Chuyên đề Quy tắc tính đạo hàm 2023 hay, chọn lọc

Chuyên đề Quy tắc tính đạo hàm

Phần 1: Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa hay, chi tiết

1. Lý thuyết

a) Định nghĩa đạo hàm

– Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x₀ ∈ (a;b). Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số   khi x → x₀ được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại x₀.

– Kí hiệu là f’(x₀) hay y’(x₀). Như vậy ta có: 

– Nhận xét:

Nếu đặt ∆x = x − x₀ và ∆y = f(x₀ + ∆x) − f(x₀) thì ta có 

 

Trong đó ∆x được gọi là số gia của biến số tại x₀ 

∆y gọi là số gia của hàm số ứng với số gia ∆x tại x₀.

b) Đạo hàm một bên

– Đạo hàm bên trái của hàm số y = f(x) tại điểm x₀, kí hiệu là  được định nghĩa là: 

trong đó x→  được hiểu là x→ x₀ và x 0.

– Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x₀, kí hiệu là  được định nghĩa là:

trong đó x→  được hiểu là x→ x₀ và x > x₀.

– Định lí: Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x₀ thuộc tập xác định của nó, nếu và chỉ nếu và  tồn tại và bằng nhau. Khi đó ta có:  

c) Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

– Hàm số y = f(x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b).

– Hàm số y = f(x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên [a; b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) đồng thời tồn tại đạo hàm trái f’(b ^–) và đạo hàm phải f’(a⁺) .

d) Quy tắc tính  đạo hàm bằng định nghĩa

Muốn tính đạo hàm của hàm số tại điểm x₀ theo định nghĩa, ta có 2 cách:

– Cách 1: 

Bước 1: Với ∆x là số gia của đối số tại x₀ ta tính ∆y = f(x₀ + ∆x) − f(x₀)

Bước 2: Tính giới hạn  

– Cách 2: Đạo hàm của hàm số tại x₀ là  

e) Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục

Định lí: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x₀ thì f(x) liên tục tại x₀.

Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm x₀ nhưng hàm đó không có đạo hàm tại x₀.

2. Các dạng bài tập

Dạng 1: Tìm số gia của hàm số

Phương pháp giải:

Để tính số gia của hàm số y = f(x) tại điểm x₀ tương ứng với số gia ∆x cho trước ta áp dụng công thức: ∆y = f(x₀ + ∆x) − f(x₀).

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm số gia của hàm số y = f(x) = x³ – 3x² + 2, biết rằng:

a) x₀ = 1; ∆x = 1

b) x₀ = 1; ∆x = −0,1

Lời giải

a) Số gia của hàm số là: 

∆y = f(x₀ + ∆x) − f(x₀) = f(2) − f(1)

= 2³ − 3.2² + 2 − (1³ −  3.1² +2) = − 2

.b) Số gia của hàm số là: 

∆y = f(x₀ + ∆x) − f(x₀) = f(0,9) − f(1)

= 0,9³ − 3.0,9² +2 − (1³ −  3.1² +2) = 0,299.

Ví dụ 2: Tìm số gia của hàm số:

a) y = 2x + 3

b) y = 2x² – 3x + 1 tại x₀ = 1

Lời giải

a) Số gia của hàm số là: 

∆y = f(x₀ + ∆x) − f(x₀) 

= 2(x₀ + ∆x) + 3 − (2x₀ + 3) = 2∆x

b) Số gia của hàm số là:

∆y = f(1 + ∆x) − f(1)

= 2(1 + ∆x)² − 3(1 + ∆x) + 1 − (2.1² − 3.1 +1)

= 2 + 4∆x + 2(∆x)² − 3 − 3∆x +1 − 0

= 2(∆x)² + ∆x.

Dạng 2: Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Phương pháp giải: 

Muốn tính đạo hàm của hàm số tại điểm x₀ theo định nghĩa, ta có 2 cách:

Cách 1: 

Bước 1: Với ∆x là số gia của đối số tại x₀ ta tính ∆y = f(x₀ + ∆x) − f(x₀)

Bước 2: Tính giới hạn 

Cách 2: Đạo hàm của hàm số tại x₀ là  

Chú ý: Nếu không tồn tại giới hạn hữu hạn tại x₀ thì hàm số không có đạo hàm tại x₀.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của các hàm số sau:

a) y = 2x² + x + 1 tại x₀ = 2.

b) tại x₀ = 1.

c)  tại x₀ = 3

Lời giải

a) Cách 1: Với  là số gia của đối số x₀ = 2. 

Khi đó hàm số số gia tương ứng:

∆y = f(x₀ + ∆x) − f(x₀)

= 2(2 + ∆x)² + (2 + ∆x) + 1 − (2.2² − 2 +1)

= 8 + 8∆x + 2(∆x)² + 2 + ∆x +1 − 11

= 9∆x + 2(∆x)² = ∆x(9 + 2∆x) .

Ta có  

Cách 2:  

 

Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm tại x₀ = 2 và f ‘(2) = 9.

b) Cách 1: Với ∆x là số gia của đối số x₀ = 1. 

Khi đó hàm số số gia tương ứng:

∆y = f(x₀ + ∆x) − f(x₀) = f(1 + ∆x) − f(1)

 

Ta có  

Cách 2:  

Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm tại x₀ = 1 và  .

c) Cách 1: Với  là số gia của đối số x₀ = 3. 

Khi đó hàm số số gia tương ứng:

∆y = f(x₀ + ∆x) − f(x₀) = f(3 + ∆x) − f(3)

Ta có  .

Cách 2:  

 

.Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm tại x₀ = 3 và  .

Ví dụ 2: Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của các hàm số sau:

a) y = x³ tại x₀

b) tại x₀ 

Lời giải

a) Với  là số gia của đối số x₀. 

Khi đó hàm số số gia tương ứng:

∆y = f(x₀ + ∆x) − f(x₀) = (x₀ + ∆x)³ − x₀³

= x₀³ + 3x₀²∆x + 3x₀.(∆x)² + (∆x)³ − x₀³

= 3x₀²∆x + 3x₀.(∆x)² + (∆x)³

Ta có:  

Vậy đạo hàm của hàm số tại x₀ là  

b) Với ∆x là số gia của đối số x₀. 

