Bài tập Toán 11 Chương 5 Bài 5: Đạo hàm cấp hai
A. Bài tập Đạo hàm cấp hai
I. Bài tập trắc nghiệm
Bài 1: Hàm số
có đạo hàm cấp hai bằng?
Lời giải:
Bài 2: Cho hàm số . Khi đó y”’ =?
Lời giải:
Bài 3: Cho hàm số y = sin2x. Tính
Lời giải:
Bài 4: Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t3 – 3t2 + 5t + 2, trong đó t tính bằng giây và S tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t = 3 là?
Lời giải:
Ta có gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t bằng đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển động tại thời điểm t.
Bài 15: Hàm số có đạo hàm cấp 2 bằng?
Lời giải:
Bài 6:
Lời giải:
Bài 7 Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
Lời giải:
Bài 8 a) Cho .Tính .
b) Cho .Tính , , .
Bài 9 Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a)
b)
c)
d)
Bài 10 Tìm các đạo hàm sau:
III. Bài tập vận dụng
Bài 1 Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
Bài 2
Bài 3 Hàm số y = (2x + 5)5 có đạo hàm cấp 3 bằng?
Bài 4 Hàm số y = tanx có đạo hàm cấp 2 bằng?
Bài 5 Hàm số có đạo hàm cấp 2 bằng?
Bài 6 Cho hàm số f(x) = (x + 1)3. Giá trị f”(0) bằng?
Bài 7 Cho hàm số f(x) = sin3x + x2. Giá trị f”() bằng?
Bài 8 Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S = t3 – 3t2 – 9t + 2 ( t tính bằng giây; S tính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng ?
Bài 9 Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t3 – 3t2 (t tính bằng giây; S tính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng?
Bài 10 Cho hàm số y = sin2x. Tính
B. Lý thuyết Đạo hàm cấp hai
1. Định nghĩa
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm x ∈ (a;b). Khi đó, hệ thức y’ = f’(x) xác định một hàm số mới trên khoảng (a; b). Nếu hàm số y’ = f’(x) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) và kí hiệu là y” hoặc f”(x).
Chú ý:
+ Đạo hàm cấp 3 của hàm số y = f(x) được định nghĩa tương tự và kí hiệu là y”’ hoặc f”’(x) hoặc f(3)(x).
+ Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n – 1 , kí hiệu f(n–1)(x) (n ∈ N, n ≥ 4). Nếu f(n–1)(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f(x), kí hiệu y(n) hoặc f(n)(x).
f(n)(x) = (f(n–1)(x))’.
Ví dụ 1. Với y = 7x4 + 8x + 12. Tính y(5)
Lời giải
Ta có: y’ = 28x3 + 8, y” = 84x2, y”’ = 168x, y(4) = 168, y(5) = 0.
Vậy y(5) = 0.
2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Xét chuyển động xác định bởi phương trình s = f(t), trong đó s = f(t) là một hàm số có đạo hàm đến cấp hai. Vận tốc tức thời tại t của chuyển động là v(t) = f’(t).
Lấy số gia tại t thì v(t) có số gia tương ứng là
Tỉ số được gọi là gia tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian . Nếu tồn tại: .
Ta gọi là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t.
Vì v(t) = f’(t) nên: .
Đạo hàm cấp hai f”(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t.
Ví dụ 2. Tính gia tốc tức thời của sự rơi tự do
Lời giải
Ta có:
Gia tốc tức thời của sự tơi tự do là: .
Vậy gia tốc tức thời của sự rơi tự do là: