Chuyên đề Phép đối xứng tâm
Phần 1: Tìm ảnh của một điểm qua phép đối xứng tâm cực hay
A. Phương pháp giải
Biểu thức toạ độ của phép đối xứng tâm
Trong hệ tọa độ Oxy:
• Nếu tâm đối xứng là O(0;0), với mỗi M(x;y) gọi M’ = DO(M) = (x’;y’) thì 
• Nếu tâm đối xứng I(a;b) bất kì, với mỗi M(x;y) gọi M’ = DI(M) = (x’;y’) thì 
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Tìm ảnh của điểm M(-2020;2019) qua phép đối xứng tâm O(0;0)
Hướng dẫn giải:
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm O(0;0) là 
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Tìm ảnh của điểm M(2;–1) qua phép đối xứng tâm I(1;2) là:
Hướng dẫn giải:
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, biết M'(5;3) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I(4;1). Tìm tọa độ điểm M.
Hướng dẫn giải:
+ Giải sử M(x,y). Thay biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm I(4;1) ta được: 
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy, Cho M(3;7) và M'(5;3). Biết M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I. Tìm tọa độ điểm I.
Hướng dẫn giải:
Phần 2: Tìm ảnh của một đường thẳng qua phép đối xứng tâm cực hay
A. Phương pháp giải
[Cách 1]. Sử dụng tính chất:
Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
[Cách 2]. Sử dụng biểu thức tọa độ (phương pháp quỹ tích)
Trong hệ tọa độ Oxy
● Nếu tâm đối xứng là O(0;0), với mỗi M(x;y) gọi M’ = DO(M) = (x’;y’) thì 
● Nếu tâm đối xứng I(a;b) bất kì, với mỗi M(x;y) gọi M’ = DI(M) = (x’;y’) thì 
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình: x + y + 2 = 0. Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm I(1;0)
Hướng dẫn giải:
d:x + y + 2 = 0 lấy 2 điểm A(0,-2), B(-2,0) thuộc d.
Gọi A’, B’ là ảnh của A,B qua phép đối xứng tâm I. Khi đó ta có:
Gọi d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I. Khi đó d’ đi qua 2 điểm A’B’ nên có phương trình d’: x + y- 4 = 0
Vậy ảnh của d là d’: x + y- 4 = 0
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình: 2x + y + 1 = 0. Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm I(1;0)
Hướng dẫn giải:
• d: 2x + y + 1 = 0 lấy 2 điểm A(0,-1), B (-1,1) thuộc d. Gọi A’, B’ là ảnh của A, B qua phép đối xứng tâm I. Khi đó ta có:
• Gọi d’ là ảnh của d qua phép đối đối xứng tâm I. Khi đó, d’ đi qua 2 điểm A’ và B’ nên có phương trình d’: đi qua A’( 2;1), 
Phương trình d’: 2(x – 2) + 1(y – 1) = 0 hay 2x + y – 5 = 0
Vậy ảnh của d là d’: 2x + y – 5 = 0
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x – 6y + 5 = 0, điểm I(2;-4). Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I
Hướng dẫn giải:
Lấy M(x;y) thuộc d, phép đối xứng tâm I(x0,y0) biến M(x;y) thành M'(x’,y’) thì 
. Thay vào phương trình d ta được
2(4 – x’) – 6(-8 – y’) + 5 = 0 ⇔ 2x’ – 6y’ – 61 = 0 hay 2x – 6y – 61 = 0.
Phần 3: Tìm ảnh của một đường tròn qua phép đối xứng tâm cực hay
A. Phương pháp giải
[1]. PP1: Sử dụng tính chất: Phép đối xứng tâm biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Bước 1. Xác định tâm I , bán kính R của (C)
Bước 2. Tìm ảnh I’ của tâm I qua phép đối xứng tâm
Bước 3. Viết phương trình đường tròn có tâm I’ và bán kính R’=R
[2]. PP2: Sử dụng biểu thức tọa độ (Phương pháp quỹ tích)
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C): (x – 5)2 + (y + 3)2 = 16 qua phép đối xứng tâm O(0;0).
Hướng dẫn giải:
Gọi I’ là điểm đối xứng của I(5;-3) qua tâm O(0;0), suy ra I'(-5;3).
Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách nên R’ = R = 4
Vậy đường tròn (C’) có tâm I'(-5;3), bán kính R’ = 3 nên (C’): (x + 5)2 + (y – 3)2 = 16
Cách 2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm O(0;0) là 
Thay vào (C) ta được (-x’ – 5)2 + (-y’ + 3)2 = 16 ⇔ (x’ + 5)2 + (y’ – 3)2 = 16.
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (O;R): x2 + y2 + 2x – 6y + 6 = 0 điểm I(1;2). Tìm ảnh của (O;R) qua phép đối xứng tâm I
Hướng dẫn giải:
Gọi M(x;y) là điểm bất kỳ thuộc (O;R) và (E). Từ công thức chuyển trục ta có:
(2 – x’)2 + (4 – y’)2 + 2(2 – x’) – 6(4 – y’) + 6 = 0
⇔ x’2 + y’2 – 6x’ – 2y’ + 6 = 0
⇔ x2 + y2 – 6x – 2y + 6 = 0
Cách 2. x2 + y2 + 2x – 6y + 6 = 0 có tâm J(-1;3), R = 2
Ta chỉ tìm J’(x;y) là ảnh của J qua phép đối xứng tâm I(1;2) bằng công thức chuyển trục tọa độ: 
Do đó (O’): (x – 3)2 + (y – 1)2 = 4 là ảnh của (O;R) qua phép đối xứng tâm I.
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, tìm ảnh của đường trònx2 + (y – 2)2 = 4. qua phép đối xứng tâm I(-2;-1):
Hướng dẫn giải:
Đường tròn có tâm O(0,2), bán kính r = 2
Gọi O’ là ảnh của O qua phép đối xứng tâm I khi đó ta có
xO’ = 2xI – xO = -4; yO’ = 2yI – yO = -4 ⇒ O'(-4;-4)
Như vậy ảnh của đường tròn qua phép đối xứng tâm là: (x + 4)2 + (y + 4)2 = 4
Phần 4: Cách tìm tâm đối xứng của một hình cực hay
A. Phương pháp giải
Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến hình H thành chính nó.
Khi đó ta nói H là hình có tâm đối xứng.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm tâm đối xứng biến điểm A(1;3) thành điểm A'(1;7).
Hướng dẫn giải:
Từ giả thiết, suy ra I(a;b) là trung điểm của 
Vậy tâm đối xứng cần tìm là: I(1;5)
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x – 2y + 2 = 0 và d’: x – 2y – 8 = 0. Tìm phép đối xứng tâm biến d thành d’ và biến trục Ox thành chính nó.
Hướng dẫn giải:
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì ta làm như sau:
– Gọi M(x;y) thuộc d, M’(x’;y’) thuộc d’. Giả sử tâm đối xứng là I(a;b), thì theo công thức chuyển trục:
– Để trục Ox thành chính nó thì tâm đối xứng phải có dạng: I(a;0) tức là b = 0
– Từ hai kết quả trên ta có:
Ví dụ 3: Tìm tâm đối xứng của các hình sau
a) Hình tròn
b) Hình bình hành.
Hướng dẫn giải:
a)Tâm đối xứng của hình tròn là tâm của hình tròn đó.
b)Tâm đối xứng của hình hình bình hành là giao điểm của hai đường chéo.
Xem thêm