Khi đó hàm số số gia tương ứng:

∆y = f(x₀ + ∆x) − f(x₀) =  

Ta có:  

 

Dạng 3: Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Phương pháp giải: 

Định lí: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x₀ thì f(x) liên tục tại x₀.

Chú ý: Nếu hàm số không liên tục tại x₀ thì không có đạo hàm tại x₀.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Hàm số y = f(x) = |x| liên tục tại x = 0 nhưng không tồn tại đạo hàm tại x = 0:

Lời giải

Ta có:  nên hàm số f(x) = |x| liên tục tại x = 0. 

Ta có:  

 

Nên  nên hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Số gia của hàm số  ứng với số gia ∆x của đối số x tại x₀ = – 1 là

 

Câu 2. Tỉ số  của hàm số f(x) = 2x(x – 1) theo x và ∆x là

A. 4x +2∆x +2.                                       

B. 4x + 2(∆x)² − 2.

C. 4x + 2∆x − 2.                                     

D. 4x∆x + 2(∆x)² − 2∆x.

Câu 3. Số gia của hàm số f(x) = x³ ứng với x₀ = 2 và ∆x = 1 bằng bao nhiêu?

A. – 19 .                B. 7 .                         C. 19.                        D. –7.

Câu 4. Tính tỷ số  của hàm số  theo x và ∆x

 

Câu 5. Đạo hàm của hàm số f(x) = 2x + 1 tại x₀ = 1

A. 2                       B. 3                           C. 4                           D. 5

Câu 6. Đạo hàm của hàm số f(x) = x³ tại x₀ = 1

A. 4                       B. 3                           C. 5                           D. 6

Câu 7. Đạo hàm của hàm số y = x³ + x – 2 tại x₀ = – 2 là

A. 13.                     B. 12.                       C. 10.                        D. – 8.

Câu 8. Đạo hàm của hàm số  tại điểm x₀ = 2

 

Câu 9. Đạo hàm của hàm số  tại x₀ = 2 là

 

Câu 10. Đạo hàm của hàm số  tại x₀ = 1 là

A. 15.                    B. – 15.                     C. – 17.                     D. 17.

Câu 11. Đạo hàm của hàm số  tại x₀ = – 1.

A. 2                       B. 0                           C. 3                           D. Đáp án khác

Câu 12. Đạo hàm của hàm số f(x) = x² – x tại điểm x₀ ứng với số gia ∆x là:

Câu 13. Cho hàm số  . Khẳng định nào là đúng:

A. Hàm số liên tục trên R, không có đạo hàm trên R.

B. Hàm số liên tục trên R, có đạo hàm trên R.

C. Hàm số không liên tục trên R, không có đạo hàm trên R.

D. Hàm số không liên tục trên R, có đạo hàm trên R.

Câu 14. Cho hàm số y = |2x – 3|. Khẳng định nào là đúng:

A. Hàm số liên tục tại  , không có đạo hàm tại  .

B. Hàm số liên tục tại  , có đạo hàm tại  .

C. Hàm số không liên tục tại  , không có đạo hàm tại  .

D. Hàm số không liên tục tại  , có đạo hàm tại  .

Câu 15. Cho hàm số y = f(x) =x² – 2|x + 3|. Khẳng định nào là đúng:

A. Hàm số liên tục trên R, không có đạo hàm trên R.

B. Hàm số liên tục trên R, có đạo hàm trên R.

C. Hàm số không liên tục trên R, không có đạo hàm trên R.

D. Hàm số không liên tục trên R, có đạo hàm trên R.

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
A	C	C	B	A	B	A	B	B	D	D	A	C	A	A

Phần 2: Quy tắc tính đạo hàm và cách giải bài tập

1. Lý thuyết

a) Đạo hàm của một hàm số lượng giác

Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản	Đạo hàm các hàm hợp u = u(x)
(c)’ = 0 (c là hằng số) (x)’ = 1
(xα)’ = α.xα−1	(uα)’ = α.u’.uα−1

b) Các quy tắc tính đạo hàm

Cho các hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:

1. (u + v)’ = u’ + v’

2. (u – v)’ = u’ – v’

3. (u.v)’ = u’.v + v’.u

4.  

Chú ý:

a) (k.v)’ = k.v’ (k: hằng số) 

b)  

Mở rộng:

(u₁ ± u₂ ±…±  u_n)’ = u₁‘ ± u₂‘ ±…±  u_n‘

(u.v.w)’ = u’.v.w + u.v’.w + u.v.w’

c) Đạo hàm của hàm số hợp

Cho hàm số y = f(u(x)) = f(u) với u = u(x). Khi đó:  

2. Phương pháp giải

– Sử dụng các quy tắc, công thức tính đạo hàm trong phần lý thuyết.

– Nhận biết và tính đạo hàm của hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số tại các điểm x₀ sau:

a) y = 7 + x – x², với x₀ = 1 

b) y = 3x² – 4x + 9, với x₀ = 1

Lời giải

a) y = 7 + x – x²

Ta có: y’ = 1 – 2x

Vậy  y'(1) = 1 – 2. 1 = –1.

b) y = 3x² – 4x + 9

Ta có: y’ = 6x – 4

Vậy y'(1) = 6.1 – 4 = 2.

Ví dụ 2: Tính các đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = –x³ + 3x + 1

b) y = (2x – 3)(x⁵ – 2x)

 

Lời giải

a) y’ = (–x³ + 3x + 1)’ = –3x² + 3

b) y = (2x – 3)(x⁵ – 2x).

y’ = [(2x – 3)(x⁵ – 2x)]’ 

= (2x – 3)’.(x⁵ – 2x) + (x⁵ – 2x)’.(2x – 3)

= 2(x⁵ – 2x) + (5x⁴ – 2)(2x – 3) 

= 12x⁵ – 15x⁴ – 8x + 6.

