Giải SGK Toán 11 Bài 1 (Cánh diều): Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm

Giải bài tập Toán lớp 11 Bài 1: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm

Câu hỏi khởi động trang 3 Toán 11 Tập 2: Một cuộc khảo sát đã tiến hành xác định tuổi (theo năm) của 120 chiếc ô tô. Kết quả điều tra được cho trong Bảng 1.

Tìm các số đặc trưng đo xu thế trung tâm (số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị, mốt) cho mẫu số liệu ghép nhóm đó như thế nào cho thuận lợi?

Lời giải:

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Bảng tần số ghép nhóm bao gồm giá trị đại diện và tần số tích lũy như sau:

Nhóm	Giá trị đại diện	Tần số	Tần số tích lũy
[0; 4)	2	13	13
[4; 8)	6	29	42
[8; 12)	10	48	90
[12; 16)	14	22	112
[16; 20)	18	8	120
		n = 120

⦁ Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:

$\overline{x}=\frac{13\cdot 2+29\cdot 6+48\cdot 10+22\cdot 14+8\cdot 18}{120}\approx 9,43.$

⦁ Số phần tử của mẫu là n = 120. Ta có $\frac{n}{2}=\frac{120}{2}$ = 60.

Mà 42 < 60 < 90 nên nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bẳng 60.

Xét nhóm 3 là nhóm [8; 12) có r = 8, d = 4, n₃ = 48 và nhóm 2 là nhóm [4; 8) có cf₂ = 42.

Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu đã cho là:

M_e = $8+\left(\frac{60-42}{48}\right)\cdot 4$ = 9,5.

Do đó tứ phân vị thứ hai là Q₂ = M_e = 9,5.

⦁ Ta có: $\frac{n}{4}=\frac{120}{4}$ = 30 mà 13 < 30 < 42. Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 30.

Xét nhóm 2 là nhóm [4; 8) có s = 4; h = 4; n₂ = 29 và nhóm 1 là nhóm [0; 4) có cf₁ = 13.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:

Q₁ = $4+\left(\frac{30-13}{29}\right)\cdot 4\approx 6$ (năm).

⦁ Ta có: $\frac{n}{2}=\frac{120}{2}$ = 60 mà 42 < 60 < 90. Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 60.

Xét nhóm 3 là nhóm [8; 12) có r = 8; d  = 4; n₃ = 48 và nhóm 2 là nhóm [4; 8) có cf₂ = 42.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ hai là:

Q₂ = M_e = $8+\left(\frac{60-42}{48}\right)\cdot 4$ = 9,5 (năm).

⦁ Ta có: $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 120}{4}$ = 90 mà cf₃ = 90. Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 90.

Xét nhóm 3 là nhóm [8; 12) có r = 8; d  = 4; n₃ = 48 và nhóm 2 là nhóm [4; 8) có cf₂ = 42.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:

Q₃ = $8+\left(\frac{90-42}{48}\right)\cdot 4$ = 12 (năm).

Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu trên là:

Q₁ ≈ 6 (năm); Q₂ ≈ 9,5 (năm) và Q₃ ≈ 12 (năm).

I. Mẫu số liệu ghép nhóm

Hoạt động 1 trang 3 Toán 11 Tập 2: Trong Bảng 1 ở phần mở đầu ta thấy:

⦁ Có 13 ô tô có độ tuổi dưới 4;

⦁ Có 29 ô tô có độ tuổi từ 4 đến dưới 8.

Hãy xác định số ô tô có độ tuổi:

a) Từ 8 đến dưới 12;

b) Từ 12 đến dưới 16;

c) Từ 16 đến dưới 20.

Lời giải:

a) Có 48 ô tô có độ tuổi từ 8 đến dưới 12;

b) Có 22 ô tô có độ tuổi từ 12 đến dưới 16;

c) Có 8 ô tô có độ tuổi từ 16 đến dưới 20.

Luyện tập 1 trang 4 Toán 11 Tập 2: Mẫu số liệu ghép nhóm ở Bảng 1 có bao nhiêu số liệu? Bao nhiêu nhóm? Tìm tần số của mỗi nhóm.

