Giải bài tập Toán lớp 11 Bài tập cuối chương 7 trang 51
Trắc nghiệm
Bài 1 trang 51 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số y = x3 – 3x2. Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm M(−1; −4) có hệ số góc bằng
A. -3
B. 9
C. -9
D. 72
Lời giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có y’ = (x3 – 3x2)’ = 3x2 – 6x.
Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm M(−1; −4) có hệ số góc là:
k = y'(−1) = 3*(−1)2 – 6*(−1) = 9.
Vậy k = 9 là hệ số góc cần tìm.
Bài 2 trang 51 Toán 11 Tập 2: Hàm số y = −x2 + x + 7 có đạo hàm tại x = 1 bằng
A. -1
B. 7
C. 1
D. 6
Lời giải:
Đáp án đúng là: A
Có y’ = (−x2 + x + 7)’ = −2x + 1.
Khi đó y'(1) = −2*1 + 1 = −1.
Vậy đạo hàm của hàm số y = −x2 + x + 7 tại x = 1 là −1.
Bài 3 trang 51 Toán 11 Tập 2: Cho hai hàm số f(x) = 2x3 – x2 + 3 và . Bất phương trình f'(x) > g'(x) có tập nghiệm là
A. (−; 0] [1; +).
B. (0; 1).
C. [0; 1].
D. (−; 0) (1; +).
Lời giải:
Đáp án đúng là: D
Có f'(x) = (2x3 – x2 + 3)’ = 6x2 – 2x.
= 3x2 + x.
Để f'(x) > g'(x) thì 6x2 – 2x > 3x2 + x
3x2 – 3x > 0 3x(x – 1) > 0
x < 0 hoặc x > 1.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: (−; 0) (1; +).
Bài 4 trang 51 Toán 11 Tập 2: Hàm số có đạo hàm là
A. .
B. .
C. .
D. .
Lời giải:
Đáp án đúng là: C
.
Bài 5 trang 51 Toán 11 Tập 2: Hàm số có đạo hàm cấp hai tại x = 1 là
A. .
B. .
C. .
D. .
Lời giải:
Đáp án đúng là: D
Có ; .
Khi đó .
Tự luận
Bài 6 trang 51 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = x2 – 2x + 3 có đồ thị (C) và điểm M(−1; 6) (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M.
Lời giải:
Có f'(x) = (x2 – 2x + 3)’ = 2x – 2.
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M có hệ số góc k = f'(−1) = 2×(−1) – 2 = −4.
Do đó phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M là:
y = −4(x + 1) + 6 = −4x + 2.
Vậy y = −4x + 2 là tiếp tuyến cần tìm.
Bài 7 trang 51 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = 3x4 – 7x3 + 3x2 + 1;
b) y = (x2 – x)3;
c) .
Lời giải:
a) y’ = (3x4 – 7x3 + 3x2 + 1)’ = 12x3 – 21x2 + 6x.
b) y’ = [(x2 – x)3]’ = 3(x2 – x)2×(x2 – x)’ = 3(x2 – x)2×(2x – 1).
c)
.
Bài 8 trang 51 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = (x2 + 3x – 1)ex;
b) y = x3log2x.
Lời giải:
a) y’ = [(x2 + 3x – 1)ex]’ = (x2 + 3x – 1)’ex + (x2 + 3x – 1)(ex)’
= (2x + 3)ex + (x2 + 3x – 1)ex = (x2 + 5x + 2)ex.
b) y’ = (x3log2x)’ = (x3)’log2x + x3(log2x)’
= 3x2log2x + .
Bài 9 trang 51 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = tan(ex + 1);
b) ;
c) y = cot(1 – 2x).
Lời giải:
a) y’ = [tan(ex + 1)]’ = .
b)
.
c) y’ = [cot(1 – 2x)]’ =
.
Bài 10 trang 51 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a) y = x3 – 4x2 + 2x – 3;
b) y = x2ex.
Lời giải:
a) y’ = (x3 – 4x2 + 2x – 3)’ = 3x2 – 8x + 2.
y” = (3x2 – 8x + 2)’ = 6x – 8.
Vậy y” = 6x – 8.
b) y’ = (x2ex)’ = (x2)’×ex + x2(ex)’ = 2xex + x2ex = (2x + x2)ex.
y” = [(2x + x2)ex]’ = (2x + x2)’ex + (2x + x2)(ex)’
= (2x + 2)ex + (2x + x2)ex = (x2 + 4x + 2)ex.
Vậy y” = (x2 + 4x + 2)ex.
Bài 11 trang 51 Toán 11 Tập 2: Một viên sỏi rơi từ độ cao 44,1 m thì quãng đường rơi được biểu diễn bởi công thức s(t) = 4,9t2, trong đó t là thời gian tính bằng giây và s tính bằng mét. Tính:
a) Vận tốc rơi của viên sỏi lúc t = 2;
b) Vận tốc của viên sỏi khi chạm đất.