 

 

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (x⁷ + x)²

b) y = (1 – 2x²)³

c)  

d) y = (1 + 2x)(2 + 3x²)(3 – 4x³)

Lời giải

a) y = (x⁷ + x)². Sử dụng công thức (u^α)’ = α.u^α−1.u’ (với u = x⁷ + x)

y’ = 2(x⁷ + x).(x⁷ + x)’ = 2(x⁷ + x)(7x⁶ + 1).

b) y = (1 – 2x²)³. Sử dụng công thức (u^α)’ với u = 1 – 2x²

y’ = 3(1 – 2x²)².(1 – 2x²)’ = 3(1 – 2x²)²(– 4x) = – 12x(1 – 2x²)².

c)  

Bước đầu tiên sử dụng (u^α)’, với  

d) y = (1 + 2x)(2 + 3x²)(3 – 4x³)

y’ = (1 + 2x)’(2 + 3x²)(3 – 4x³) + (1 + 2x)(2 + 3x²)’(3 – 4x³) + (1 + 2x)(2 + 3x²)(3 – 4x³)’

y’ = 2(2 + 3x²)(3 – 4x³) + (1 + 2x)(6x)(3 – 4x³) + (1 + 2x)(2 + 3x²)(– 12x²)

y’ = 12 – 16x³ + 18x² – 24x⁵ + 18x – 24x⁴ + 36x² – 48x⁵ – 72x⁵ – 36x⁴ – 48x³ – 12x² 

y’ = – 144x⁵ – 60x⁴ – 64x³ + 42x² + 18x + 12.

e) . Sử dụng công thức  với u = 1 + 2x – x²

 

f)  Sử dụng được:

 

4. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho hàm số f(x) xác định trên R bởi f(x) = 2x² + 1. Giá trị f’(– 1) bằng:

A. 2                       B. 6                           C. – 4                        D. 3

Câu 2. Cho hàm số f(x) = – 2x² + 3x xác định trên R. Khi đó f'(x) bằng:

A. – 4x – 3            B. –4x + 3                 C. 4x + 3                   D. 4x – 3

Câu 3. Đạo hàm của hàm số y = (1 – x³)⁵ là:

A. y’ = 5(1 – x³)⁴                                     B. y’ = –15x²(1 – x³)⁴

C. y’ = –3(1 – x³)⁴                                   D. y’ = –5x²(1 – x³)⁴

Câu 4. Đạo hàm của hàm số y = (x² – x + 1)⁵ là:

A. 4(x² – x + 1)⁴(2x – 1)                         B. 5(x² – x + 1)⁴

C. 5(x² – x + 1)⁴(2x – 1)                         D. (x² – x + 1)⁴(2x – 1)

Câu 5. Đạo hàm của hàm số  bằng biểu thức nào dưới đây?

Câu 6. Hàm số  có đạo hàm là:

Câu 7. Đạo hàm của hàm số  bằng biểu thức có dạng  . Khi đó a – b bằng:

A. a – b = 2           B. a – b = –1             C. a – b = 1               D. a – b = –2

Câu 8. Cho hàm số  đạo hàm của hàm số tại x = 1 là:

A. y'(1) = –4          B. y'(1) = –5              C. y'(1) = –3              D. y'(1) = –2

Câu 9. Cho hàm số  Tính y'(0) bằng:

A.            B.                C. y'(0) = 1                D. y'(0) = 2

Câu 10. Hàm số  có đạo hàm là:

 

Câu 11. Cho hàm số f(x) xác định trên D = [0;+∞) cho bởi  có đạo hàm là:

Câu 12. Hàm số  xác định trên D = [0;+∞). Đạo hàm của f(x)là:

A.                                       B. 

C.                                       D. 

Câu 13. Đạo hàm của hàm số bằng biểu thức có dạng  Khi đó a + b bằng:

A. a + b = –10       B. a + b = 5               C. a + b = –10           D. a + b = –12

Câu 14. Đạo hàm của hàm số y = (x² + 1)(5 – 3x²) bằng biểu thức có dạng ax³ + bx. Khi đó  bằng:

A. – 1                    B. –2                         C. 3                           D. – 3

Câu 15. Đạo hàm của hàm số y = x²(2x + 1)(5x – 3) bằng biểu thức có dạng ax³ + bx² + cx. Khi đó a + b + c bằng:

A. 31                     B. 24                         C. 51                         D. 34

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
C	B	B	C	C	C	C	B	A	A	B	D	D	D	A

Phần 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác và cách giải

1. Lý thuyết

a) Giới hạn:  

b) Công thức đạo hàm của hàm số lượng giác

Đạo hàm của hàm số lượng giác cơ bản	Đạo hàm của hàm số hợp (u     =  u(x))
(sin x)’  = cos x (cos x)’  = – sin x	(sin u)’  = u’.cos u (cos u)’  = – u’.sin u

2. Các dạng bài tập

Dạng 1. Tính đạo hàm của các hàm chứa hàm số lượng giác

Phương pháp giải:

– Áp dụng các công thức đạo hàm của các hàm số lượng giác.

– Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và hàm số hợp

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = 5sin x – 3cos x

b) y = sin(x² – 3x + 2)

 

d) y = tan 3x – cot 3x

e)  

Lời giải

a) Ta có: y’ = 5cos x + 3sin x

b) Ta có: y’ = (x² – 3x + 2)’.cos(x² – 3x + 2) = (2x – 3).cos(x² – 3x + 2).

c) Ta có:  

d) Ta có các cách thực hiện sau:

Cách 1: Ta có ngay:

 

Cách 2: Ta biến đổi:

 

e)  

Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

 

Lời giải

 

 

 

 

Dạng 2. Chứng minh đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình liên quan đến đạo hàm

Ví dụ 1: Chứng minh rằng:

a) Hàm số y = tan x thoả mãn hệ thức y’ – y² – 1 = 0.

b) Hàm số y = cot 2x thoả mãn hệ thức y’ + 2y² + 2 = 0.

Lời giải

a) Trước tiên, ta có: 

Khi đó, ta có:  

y’ − y² − 1 =  (đpcm)

b) Trước tiên, ta có:  

Khi đó, ta có:

y’ + 2y² +2 =   (đpcm)

Ví dụ 2: Giải phương trình y’ = 0 trong mỗi trường hợp sau:

a)   y = sin 2x – 2cos x.

b)   y = 3sin 2x + 4cos 2x + 10x.

Lời giải

a) Trước tiên, ta có: y’ = 2cos 2x + 2sin x.

Khi đó, phương trình có dạng:

2cos 2x + 2sin x = 0 ⇔ cos2 x = −sin x =    

 

b) Trước tiên, ta có:

y’ = 6cos 2x – 8sin 2x + 10.