Lời giải:

Từ Bảng 1, ta thấy:

⦁ Mẫu số liệu đó gồm 120 số liệu và 5 nhóm.

⦁ Tần số của nhóm 1, 2, 3, 4, 5 lần lượt là: 13; 29; 48; 22; 8.

Hoạt động 2 trang 4 Toán 11 Tập 2: Một trường trung học phổ thông chọn 36 học sinh nam của khối 11, đo chiều cao của các bạn học sinh đó và thu được mẫu số liệu sau (đơn vị: centimét):

Lời giải:

Từ mẫu số liệu đã cho ta thấy giá trị nhỏ nhất là 160, giá trị lớn nhất là 175. Do đó ta chia mẫu số liệu đã cho thành 5 nhóm như sau:

[160; 163); [163; 166); [166; 169); [169; 172); [172; 175).

Luyện tập 2 trang 5 Toán 11 Tập 2: Một thư viện thống kê người đến đọc sách vào buổi tối trong 30 ngày của tháng vừa qua như sau:

Lập bảng tần số ghép nhóm có tám nhóm ứng với tám nửa khoảng sau:

[25; 34); [34; 43); [43; 52); [52; 61); [61; 70); [70; 79); [79; 88); [88; 97).

Lời giải:

Bảng tần số ghép nhóm như sau:

Nhóm	Tần số
[25; 34)	3
[34; 43)	3
[43; 52)	6
[52; 61)	5
[61; 70)	4
[70; 79)	3
[79; 88)	4
[88; 97)	2
	n = 30

Hoạt động 3 trang 5 Toán 11 Tập 2: Trong Bảng 4, có bao nhiêu số liệu với giá trị không vượt quá giá trị đầu mút phải:

a) 163 của nhóm 1?                   b) 166 của nhóm 2?

c) 169 của nhóm 3?                     d) 172 của nhóm 4?

e) 175 của nhóm 5?

Lời giải:

a) Có 6 giá trị không vượt quá giá trị đầu mút phải 163 của nhóm 1.

b) Có 6 + 12 = 18 giá trị không vượt quá giá trị đầu mút phải 166 của nhóm 2.

c) Có 18 + 10 = 28 giá trị không vượt quá giá trị đầu mút phải 169 của nhóm 3.

d) Có 28 + 5 = 33 giá trị không vượt quá giá trị đầu mút phải 172 của nhóm 4.

e) Có 33 + 3 = 36 giá trị không vượt quá giá trị đầu mút phải 175 của nhóm 5.

Luyện tập 3 trang 6 Toán 11 Tập 2: Trong bài toán ở Luyện tập 2, lập bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy có tám nhóm ứng với tám nửa khoảng:

[25; 34); [34; 43); [43; 52); [52; 61); [61; 70); [70; 79); [79; 88); [88; 97).

Lời giải:

Bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy như sau:

Nhóm	Tần số	Tấn số tích lũy
[25; 34)	3	3
[34; 43)	3	6
[43; 52)	6	12
[52; 61)	5	17
[61; 70)	4	21
[70; 79)	3	24
[79; 88)	4	28
[88; 97)	2	30
	n = 30

II. Số trung bình cộng (số trung bình)

Hoạt động 4 trang 6 Toán 11 Tập 2: Xét mẫu số liệu trong Ví dụ 2 được cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm (Bảng 4).

Nhóm	Tần số
[160; 163) [163; 166) [166; 169) [169; 172) [172; 175)	6 12 10 5 3
	n = 36

Bảng 4

a) Tìm trung điểm x₁ của nửa khoảng (tính bằng trung bình cộng của hai đầu mút) ứng với nhóm 1. Ta gọi trung điểm x₁ là giá trị đại diện của nhóm 1.

b) Bằng cách tương tự, hãy tìm giá trị đại diện của bốn nhóm còn lại. Từ đó, hãy hoàn thiện các số liệu trong Bảng 7.

