}$) ∙ P(A | $\overline{B}$ ) = $\frac{3}{10}.\frac{7}{11}+\frac{7}{10}.\frac{6}{11}=\frac{63}{110}$ .

Vậy xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng là $\frac{63}{100}$ .

b) Gọi N là biến cố “Viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi thuộc hộp I”. Khi đó ta cần tính P(N | A).

Ta có: P(N) = $\frac{1}{11}$ ; $P\left(A\right)=\frac{63}{110}$ . Ta có P(A | N) là xác suất để lấy được viên bi màu trắng từ hộp II, biết rằng viên bi đó thuộc hộp I, ta xét các trường hợp sau:

● Viên bi được lấy từ hộp I bỏ sang hộp II có màu đen. Khi đó xác suất lấy được viên bi trắng thuộc hộp I bằng 0.

● Viên bi được lấy từ hộp I bỏ sang hộp II có màu trắng. Khi đó xác suất lấy được viên bi màu trắng thuộc hộp I bằng $P\left(B\right)=\frac{3}{10}$ .

Do đó, P(A | N) = 0 +  $\frac{3}{10}$= $\frac{3}{10}$ . Theo công thức Bayes, ta có:

$P\left(N|A\right)=\frac{P\left(N\right)\cdot P\left(A|N\right)}{P\left(A\right)}=\frac{1}{11}\cdot \frac{3}{10}:\frac{63}{110}=\frac{1}{21}$.

Vậy xác suất viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi thuộc hộp I, biết rằng viên bi đó màu trắng, là $\frac{1}{21}$ .

Bài 7. Một loại linh kiện do hai nhà máy số I, số II cùng sản xuất. Tỉ lệ phế phẩm của các nhà máy I, II lần lượt là: 2%; 5%. Trong một lô linh kiện để lẫn lộn 90 sản phẩm của nhà máy số I và 110 sản phẩm của nhà máy số II. Một khách hàng lấy ngẫu nhiên một linh kiện từ lô hàng đó.

a) Tính xác suất để linh kiện được lấy ra là linh kiện tốt.

b) Giả sử linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm. Xác suất linh kiện đó do nhà máy nào sản xuất là cao hơn?

Hướng dẫn giải

a) Xét hai biến cố:

A: “Linh kiện được lấy ra từ lô hàng là linh kiện tốt”;

          B: “Linh kiện được lấy ra từ lô hàng do nhà máy I sản xuất”.

          $\overline{B}$ : “Linh kiện được lấy ra từ lô hàng do nhà máy II sản xuất”.

Vì lô linh kiện để lẫn lộn 90 sản phẩm của nhà máy số I và 110 sản phẩm của nhà máy số II nên P(B) = $\frac{90}{90+110}=0,45$ , suy ra $P\left(\overline{B}\right)=1-0,45=0,55$ .

Vì tỉ lệ phế phẩm của các nhà máy I, II lần lượt là: 2%; 5% nên tỉ lệ thành phẩm (linh kiện tốt) của các nhà máy I, II lần lượt là 98%; 95%.

Do đó P(A | B) = 0,98 và P(A | $\overline{B}$ ) = 0,95.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất để linh kiện được lấy ra là linh kiện tốt là:

P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + P($\overline{B}$ ) ∙ P(A | $\overline{B}$ ) = 0,45 ∙ 0,98 + 0,55 ∙ 0,95 = 0,9635.

b) Xét biến cố C: “Linh kiện được lấy ra từ lô hàng là linh kiện phế phẩm”.

Khi đó, ta có C =$\overline{A}$ . Suy ra P(C) = P($\overline{A}$ ) = 1 – P(A) = 1 – 0,9635 = 0,0365.

Theo bài ra ta có: P(C | B) = 2% = 0,02.

Do đó, nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất sản phẩm đó do nhà máy I sản xuất là: P(B | C) = $\frac{P\left(B\right)\cdot P\left(C|B\right)}{P\left(C\right)}=\frac{0,45\cdot 0,02}{0,0365}=\frac{18}{73}$ .

Nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất sản phẩm đó do nhà máy II sản xuất là: P( $\overline{B}$| C) = 1 – P(B | C) = $1-\frac{18}{73}=\frac{55}{73}$ .

Vì $\frac{55}{73}>\frac{18}{73}$ nên nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất linh kiện đó do nhà máy II sản xuất là cao hơn.

B.2. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1. Nếu hai biến cố A và B thỏa mãn P(B) = 0,6; P(A $\cap$ B) = 0,3 thì P(A | B) bằng

A. 0,5.

B. 0,3.

C. 0,18.

D. 0,9.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\frac{0,3}{0,6}=\frac{3}{6}=0,5$ .

Bài 2. Nếu hai biến cố A, B thỏa mãn P(B) = 0,2; P(A | B) = 0,8 thì P(A $\cap$ B) bằng

A. 0,25.

B. 0,6.

C. 0,16.

D. 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng công thức nhân xác suất, ta có:

P(A $\cap$ B) = P(B) ∙ P(A | B) = 0,2 ∙ 0,8 = 0,16.

Bài 3. Nếu hai biến cố A, B thỏa mãn P(B) = 0,3; P(A | B) = 0,4; $P\left(A|\overline{B}\right)=0,25$  thì P(A) bằng

A. 0,259.

B. 0,295.

C. 0,7.

D. 0,95.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì P(B) = 0,3 suy ra P($\overline{B}$ ) = 1 – P(B) = 1 – 0,3 = 0,7.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + P($\overline{B}$ ) ∙ P(A | $\overline{B}$ ) = 0,3 ∙ 0,4 + 0,7 ∙ 0,25 = 0,295.

Bài 4. Nếu hai biến cố A và B thỏa mãn P(A) = 0,8; P(B) = 0,3; P(A | B) = 0,7 thì P(B | A) bằng

A. 0,26.

B. 0,2.

C. 0,2625.

D. 0,5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng công thức Bayes, ta có:

$P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right)\cdot P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{0,3\cdot 0,7}{0,8}$= 0,2625.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Lý thuyết Chương 2: Toạ độ vectơ trong không gian

Lý thuyết Chương 3: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Lý thuyết Chương 4: Nguyên hàm. Tích phân

Lý thuyết Chương 5: Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Lý thuyết Chương 6: Một số yếu tố xác suất