Khi đó, phương trình có dạng:

6cos 2x – 8sin 2x + 10 = 0 ⇔ 4sin 2x – 3cos 2x = 5

⇔  sin 2x −  cos 2x = 1

Đặt  = cosa và  = sina , do đó ta được:

sin 2x.cosa − cos 2x.sina = 1 ⇔ sin(2x − a) = 1

 

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Hàm số y = cotx có đạo hàm là:

A. y’ = – tan x         B.            C. D. y’ = 1 + cot²x

Câu 2. Hàm số  có đạo hàm là:

Câu 3. Hàm số  có đạo hàm là:

 

Câu 4. Đạo hàm của hàm số y = 3sin 2x + cos 3x là:

A. y’ = 3cos 2x – sin 3x                          

B. y’ = 3cos 2x + sin 3x

C. y’ = 6cos 2x – 3sin 3x                        

D. y’ = – 6cos 2x + 3sin 3x

Câu 5. Hàm số y = x tan2x có đạo hàm là:

Câu 6. Đạo hàm của hàm số y = 2sin3x.cos5x có biểu thức nào sau đây?

A. 30cos3x.sin5x                                    

B. – 8cos8x + 2cos2x

C. 8cos8x – 2cos2x                                                                  

D. – 30cos3x + 30sin5x

Câu 7. Hàm số  có đạo hàm là:

A.  B.  

C.  D.  

Câu 8. Hàm số  có đạo hàm là:

 

Câu 9. Hàm số y = tan x – cot x có đạo hàm là:

 

Câu 10. Đạo hàm của hàm số  có biểu thức dạng  

Vậy giá trị a là:

A. a  =  1               B. a  =  – 2                C. a   =  3                   D. a   =  2

Câu 11. Cho hàm số . Đạo hàm y’ của hàm số là

Câu 12. Đạo hàm của hàm số  là

A. y’ = 2sin 2x.cos x − sin x.sin² 2x −                                 

B. y’ = 2sin 2x.cos x − sin x.sin² 2x − 

C. y’ = 2sin 4x.cos x + sin x.sin² 2x −                                

D. y’ = 2sin 4x.cos x − sin x.sin² 2x −  

Câu 13. Cho hàm số . Giá trị đúng của  bằng

 

Câu 14. Cho hàm số y = cos²x + sin x. Phương trình y’ = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0;π)

A. 1 nghiệm           B. 2 nghiệm               C. 3 nghiệm              D. 4 nghiệm

Câu 15.  Cho hàm số y = sin 2x + x. Số nào sau đây là nghiệm của phương trình y’ = 0  trong khoảng (−π;π)

BẢNG ĐÁP ÁN

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
C	B	B	C	C	B	B	D	C	B	C	D	A	C	B

Phần 4: Ứng dụng Đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình

1. Lý thuyết

a) Các công thức đạo hàm

Đạo hàm các hàm số cơ bản	Đạo hàm các hàm hợp u = u(x)
(c)’ = 0 (c là hằng số) (x)’ = 1
(xα)’ = α.xα−1 (sin x)’ = cos x (cos x)’ = -sin x	(uα)’ = α.u’.uα−1 (sin u)’ = u’.cos u (cos u)’ = -u’.sin u

b) Các quy tắc tính đạo hàm

Cho các hàm số u = u(x), v = v(x)

có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:

1. (u + v)’ = u’ + v’

2. (u – v)’ = u’ – v’

3. (u.v)’ = u’.v + v’.u

4.  

Chú ý:

a) (k.v)’ = k.v’ (k: hằng số) 

b)  

Mở rộng:

(u₁ ± u₂ ±…±  u_n)’ = u₁‘ ± u₂‘ ±…±  u_n‘

(u.v.w)’ = u’.v.w + u.v’.w + u.v.w’

c) Đạo hàm của hàm số hợp

Cho hàm số y = f(u(x)) = f(u) với u = u(x). Khi đó: y_x^‘ = y_u^‘.u_x^‘ 

2. Phương pháp giải:

– Sử dụng các quy tắc, công thức tính đạo hàm trong phần lý thuyết.

– Nhận biết và tính đạo hàm của hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức.

– Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức.

3. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: a) Cho f(x) = 2x³ + x −, g(x) = 3x² + x +. Giải bất phương trình f’(x) > g’(x).

 b) Cho . Giải phương trình f’(x) = 0

c) Cho y = cos²x + sin x. Giải phương trình y’ = 0.

Lời giải

a) Ta có f’(x) = (2x³ + x −)’ = 6x² + 1

g’(x) = (3x² + x +)’ = 6x + 1

Ta có: f’(x) > g’(x) ⇔ 6x² + 1 > 6x + 1 ⇔ 6x² − 6x > 0 ⇔ 6x(x − 1) > 0

⇔ x ∈ (−∞;0) ∪ (1;+∞)

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = (−∞;0) ∪ (1;+∞).

b) Ta có  

 

Vậy f’(x) = 0 có 4 nghiệm x = ±2, x = ±4.

c) Ta có: y’ = – 2sin x.cos x + cos x = – sin 2x + cos x

Khi đó, phương trình có dạng:

– sin 2x + cos x = 0 ⇔ sin 2x = cos x =  

 

Vậy nghiệm của phương trình là  

Ví dụ 2: a) Cho y = tan x. Chứng minh y’ – y² – 1 = 0 

b) Cho y = xsinx. Chứng minh: x.y – 2(y’– sinx) + x(2cosx – y) = 0

Lời giải

a) y’ = (tan x)’ =  = 1 + tan²x

Ta có: y’ – y² – 1 = 1 + tan²x – tan²x – 1 = 0 (đpcm).

b) y’ = (xsin x)’ = x’.sin x + x.(sin x)’ = sin x + xcos x.

Ta có: x.y – 2(y’ – sin x) + x(2cos x – y) 

= x².sin x – 2(sin x + xcosx – sin x) + x(2cosx – xsin x)

= x²sin x – 2xcos x + 2xcosx – x²sinx = 0 (đpcm).