Nhóm	Giá trị đại diện	Tần số
[160; 163) [163; 166) [166; 169) [169; 172) [172; 175)	x1 = ? x2 = ? x3 = ? x4 = ? x5 = ?	n1 = ? n2 = ? n3 = ? n4 = ? n5 = ?
		n = ?

Bảng 7

c) Tính giá trị $\overline{x}$ cho bởi công thức sau: $\overline{x}=\frac{n_1{x}_1+n_2{x}_2+\dots +n_5{x}_5}{n}$.

Giá trị $\overline{x}$ gọi là số trung bình cộng của mẫu số liệu đã cho.

Lời giải:

a) Trung điểm x₁ (giá trị đại diện) của nửa khoảng ứng với nhóm 1 là:

x₁ = $\frac{160+163}{2}$ = 161,5.

b) Giá trị đại diện của nửa khoảng ứng với nhóm 2 là:

x₂ = $\frac{163+166}{2}$ = 164,5.

Giá trị đại diện của nửa khoảng ứng với nhóm 3 là:

x₃ = $\frac{166+169}{2}$ = 167,5.

Giá trị đại diện của nửa khoảng ứng với nhóm 4 là:

x₄ = $\frac{169+172}{2}$ = 170,5.

Giá trị đại diện của nửa khoảng ứng với nhóm 5 là:

x₅ = $\frac{172+175}{2}$ = 173,5.

Ta hoàn thiện được Bảng 7 như sau:

Nhóm	Giá trị đại diện	Tần số
[160; 163) [163; 166) [166; 169) [169; 172) [172; 175)	x1 = 161,5 x2 = 164,5 x3 = 167,5 x4 = 170,5 x5 = 173,5	n1 = 6 n2 = 12 n3 = 10 n4 = 5 n5 = 3
		n = 36

c) Số trung bình cộng của mẫu số liệu đã cho là:

$\overline{x}=\frac{6\cdot 161,5+12\cdot 164,5+10\cdot 167,5+5\cdot 170,5+3\cdot 173,5}{36}$ = 166,41(6).

Luyện tập 4 trang 8 Toán 11 Tập 2: Xác định số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm trong bài toán ở Luyện tập 2.

Lời giải:

Ta có bảng giá trị đại diện và tần số ghép nhóm như sau:

Nhóm	Giá trị đại diện	Tần số
[25; 34)	29,5	3
[34; 43)	38,5	3
[43; 52)	47,5	6
[52; 61)	56,5	5
[61; 70)	65,5	4
[70; 79)	74,5	3
[79; 88)	83,5	4
[88; 97)	92,5	2
		n = 30

Số trung bình cộng của mẫu số liệu đã cho là:

III. Trung vị

Hoạt động 5 trang 8 Toán 11 Tập 2: Trong phòng thí nghiệm, người ta chia 99 mẫu vật thành năm nhóm căn cứ trên khối lượng của chúng (đơn vị: gam) và lập bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích luỹ như Bảng 10.

Nhóm	Tần số	Tần số tích lũy
[27,5; 32,5) [32,5; 37,5) [37,5; 42,5) [42,5; 47,5) [47,5; 52,5)	16 24 20 30 9	16 40 60 90 99
	n = 99

Bảng 10

a) Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{2}=\frac{99}{2}$ = 49,5 có đúng không?

b) Tìm đầu mút trái r, độ dài d, tần số n­₃ của nhóm 3; tần số tích lũy cf₂ của nhóm 2.

c) Tính giá trị M_e theo công thức sau: M_e = $r+\left(\frac{49,5-c{f}_2}{n_3}\right)\cdot d$.

Giá trị M_e được gọi là trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho.

Lời giải:

a) Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{2}=\frac{99}{2}$ 49,5 do cf₃ = 60 > 49,5.

b) Đầu mút trái r của nhóm 3 là r = 37,5.

Độ dài d của nhóm 3 là d = 42,5 – 37,5 = 5.

Tần số n₃ của nhóm 3 là n₃ = 20.

Tần số tích lũy cf₂ của nhóm 2 là cf₂ = 40.

c) Ta có: M_e = $37,5+\left(\frac{49,5-40}{20}\right)\cdot 5$ = 39,875.

