Chuyên đề Phép vị tự
Phần 1: Tìm ảnh của một điểm qua phép vị tự cực hay
A. Phương pháp giải
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong hệ trục tọa độ Oxy, tìm ảnh của các điểm sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết:
Hướng dẫn giải:
Ví dụ 2: Trong hệ trục tọa độ Oxy, tìm tọa độ của điểm A sao cho B là ảnh của A qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết:
Hướng dẫn giải:
Ví dụ 3: Tìm tỉ số k, biết V(O,k)(A) = A’:
a) A(-2; 4), A’(1; -2)
b) A(4; 5), A’(-8; -10)
Hướng dẫn giải:
Phần 2: Tìm ảnh của một đường thẳng qua phép vị tự cực hay
A. Phương pháp giải
● Cách 1. Sử dụng tính chất: Phép vị tự biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nói.
● Cách 2. Dùng biểu thức tọa độ của phép vị tự.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình 5x + 2y-7 = 0. Hãy viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = -2.
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Lấy M(x;y) ∈ d ⇒ 5x + 2y – 7 = 0 (*).
Gọi M'(x’;y’) = V(O,-2)(M).
Theo biểu thức tọa độ ta có:
Thay vào (*) ta được 
x’ – y’ – 7 = 0 ⇔ 5x’ + 2y’ + 14 = 0
Vậy d’: 5x + 2y + 14 = 0.
Cách 2: Do d’ song song hoặc trùng với d nên phương trình có dạng : 5x + 2y+c = 0.
Lấy M(1;1) thuộc d. Gọi M'(x’;y’) = V(O,-2)(M) ta có 
Thay vào (*)ta được c = 14.
Vậy d’: 5x + 2y + 14 = 0.
Ví dụ 2: Tìm ảnh của các đt d sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết:
a) d: 4x – 3y + 1 = 0, k = -3
b) d: x – 4y + 2 = 0, k = 1/2
Hướng dẫn giải:
a)
* Cách 1: Gọi V(O,-3)(d) = d’ ⇒ d’ // d nên PT đt d’ có dạng: 4x – 3y + C = 0
Chọn A(2; 3) ∈ d V(O,-3)(A) = A’ (-6; -9) ∈ d’. Khi đó: -24 + 27 + C = 0 ⇔ C = -3
Vậy: PT đt d’ là: 4x – 2y – 3 = 0
* Cách 2: Chọn A(2; 3) ∈ d V(O,-3)(A) = A’ (-6; -9) ∈ d’ và B(-1; -1) ∈ d V(O,-3)(B) = B’ (3; 3) ∈ d’
PT đt d’ đi qua 2 điểm A’, B’ là:
b)
* Cách 1: Gọi 
(d) = d’ ⇒ d’ // d nên PT đt d’ có dạng: x – 4y + C = 0
Chọn A(-2; 0) ∈ d (A) = A’ (-1; 0) ∈ d’. Khi đó: -1 + C = 0 ⇔ C = 1
Vậy: PT đt d’ là: x – 4y + 1 = 0
* Cách 2: Chọn A(-2; 0) ∈ d (A) = A’ (-1; 0) ∈ d’ và B(6; 2) ∈ d (B) = B’ (3; 1) ∈ d’
PT đt d’ đi qua 2 điểm A’, B’ là:
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình 2x + 3y – 1 = 0 và điểm I(-1;3), phép vị tự tâm I tỉ số k = -3 biến đường thẳng (d) thành đường thẳng (d’). Viết phương trình đường thẳng (d’)
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Đường thẳng (d’) có dạng: 2x + 3y + m = 0.
Lấy A(-1;1) ∈ (d), gọi A'(x;y) là ảnh của A qua 
Phần 3:Tìm ảnh của một đường tròn qua phép vị tự cực hay
A. Phương pháp giải
Cách 1. Sử dụng quỹ tích: Với mọi điểm M(x;y) thuộc hình (C), V(O,k)(M) = M'(x’;y’) thì M’thuộc ảnh (C’) của hình (C).
Cách 2. áp dụng tính chất phép vị tự biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính |k|R
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 1)2 = 4. Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm I(-1;2) tỉ số k = 3
Hướng dẫn giải:
Đường tròn (C) có tâm J(1;1), bán kính R = 2.
⇒ J'(7;-2).
Gọi (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự V(I;3) thì(C’) có tâm J'(7;-2), bán kính R’ = 3R = 6.
Vậy (C’): (x – 7)2 + (y + 2)2 = 36.
Ví dụ 2: Tìm ảnh của các đường tròn (C) sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết:
a) (C): (x – 2)2 + (y + 4)2 = 1, k = -1/2
b) (C): x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0, k = 4
Hướng dẫn giải:
a)
b)
Gọi V(O,4)(C) = (C’). Từ (C), ta có: tâm I(3; -2) và bán kính R = 4
Khi đó: V(O,4)(I) = I'(12; -8) và bán kính R’ = |4|R = 16.
Vậy: (C’): (x – 12)2 + (y + 8)2 = 256
Ví dụ 3: Cho hai đường tròn (C): (x – 2)2 + (y – 1)2 = 4 và (C’): (x – 8)2 + (y – 4)2 =16. Tìm tâm vị tự của hai đường tròn.
Hướng dẫn giải:
Đường tròn (C) có tâm I(1;2),bán kính R = 2; đường tròn (C’) có tâm I'(8;4), bán kính R’ = 4. Do I ≠ I’ và R ≠ R’ nên có hai phép vị tự V(J;2) và V(J’;-2) biến (C) thành (C’). Gọi J(x;y)
Với k = 2 khi đó 
⇒ J(-4;-2).
Tương tự với k = -2, tính được J'(4;2).
Xem thêm