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho hàm số . Nghiệm của phương trình y’.y = 2x + 1 là:

A. x = 2.                B. x = 1.                    C. Vô nghiệm .          D. x = – 1.

Câu 2. Cho hàm số , có đạo hàm là f’(x). Tập hợp những giá trị của x để f’(x) = 0 là:

 

Câu 3. Cho hàm số y = 3x³ + x² + 1, có đạo hàm là y’. Để y’ ≤ 0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây?

Câu 4. Cho hàm số , có đạo hàm là y’. Tìm tất cả các giá trị của m để y’ ≥ 0 với ∀x ∈.

Câu 5. Cho hàm số , có đạo hàm là y’. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt là x₁,  x₂ thỏa mãn  

A. m = −1 +; m = −1 −               

B. m = −1 −

C. m = 1 −; m = 1 +                    

D. m = −1 +

Câu 6. Cho hàm số y = (2x² + 1)³, có đạo hàm là y’. Để y’ ≥ 0 thì x nhận các giá trị nào sau đây?

A. Không có giá trị nào của x.                B. (−∞;0].

C. [0;+∞).                                                D. R

Câu 7. Cho hàm số . Giải bất phương trình f’(x) > 0.

Câu 8. Cho hàm số . Phương trình f’(x) = 0 có tập nghiệm S là:

Câu 9. Cho hàm số  Tập nghiệm S của bất phương trình f'(x) ≥ f(x) có bao nhiêu giá trị nguyên?

A. 0.                      B. 1.                          C. 2.                          D. 3.

Câu 10. Cho hàm số y = x³ + mx² + 3x – 5 với m là tham số. Tìm tập hợp M tất cả các giá trị của m để y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt:

A. M = (– 3; 3)                                        

B. M = (−∞;– 3] ∪ [3;+∞)

C. M = R                                                 

D. M = (−∞;– 3) ∪ (3;+∞).

Câu 11. Cho hàm số y = x³ – 3x + 2017. Bất phương trình y’

A. S = (– 1; 1)                                         

B. S = (−∞;– 1) ∪ (1;+∞).

C. (1;+∞).                                          

D. (−∞;– 1).

Câu 12. Cho hàm số f(x) = x⁴ + 2x² – 3. Tìm x dể f’(x) > 0?

A. –1 B. x C. x > 0                     D. x

Câu 13. Cho hàm số y = (m – 1)x³ – 3(m + 2)x² – 6(m + 2)x + 1. Tập giá trị của m để y’ ≥ 0, ∀x ∈ R là

A. [3;+∞)              B. [-2; 0].                     C.                D. [1;+∞)

Câu 14. Cho hàm số f(x) = acosx + 2sinx – 3x + 1. Tìm ­a để phương trình f’(x) = 0 có nghiệm.

A.                B.  C. |a|>5                     D. |a|

Câu 15. Cho hàm số . Giải phương trình f’(x) = 0 .

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
C	D	A	B	A	C	A	C	C	D	A	C	B	B	C

Phần 5: Các bài toán về vi phân, đạo hàm cấp cao và ý nghĩa của đạo hàm

1. Lý thuyết

a) Vi phân

– Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a ; b) và có đạo hàm tại x ∈ (a;b). Giả sử ∆x là số gia của x sao cho x + ∆x ∈ (a;b).

– Tích f'(x).∆x (hay y.∆x) được gọi là vi phân của hàm số y = f(x) tại x, ứng với số gia ∆x, kí hiệu là df(x) hay dy.

Vậy ta có: dy = y’.∆x hoặc df(x) = f'(x).∆x.

b) Đạo hàm cấp cao

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x). Hàm số f’(x) còn gọi là đạo hàm cấp 1 của hàm số f(x). Nếu hàm số f’(x) có đạo hàm thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm số f(x), kí hiệu là y’’ hay f’’(x). Đạo hàm của đạo hàm cấp 2 được gọi là đạo hàm cấp 3 của hàm số f(x), kí hiệu là y’’’ hay f’’’(x). Tương tự, ta gọi đạo hàm của đạo hàm cấp (n – 1) là đạo hàm cấp (n) của hàm số f(x), kí hiệu là y⁽ⁿ⁾ hay f⁽ⁿ⁾(x), tức là ta có: 

y⁽ⁿ⁾ = (y⁽ⁿ⁻¹⁾)’ (n ∈ N, n > 1).

c) Ý nghĩa của đạo hàm

– Ý nghĩa hình học

+ Tiếp tuyến của đường cong phẳng: 

Cho đường cong phẳng (C) và một điểm cố định M₀ trên (C), M là điểm di động trên (C). Khi đó M₀ M là một cát tuyến của (C).

Định nghĩa: Nếu cát tuyến M₀ M có vị trí giới hạn M₀T khi điểm M di chuyển trên (C) và dần tới điểm M₀ thì đường thẳng M₀T được gọi là tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm M₀ . Điểm M₀ được gọi là tiếp điểm.

+ Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại x₀ ∈ (a;b), gọi (C) là đồ thị hàm số đó.

Định lí 1: Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến M₀T của (C) tại điểm M₀ (x₀; f(x₀)) 

Phương trình tiếp tuyến:

Định lí 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm M₀ (x₀; f(x₀)) là: y = f’(x₀).(x – x₀) + f(x₀)

– Ý nghĩa vật lí

Vận tốc tức thời: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s = f(t), với f(t) là hàm số có đạo hàm. Khi đó, vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t₀ là đạo hàm của hàm số s = f(t) tại t₀ .

v(t₀) = s’(t₀) = f’(t₀)

Cường độ tức thời: Điện lượng Q truyền trong dây dẫn xác định bởi phương trình: Q = f(t), với f(t) là hàm số có đạo hàm. Khi đó, cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t₀ là đạo hàm của hàm số Q = f(t) tại t₀ .

I(t₀) = Q’(t₀) = f’(t₀) 

d) Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s = f(t) với f(t) là hàm số có đạo hàm.

Khi đó, gia tốc tức thời a của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của hàm số
 s = f(t) tại t là a(t) = f’’(t) .