Luyện tập 5 trang 9 Toán 11 Tập 2: Xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm ở Bảng 1.

Nhóm	Tần số
[0; 4)	13
[4; 8)	29
[8; 12)	48
[12; 16)	22
[16; 20)	8
	n = 120

Bảng 1

Lời giải:

Ta có bảng tần số tích lũy như sau:

Nhóm	Tần số	Tần số tích lũy
[0; 4)	13	13
[4; 8)	29	42
[8; 12)	48	90
[12; 16)	22	112
[16; 20)	8	120
	n = 120

Số phần tử của mẫu là n = 120. Ta có $\frac{n}{2}=\frac{120}{2}$ = 60.

Mà 42 < 60 < 90 nên nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bẳng 60.

Xét nhóm 3 là nhóm [8; 12) có r = 8, d = 4, n₃ = 48 và nhóm 2 là nhóm [4; 8) có cf₂ = 42.

Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu đã cho là:

M_e = $8+\left(\frac{60-42}{48}\right)\cdot 4$ = 9,5.

IV. Tứ phân vị

Hoạt động 6 trang 10 Toán 11 Tập 2: Giáo viên chủ nhiệm chia thời gian sử dụng Internet trong một ngày của 40 học sinh thành năm nhóm (đơn vị: phút) và lập bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy như Bảng 12.

Nhóm	Tần số	Tần số tích lũy
[0; 60) [60; 120) [120; 180) [180; 240) [240; 300)	6 13 13 6 2	6 19 32 38 40
	n = 40

Bảng 12

a) Tìm trung vị M_e của mẫu số liệu ghép nhóm đó. Trung vị M_e còn gọi là tứ phân vị thứ hai Q₂ của mẫu số liệu trên.

b) • Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4}=\frac{40}{4}$ = 10 có đúng không?

⦁ Tìm đầu mút trái s, độ dài h, tần số n₂ của nhóm 2; tần số tích luỹ cf₁ của nhóm 1. Sau đó, hãy tính giá trị Q₁ theo công thức sau: Q₁ = $s+\left(\frac{10-c{f}_1}{n_2}\right)\cdot h$.

Giá trị nói trên được gọi là tứ phân vị thứ nhất Q₁ của mẫu số liệu đã cho.

c) • Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 40}{4}$ = 30 có đúng không?

• Tìm đầu mút trái t, độ dài l, tần số n₃ của nhóm 3; tần số tích luỹ cf₂ của nhóm 2. Sau đó, hãy tính giá trị Q₃ theo công thức sau: Q₃ = $t+\left(\frac{30-c{f}_2}{n_3}\right)\cdot l$.

Giá trị nói trên được gọi là tứ phân vị thứ ba Q₃ của mẫu số liệu đã cho.

Lời giải:

a) Số phần tử của mẫu là n = 40. Ta có $\frac{n}{2}=\frac{40}{2}$ = 20.

Mà 19 < 20 < 32 nên nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bẳng 20.

Xét nhóm 3 là nhóm [120; 180) có r = 120, d = 60, n₃ = 13 và nhóm 2 là nhóm [60; 120) có cf₂ = 19.

Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu đã cho là:

M_e = $120+\left(\frac{20-19}{13}\right)\cdot 60\approx 125$ (phút).

b) • Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4}=\frac{40}{4}$ = 10 do cf₂ = 19 > 10.

⦁ Đầu mút trái s của nhóm 2 là s = 60;

Độ dài h của nhóm 2 là h = 60;

Tần số n₂ của nhóm 2 là n₂ = 13;

Tần số tích luỹ cf₁ của nhóm 1 là cf₁ = 6.

Giá trị Q₁ là: Q₁ = $60+\left(\frac{10-6}{13}\right)\cdot 60\approx 78$ (phút).

c) • Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 40}{4}$ = 30 do cf₃ = 32 > 30.

• Đầu mút trái t của nhóm 3 là t = 120;

Độ dài l của nhóm 3 là l = 60;

Tần số n₃ của nhóm 3 là n₃ = 13;

Tần số tích luỹ cf₂ của nhóm 2 là cf₂ = 19.