Lời giải:
a) Vận tốc rơi của viên sỏi tại thời điểm t là v(t) = s'(t) = (4,9t2)’ = 9,8t.
Vận tốc rơi của viên sỏi lúc t = 2 là v(2) = 9,8×2 = 19,6 (m/s).
Vậy vận tốc rơi của viên sỏi lúc t = 2 là 19,6 m/s.
b) Viên sỏi chạm đất khi 4,9t2 = 44,1 t2 = 9 t = 3 (vì t > 0).
Vận tốc của viên sỏi khi chạm đất là v(3) = 9,8×3 = 29,4 (m/s).
Vậy vận tốc của viên sỏi khi chạm đất là 29,4 m/s.
Bài 12 trang 51 Toán 11 Tập 2: Một vật chuyển động trên đường thẳng được xác định bởi công thức s(t) = 2t3 + 4t + 1, trong đó t là thời gian tính bằng giây và s tính bằng mét. Tính vận tốc và gia tốc của vật khi t = 1.
Lời giải:
Ta có v(t) = s'(t) = (2t3 + 4t + 1)’ = 6t2 + 4.
a(t) = v'(t) = (6t2 + 4)’ = 12t.
Vận tốc của vật khi t = 1 là: v(1) = 6×12 + 4 = 10 (m/s).
Gia tốc của vật khi t = 1 là: a(1) = 12×1 = 12 (m/s2).
Vậy vận tốc và gia tốc của vật khi t = 1 lần lượt là 10 m/s và 12 m/s2.
Bài 13 trang 52 Toán 11 Tập 2: Dân số P (tính theo nghìn người) của một thành phố nhỏ được cho bởi công thức , trong đó t là thời gian được tính bằng năm. Tìm tốc độ tăng dân số tại thời điểm t = 12.
Lời giải:
Tốc độ tăng dân số tại thời điểm t là
.
Tốc độ tăng dân số tại thời điểm t = 12 là
(nghìn người/năm).
Vậy tốc độ tăng dân số tại thời điểm t = 12 khoảng −2,884 nghìn người/năm.
Bài 14 trang 52 Toán 11 Tập 2: Hàm số có thể được sử dụng để xác định sức cản S của dòng máu trong mạch máu có bán kính r (tính theo milimet) (theo Bách khoa toàn thư Y học “Harrison’s internal medicine 21st edition”). Tìm tốc độ thay đổi của S theo r khi r = 0,8.
Lời giải:
Ta có .
Tốc độ thay đổi của S theo r khi r = 0,8 là:
.
Vậy tốc độ thay đổi của S theo r khi r = 0,8 khoảng −12,207.
Bài 15 trang 52 Toán 11 Tập 2: Nhiệt độ cơ thể của một người trong thời gian bị bệnh được cho bởi công thức T(t) = −0,1t2 + 1,2t + 98,6, trong đó T là nhiệt độ (tính theo đơn vị đo nhiệt độ Fahrenheit) tại thời điểm t (tính theo ngày). Tìm tốc độ thay đổi của nhiệt độ ở thời điểm t = 1,5.
(Nguồn:https://www.algebra.com/algebra/homework/Trigonometry-basics/Trigonometry-basics.faq.question.
Lời giải:
Có T'(t) = (−0,1t2 + 1,2t + 98,6)’ = −0,2t + 1,2.
Tốc độ thay đổi của nhiệt độ ở thời điểm t = 1,5 là:
T'(1,5) = −0,2×1,5 + 1,2 = 0,9°F/ngày.
Vậy tốc độ thay đổi của nhiệt độ ở thời điểm t = 1,5 là 0,9°F/ngày.
Bài 16 trang 52 Toán 11 Tập 2: Hàm số có thể được sử dụng để xác định nhịp tim R của một người mà tim của người đó có thể đẩy đi được 6 000ml máu trên mỗi phút và v ml máu trên mỗi nhịp đập (theo Bách khoa toàn thư Y học “Harrison’s internal medicine 21st edition”). Tìm tốc độ thay đổi của nhịp tim khi lượng máu tim đẩy đi ở một nhịp là v = 80.
Lời giải:
Ta có .
Tốc độ thay đổi của nhịp tim khi lượng máu tim đẩy đi ở một nhịp v = 80 là
(ml/nhịp).
Vậy tốc độ thay đổi của nhịp tim khi lượng máu tim đẩy đi ở một nhịp v = 80 là −0,9375 ml/nhịp.
Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm
Bài tập cuối chương 7
Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc
Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Bài 3: Hai mặt phẳng vuông góc
Bài 4: Khoảng cách trong không gian