2. Các dạng bài tập

Dạng 1: Tìm vi phân của hàm số

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa để tìm vi phân của hàm số y = f(x) là: dy = f’(x)dx

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm vi phân của hàm số 

Lời giải

a)  

Ta có:  

b)  

Ta có :  

c)  

Ta có  

Ví dụ 2: Tìm vi phân của hàm số

a) y = cos 3x.sin 2x.

b) y = f(x) = sin + cos

Lời giải

a) y = cos 3x.sin 2x.

y’ = (cos 3x)’sin 2x + cos 3x(sin 2x)’ 

= – 3sin 3x.sin 2x + 2cos 3x.cos 2x

Suy ra dy = (– 3sin3x.sin2x + 2 cos3x.cos2x)dx

b) y = f(x) = sin + cos 

 

Dạng 2: Tính đạo hàm cấp cao của hàm số

Phương pháp giải: 

Tính đạo hàm cấp 2 là đạo hàm của đạo hàm cấp 1

Tính đạo hàm cấp 3 là đạo hàm của đạo hàm cấp 2

Tương tự: Tính đạo hàm cấp n là đạo hàm của đạo hàm cấp n – 1.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra:

a) y = xsin 2x, (y’’’) 

b) y = cos² x,  (y’’’)

c)  

Lời giải

a) y = xsin2x, (y’’’) 

Ta có y’ = x’sin 2x + x .(sin 2x)’ = sin 2x + 2xcos 2x

y’’ = (sin 2x)’ + (2x)’cos 2x + 2x(cos 2x)’ = 4cos2x – 4xsin 2x 

y’’’ = 4(cos 2x)’ – (4x)sin 2x – 4x(sin 2x)’ 

= – 8sin 2x – 4sin 2x – 8cos 2x

= – 12sin 2x – 8cos 2x 

b) y = cos²x,  (y’’’)

Ta có: y = cos²x = ½(1 + cos2x)

y’ = – sin 2x

y’’ = – 2cos 2x

y’’’ = 4sin 2x

c)  

 

Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp n của hàm số

a) y = x⁴ + 4 x³ – 3x² + 1

b)  

Lời giải

a) y = x⁴ + 4 x³ – 3x² + 1

y’ = 4x³ + 12 x² – 6x 

y’’ = 12x² + 24x – 6 

y’’’ = 24 x + 24

y⁽⁴⁾ = 24 

Suy ra y⁽⁵⁾ = 0, … y⁽ⁿ⁾ = 0.

b)  

Ta có:  

Dự đoán:  

Chứng minh (1) bằng phương pháp quy nạp:

* n = 1: (1) hiển nhiên đúng.

* Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là ta có:  ta phải chứng minh (1) cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là ta phải chứng minh:  

Thật vậy:

 

Vậy (2) đúng nghĩa là (1) đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp ta suy ra  

Dạng 3: Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp 2

Phương pháp giải:

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s = f(t) với f(t) là hàm số có đạo hàm.

Để tính gia tốc tức thời a của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của hàm số
 s = f(t) tại t:

– Đạo hàm f(t) đến cấp 2

– Gia tốc a(t) = f’’(t)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Một chất điểm chuyển động thẳng được xác định bởi phương trình: s = t³ – 3t² + 5t + 2, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Tính gia tốc của chuyển động khi t = 3.

Lời giải

Gia tốc chuyển động tại t = 3s là s”(3)

Ta có: s’(t) = 3t² – 6t + 5

s’’(t) = 6t – 6

Vậy s’’(3) = 6.3 – 6 = 12 m/s². 

Ví dụ 2. Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t³ – 2t² + 4t + 1 trong đó t là giây, s là mét. Tính gia tốc của chuyển động khi t = 2 là:

Lời giải

Gia tốc chuyển động tại t = 2s là s”(2)

Ta có: s’(t) = 3t² – 6t + 4

s’’(t) = 6t – 6

Vậy s’’(2) = 6.2 – 6 = 6 m/s².

Dạng 4. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm của đạo hàm 

Phương pháp giải:

Lưu ý hai kết quả sau để áp dụng:

–  Vận tốc tức thời tại thời điểm t₀ của chất điểm chuyển động với phương trình s = s(t) là v(t₀) = s’(t₀).

– Cường độ tức thời tại thời điểm t₀ của một dòng điện với điện lượng Q = Q(t) là I(t₀) = Q’(t₀).

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là: s = f(t) = t² + 4t + 6 (t được tính bằng giây, s được tính bằng mét)

a) Tính đạo hàm của hàm số f(t) tại điểm t₀ .

b) Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5.

Lời giải

a) Ta có: f’(t) = 2t + 4.

Vậy f’(t₀) = 2t_­0 + 4.

b) Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5 là v = f’(5) = 2.5 + 4 = 14 (m/s).

Ví dụ 2: Cho biết điện lượng trong một dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q = 6t + 5 (t được tính bằng giây, Q được tính bằng Coulomb). Tính cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại thời điểm t = 10.

Lời giải

Vì Q’(t) = 6 nên cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại thời điểm t = 10 là I  = Q’(10) = 6.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho hàm số y = f(x) = (x – 1)² . Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số f(x)?

A. dy = 2(x – 1) dx                                  B. dy = (x – 1)²dx     

C. dy = 2(x – 1)                                       D. dy = 2(x – 1) dx.

Câu 2. Xét hàm số . Chọn câu đúng:

Câu 3. Cho hàm số  . Vi phân của hàm số là:

Câu 4. Cho hàm số f(x) = x³ + 2x, giá trị của f’’(1) bằng

A. 6.                      B. 8.                          C. 3.                          D. 2.

Câu 5. Cho hàm số  . Tính f’’(– 1).

Câu 6. Cho hàm số f(x) = cos2x. Tính P = f”(π).

A. P = 4.                B. P = 0.                    C. P = – 4.                D. P = – 1.

Câu 7. Cho hàm số: . Phương trình y’’ = 0 có nghiệm là:

A. x = -4.               B. x = – 2.                 C. x = 0.                    D. x = 2.

Câu 8. Cho hàm số y = sin 2x. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. y² – (y’)² = 4.                                      B. 4y + y’’ = 0.         

C. 4y – y’’ = 0.                                        D. y = y’.tan 2x.

Câu 9. Cho hàm số y = sin²x. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.                    

B. 2y + y’. tan x = 0.

C. 4y- y’’ = 2.                                         

D. 4 y’ + y’’’ = 0.

Câu 10. Cho hàm số . Tính f’’’(1).