Giá trị Q₃ là: Q₃ = $120+\left(\frac{30-19}{13}\right)\cdot 60\approx 171$ (phút).

Luyện tập 6 trang 12 Toán 11 Tập 2: Tìm tứ phân vị của mẫu số liệu trong Bảng 1 (làm tròn các kết quả đến hàng đơn vị).

Nhóm	Tần số
[0; 4)	13
[4; 8)	29
[8; 12)	48
[12; 16)	22
[16; 20)	8
	n = 120

Bảng 1

Lời giải:

Ta có bảng tần số tích lũy như sau:

Nhóm	Tần số	Tần số tích lũy
[0; 4)	13	13
[4; 8)	29	42
[8; 12)	48	90
[12; 16)	22	112
[16; 20)	8	120
	n = 120

Số phần tử của mẫu là n = 120.

⦁ Ta có: $\frac{n}{4}=\frac{120}{4}$ = 30 mà 13 < 30 < 42. Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 30.

Xét nhóm 2 là nhóm [4; 8) có s = 4; h = 4; n₂ = 29 và nhóm 1 là nhóm [0; 4) có cf₁ = 13.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:

Q₁ = $4+\left(\frac{30-13}{29}\right)\cdot 4\approx 6$ (năm).

⦁ Ta có: $\frac{n}{2}=\frac{120}{2}$ = 60 mà 42 < 60 < 90. Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 60.

Xét nhóm 3 là nhóm [8; 12) có r = 8; d  = 4; n₃ = 48 và nhóm 2 là nhóm [4; 8) có cf₂ = 42.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ hai là:

Q₂ = M_e = $8+\left(\frac{60-42}{48}\right)\cdot 4$ = 9,5 (năm).

⦁ Ta có: $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 120}{4}$ = 90 mà cf₃ = 90. Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 90.

Xét nhóm 3 là nhóm [8; 12) có r = 8; d  = 4; n₃ = 48 và nhóm 2 là nhóm [4; 8) có cf₂ = 42.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:

Q₃ = $8+\left(\frac{90-42}{48}\right)\cdot 4$ = 12 (năm).

Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu trên là:

Q₁ ≈ 6 (năm); Q₂ ≈ 9,5 (năm) và Q₃ ≈ 12 (năm).

V. Mốt

Hoạt động 7 trang 12 Toán 11 Tập 2: Quan sát bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích luỹ ở Ví dụ 6 rồi cho biết:

Nhóm	Tần số	Tần số tích lũy
[30; 40) [40; 50) [50; 60) [60; 70) [70; 80) [80; 90)	2 10 16 8 2 2	1 12 28 36 38 40
	n = 40

Bảng 13

a) Nhóm nào có tần số lớn nhất;

b) Đầu mút trái và độ dài của nhóm có tần số lớn nhất bằng bao nhiêu.

Lời giải:

Từ bảng tần số ghép nhóm và tần số tích lũy ta có:

a) Nhóm 3 là nhóm [50; 60) có tần số lớn nhất.

b) Nhóm [50; 60) có đầu mút trái là 50, độ dài là 10.

Bài tập

Bài 1 trang 14 Toán 11 Tập 2: Mẫu số liệu dưới đây ghi lại tốc độ của 40 ô tô khi đi qua một trạm đo tốc độ (đơn vị: km/h).

a) Lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên có sáu nhóm ứng với sáu nửa khoảng:

[40; 45), [45; 50), [50; 55), [55; 60), [60; 65), [65; 70).

b) Xác định số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

c) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên như sau:

Nhóm	Tần số
[40; 45)	4
[45; 50)	11
[50; 55)	7
[55; 60)	8
[60; 65)	8
[65; 70)	2
	n = 40

b) Bảng tần số ghép nhóm bao gồm giá trị đại diện và tần số tích lũy như sau:

Nhóm	Giá trị đại diện	Tần số	Tần số tích lũy
[40; 45)	42,5	4	4
[45; 50)	47,5	11	15
[50; 55)	52,5	7	22
[55; 60)	57,5	8	30
[60; 65)	62,5	8	38
[65; 70)	67,5	2	40
		n = 40

⦁ Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:

$\overline{x}=\frac{42,5\cdot 4+47,5\cdot 11+52,5\cdot 7+57,5\cdot 8+62,5\cdot 8+67,5\cdot 2}{40}$ = 53,875.