A. 3.                      B. -3.                         C.                          D. 0.

Câu 11. Đạo hàm cấp 21 của hàm số f(x) = cos (x + a) là

Câu 12. Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là: s = f(t) = t² + t + 6 (t được tính bằng giây, s được tính bằng mét). Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 2 là

A. 5 (m/s).             B. 6 (m/s).                 C. 7 (m/s).                 D. 4 (m/s).

Câu 13. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình  trong đó t được tính bằng giây và s được tính bằng mét. Sau bao lâu thì chuyển động dừng lại?

A. 1 (s).                 B. 3 (s).                     C. 2 (s).                     D. 4 (s).

Câu 14. Cho biết điện lượng trong một dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q = 3t² + 6t + 5 (t được tính bằng giây, Q được tính bằng Coulomb). Tính cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại thời điểm t = 1.

A. 5 (A).                B. 12 (A).                  C. 7 (A).                    D. 4 (A).

Câu 15. Một vật chuyển động theo quy luật  với t (giây)là khoảng thời gian từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 6 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất vật đạt được bằng bao nhiêu?

A. 24 (m/s).           B. 108 (m/s).             C. 64 (m/s).               D. 18 (m/s).

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
A	B	C	A	A	C	B	B	D	A	C	A	C	B	A

Phần 6: Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải

1. Lý thuyết

– Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M₀(x₀; f(x₀)).

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M₀(x₀; f(x₀)) là:

y =   f’(x₀).(x – x₀) + y₀

2. Các dạng bài tập

Dạng 1. Tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị 

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) tại điểm M₀(x₀; f(x₀)) là:

y =   f’(x₀).(x – x₀) + f(x₀)

Trong đó:

M₀(x₀; y₀) gọi là tiếp điểm.

k = f'(x₀) là hệ số góc.

Chú ý:

– Nếu cho x₀ thì thế vào y = f(x) tìm y₀.    

– Nếu cho y₀ thì thế vào y = f(x) tìm x₀.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x³. Viết tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho

a) Biết tiếp điểm là M(1; 1).

b) Biết hoành độ tiếp điểm bằng 2.

c) Biết tung độ tiếp điểm bằng 5.

Lời giải

Đặt f(x) = x³

Khi đó: f'(x) = 3x²

a) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M, ta có: k = f'(1) = 3.

Phương trình tiếp tuyến tại M là: y = 3(x – 1) + 1. Hay y = 3x – 2.

b) Gọi M(x_M; y_M) là tiếp điểm. 

Hoành độ tiếp điểm x_M = 2 nên tung độ y_M = (x_M)³ = 8. Vậy M(2; 8). 

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M suy ra k = f'(2) = 12

Phương trình tiếp tuyến tại M là: y = 12(x – 2) + 8. Hay y = 12x – 16.

c) Gọi M(x_M; y_M) là tiếp điểm.

Tung độ tiếp điểm y_M = 5 ⇒ (x_M)³ = 5 ⇒  

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M ⇒  

Phương trình tiếp tuyến tại M là:  

Ví dụ 2: Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết:

a) Tiếp điểm M có tung độ bằng 4.

b) Tiếp điểm M là giao của đồ thị hàm số với trục hoành.

c) Tiếp điểm M là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung.

Lời giải

Đặt  

⇒ 

a) Gọi M(x_M; y_M) là tiếp điểm.

Tiếp điểm có tung độ:  

Gọi klà hệ số góc của tiếp tuyến tại M ⇒  

Phương trình tiếp tuyến tại M là:  ⇒ y = 9x − 2.

b) Gọi M(x_M; y_M) là tiếp điểm

Giao điểm của đồ thị với trục hoành:  

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M ⇒ k = f'(2) = 1

Phương trình tiếp tuyến tại M là: y = x – 2.

c) Gọi M(x_M; y_M) là tiếp điểm

Giao điểm của đồ thị với trục tung: x_M = 0 ⇒  

Gọi k là hệ số của tiếp tuyến tại M. Khi đó k = f'(0) = 1.

Phương trình tiếp tuyến tại M là: y = (x – 0) + 2. Hay y = x + 2.

Dạng 2. Tiếp tuyến biết hệ số góc:

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi M(x₀; f(x₀)) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến của (C) thì f'(x₀) = k

Bước 2: Giải phương trình f'(x₀) = k với ẩn là x₀.

Bước 3: Phương trình tiếp tuyến của (C) có dạng y = k(x – x₀) + f(x₀).

 Chú ý:   

* Cho hai đường thẳng: d₁ : y = a₁x + b₁ và d₂ : y = a₂x + b₂, với a₁, a₂ lần lượt là hệ số góc của d₁ và d₂. Khi đó: 

 

* Hệ số góc của đường thẳng (d) y = ax + b là: k_d = a = tanα với α là góc nằm bên trên trục hoành tạo bởi đường thẳng (d) và chiều dương của trục Ox.

Khi a > 0, ta có k_d = tanα = a.

Khi a d = tan(180° − α).

Ví dụ minh họa: 

Ví dụ 1: Cho hàm số  có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết :

a) Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2.

b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d):  .

c) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d’): y = 2020.

Lời giải

Ta có y’ = f'(x) = x² – x.

a) Gọi M(x₀;y₀) ∈ (C) mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 2

⇒ f'(x₀) = 2 ⇔  

* Với x₀ = 2 ta có  

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm  là  hay  

* Với x₀ = – 1 ta có  

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm  là  hay  

b) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C)

Do tiếp tuyến vuông góc với (d)  nên  ⇒ k = 6

Gọi M(x₀; y₀) là điểm thuộc đồ thị (C) mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 6.

* Với x₀ = 3 ta có y₀ = f(3) = ⇒  

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại  là  hay  

* Với x₀ = – 2 ta có y₀ = f(−2) = ⇒ ∈ (C)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại  là:  hay  

c) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C).

Do tiếp tuyến song song với (d’) : y = 2020 với hệ số góc 

⇒ k = 0

Gọi M(x₀; y₀) là điểm thuộc đồ thị (C) mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 0 

⇒ f'(x₀) = 0 ⇔  

* Với x₀ = 0 ta có y₀ = f(0) = 1 ⇒ M₁(0;1) ∈ (C).

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M₁(0; 1) là y = 1.