⦁ Số phần tử của mẫu là n = 40. Ta có $\frac{n}{2}=\frac{40}{2}$ = 20.

Mà 15 < 20 < 22 nên nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 20.

Xét nhóm 3 là nhóm [50; 55) có r = 50, d = 5, n₃ = 7 và nhóm 2 là nhóm [45; 50) có cf₂ = 15.

Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu là:

M_e = $50+\frac{20-15}{7}\cdot 5\approx 53,6$ (km/h).

Do đó tứ phân vị thứ hai là Q₂ = M_e ≈ 53,6 (km/h).

⦁ Ta có $\frac{n}{4}=\frac{40}{4}$ = 10. Mà 4 < 10 < 15 nên nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 10.

Xét nhóm 2 là nhóm [45; 50) có s = 45; h = 5; n₂ = 11 và nhóm 1 là nhóm [40; 45) có cf₁ = 4.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:

Q₁ = $45+\frac{10-4}{11}\cdot 5\approx 47,7$ (km/h).

⦁ Ta có $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 40}{4}$ = 30. Mà cf₄ = 30 nên nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 30.

Xét nhóm 4 là nhóm [55; 60) có t = 55; l = 5; n₄ = 8 và nhóm 3 là nhóm [50; 55) có cf₁ = 22.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:

Q₃ = $55+\frac{30-22}{8}\cdot 5$ = 60(km/h).

c) Nhóm 2 là nhóm [45; 50) có tần số lớn nhất với u =  45, g = 5, n₂ = 11 và nhóm 1 có tần số n₁= 4, nhóm 3 có tần số n₃ = 7.

Áp dụng công thức, ta có mốt của mẫu số liệu là:

M_o = $45+\frac{11-4}{2\cdot 11-4-7}\cdot 5\approx 48,2$ (km/h).

Bài 2 trang 14 Toán 11 Tập 2: Mẫu số liệu sau ghi lại cân nặng của 30 bạn học sinh (đơn vị: kilôgam):

a) Lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên có tám nhóm ứng với tám nửa khoảng:

[15; 20), [20; 25), [25; 30), [30; 35), [35; 40), [40; 45), [45; 50), [50; 55).

b) Xác định số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

c) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên như sau:

Nhóm	Tần số
[15; 20)	1
[20; 25)	0
[25; 30)	0
[30; 35)	1
[35; 40)	10
[40; 45)	17
[45; 50)	0
[50; 55)	1
	n = 30

b) Bảng tần số ghép nhóm bao gồm giá trị đại diện và tần số tích lũy như sau:

Nhóm	Giá trị đại diện	Tần số	Tần số tích lũy
[15; 20)	17,5	1	1
[20; 25)	22,5	0	1
[25; 30)	27,5	0	1
[30; 35)	32,5	1	2
[35; 40)	37,5	10	12
[40; 45)	42,5	17	29
[45; 50)	47,5	0	29
[50; 55)	52,5	1	30
		n = 30

⦁ Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:

⦁ Số phần tử của mẫu là n = 30. Ta có $\frac{n}{2}=\frac{30}{2}$ = 15.

Mà 12 < 15 < 29 nên nhóm 6 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 15.

Xét nhóm 6 là nhóm [40; 45) có r = 40, d = 5, n₆ = 17 và nhóm 5 là nhóm [35; 40) có cf₅ = 12.

Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu là:

M_e = $40+\frac{15-12}{17}\cdot 5\approx 40,9$ (kg).

Do đó tứ phân vị thứ hai là Q₂ = M_e ≈ 40,9 (kg).

⦁ Ta có $\frac{n}{4}=\frac{30}{4}$ = 7,5. Mà 2 < 7,5 < 12 nên nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 7,5.

Xét nhóm 5 là nhóm [35; 40) có s = 35; h = 5; n₅ = 10 và nhóm 4 là nhóm [30; 35) có cf₄ = 2.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:

Q₁ = $35+\frac{7,5-2}{10}\cdot 5$ = 37,75 (kg).

⦁ Ta có $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 30}{4}$ = 22,5. Mà 12 < 22,5 < 29 nên nhóm 6 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 22,5.

Xét nhóm 6 là nhóm [40; 45) có t = 40; l = 5; n₄ = 17 và nhóm 5 là nhóm [35; 40) có cf₅ = 12.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:

Q₃ = $40+\frac{22,5-12}{17}\cdot 5\approx 43,1$ (kg).

c) Nhóm 6 là nhóm [40; 45) có tần số lớn nhất với u =  40, g = 5, n₆ = 17 và nhóm 5 có tần số n₅ = 10, nhóm 7 có tần số n₇ = 0.

Áp dụng công thức, ta có mốt của mẫu số liệu là:

M_o = $40+\frac{17-10}{2\cdot 17-10-0}\cdot 5\approx 41,5$ (kg).

Bài 3 trang 14 Toán 11 Tập 2: Bảng 15 cho ta bảng tần số ghép nhóm số liệu thống kê chiều cao của 40 mẫu cây ở một vườn thực vật (đơn vị: centimét).

Nhóm	Tần số	Tần số tích lũy
[30; 40) [40; 50) [50; 60) [60; 70) [70; 80) [80; 90)	4 10 14 6 4 2	4 14 28 34 38 40
	n = 40

Bảng 15

a) Xác định số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

b) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Bảng tần số ghép nhóm bao gồm giá trị đại diện và tần số tích lũy như sau:

Nhóm	Giá trị đại diện	Tần số	Tần số tích lũy
[30; 40)	35	4	4
[40; 50)	45	10	14
[50; 60)	55	14	28
[60; 70)	65	6	34
[70; 80)	75	4	38
[80; 90)	85	2	40
		n = 40

⦁ Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:

$\overline{x}=\frac{35\cdot 4+45\cdot 10+55\cdot 14+65\cdot 6+75\cdot 4+85\cdot 2}{40}$ = 55,5.

⦁ Số phần tử của mẫu là n = 40. Ta có $\frac{n}{2}=\frac{40}{2}$ = 20.

Mà 14 < 20 < 28 nên nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 20.

Xét nhóm 3 là nhóm [50; 60) có r = 50, d = 10, n₃ = 14 và nhóm 2 là nhóm [40; 50) có cf₂ = 14.

Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu là:

M_e = $50+\frac{20-14}{14}\cdot 10\approx 54,29$ (cm).

Do đó tứ phân vị thứ hai là Q₂ = M_e ≈ 54,29 (cm).

⦁ Ta có $\frac{n}{4}=\frac{40}{4}$ = 10. Mà 4 < 10 < 14 nên nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 10.

Xét nhóm 2 là nhóm [40; 50) có s = 40; h = 10; n₂ = 10 và nhóm 1 là nhóm [30; 40) có cf₁ = 4.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:

Q₁ = $40+\frac{10-4}{10}\cdot 10$ = 46 (cm).

⦁ Ta có $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 40}{4}$ = 30. Mà 28 < 30 < 34 nên nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 30.

Xét nhóm 4 là nhóm [60; 70) có t = 60; l = 10; n₄ = 6 và nhóm 3 là nhóm [50; 60) có cf₃ = 28.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:

Q₃ = $60+\frac{30-28}{6}\cdot 10\approx 63,33$ (cm).

b) Nhóm 3 là nhóm [50; 60) có tần số lớn nhất với u =  50, g = 10, n₃ = 14 và nhóm 2 có tần số n₂ = 10, nhóm 4 có tần số n₄ = 6.

Áp dụng công thức, ta có mốt của mẫu số liệu là:

M_o = $50+\frac{14-10}{2\cdot 14-10-6}\cdot 10\approx 53,33$ (cm).