* Với x₀ = 1 ta có  

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại  là  

Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số y= f(x) =  có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến (∆) của (C) biết: 

a) (∆) tạo với Ox một góc bằng 45⁰

b) (∆) song song với đường thẳng (d): 4x + y – 5 = 0.

Lời giải

TXĐ: D = R \ {−1}.

Ta có:  

a) Gọi M(x₀;y₀) ∈ (C) là tiếp điểm của tiếp tuyến (∆).

Tiếp tuyến (∆) có hệ số góc là k = f(x₀) =  

Mà (∆;Ox) = 45° ⇒ k = tan(180° − 45°) = tan(135°) = −1

* Với x₀ = 2 ⇒ y₀ = f(2) =  = 5 ⇒ M₁(2;5)

Phương trình tiếp tuyến (∆) tại điểm M₁(2; 5) là: (∆): y = −1.(x − 2) + 5 ⇔ y = −x + 7

* Với x₀ = 0 ⇒  

Phương trình tiếp tuyến (∆) tại điểm M₂(0; 2) là: (∆): y = −1.(x − 0) + 3 ⇔ y = −x + 3.

b) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến (∆).

(d): 4x + y − 5 = 0 ⇒ y = −4x + 5

Do tiếp tuyến (∆) song song với đt (d) ⇒ k = −4

* Với x₀ = 3 ta có y₀ = f(3) =  = 3 ⇒ M₁(3;3).

Phương trình tiếp tuyến (∆): y = −4.(x − 3) + 3 ⇔ y = −4x +15

* Với x₀ = – 1 ta có  

Phương trình tiếp tuyến (∆) y = −4.(x + 1) + ⇔ y = −4x −   .

Dạng 3. Tiếp tuyến đi qua một điểm:

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d là M(x₀; f(x₀)). Tính y’ = f'(x).

Hệ số góc của tiếp tuyến d là k = f'(x₀).

Phương trình đường thẳng d: y = f'(x₀)(x – x₀) + f(x₀).

Bước 2: Do đường thẳng d đi qua điểm A(x_A; y_A)

Nên y_A = f'(x₀)(x_A – x₀) + f(x₀). Phương trình đưa về ẩn x₀ . Giải phương trình tìm x₀.

Bước 3: Với x₀ tìm được, quay lại dạng 2 .Từ đó viết phương trình d.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số y = 4x³ – 6x² + 1. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua điểm M(– 1; – 9).

Lời giải

Gọi  là tiếp điểm của của tiếp tuyến và đồ thị hàm số.

f'(x) = 12x² – 12x.

Ta có phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A là 

d:  

Vì M ∈ d nên:  

 

Với , ta có phương trình tiếp tuyến là:  

Với A(−1;−9), ta có phương trình tiếp tuyến là: y = 24x + 15.

Ví dụ 2: Cho hàm số  có đồ thị (C). Giả sử đường thẳng (d): y = kx + m là tiếp tuyến của (C), biết rằng (d) cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm A, B và tam giác OAB cân tại O. Viết phương trình đường thẳng (d).

Lời giải

TXĐ: D =R \  

Ta có  

Gọi M(x₀; y₀) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến (d) nên (d) có hệ số góc là  

Tiếp tuyến (d): y = kx + m cắt Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B nên (d) không đi qua gốc tọa độ ⇒ m ≠ 0, k ≠ 0

Do A∈ Ox ⇒ ;B ∈ Oy ⇒ B(0;m)

Do tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O nên OA = OB ⇔  

Do m ≠ 0 ⇒  

Mà do (d) có hệ số góc  

 

 * Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M₁(–1; 1) là (d): y = −(x + 1) +1 ⇔ y = −x (không thỏa mãn).

* Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M₂(– 2; 0) là y = −(x + 2) +0 ⇔ y = −x − 2

Vậy phương trình đường thẳng d thỏa mãn là: y = – x – 2.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho hàm số  có đồ thị là (H). Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (H) với trục hoành là:

A. y = 2x – 4.                                          B. y = 3x + 1.            

C. y = – 2x + 4.                                       D. y = 2x.

Câu 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) = x³ – 2x² + 3x tại điểm có hoành độ x₀ = – 1 là:

A. y = 10x + 4.                                        B. y = 10x – 5.          

C. y = 2x – 4.                                          D. y = 2x – 5.

Câu 3. Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số y = x³ – 3x² + 2, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng

A. – 3.                   B. 3.                          C. 4.                          D. 0.

Câu 4. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = tan x tại điểm có hoành độ  là

A.                       B.                        C. 1.                          D. 2.

Câu 5. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x⁴ + 2x² – 1 tại điểm có tung độ tiếp điểm bằng 2 là:

A. y = 8x – 6, y = – 8x – 6.                     

B. y = 8x – 6, y = – 8x + 6.

C. y = 8x – 8, y = – 8x + 8.                     

D. y = 40x – 57.

Câu 6. Trên đồ thị của hàm số  có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tọa độ M là:

 

Câu 7. Tiếp tuyến của paraboly = 4 – x² tại điểm (1; 3) tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông. Diện tích của tam giác vuông đó là:

Câu 8. Cho hàm số y = x² – 6x + 5 có tiếp tuyến song song với trục hoành. Phương trình tiếp tuyến đó là:

A. x = – 3.             B. y = – 4.                 C. y = 4.                    D. x = 3.

Câu 9. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số  có hệ số góc k = – 9, có phương trình là:

A. y – 16 = – 9(x + 3).                            

B. y = – 9(x + 3).   

C. y – 16 = – 9(x – 3).                            

D. y + 16 = – 9(x + 3).

Câu 10. Cho hàm số  có đồ thị (H). Đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng d: y = – x + 2 và tiếp xúc với (H) thì phương trình của ∆ là

 

Câu 11. Cho hàm số y = -x³ + 3x² – 2 có đồ thị (C). Số tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = – 9x – 7 là:

A. 1.                      B. 3.                          C. 4.                          D. 2.

Câu 12. Cho hàm số y = x³ – 2x² + 2x có đồ thị (C). Gọi x₁, x₂ là hoành độ các điểm M, N trên (C), mà tại đó tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = – x + 2017. Khi đó x₁ + x₂ bằng:

Câu 13. Cho hàm số  có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(– 1; 0) là:

A.                B.            C. y = 3(x + 1)          D. y = 3x + 1

Câu 14. Qua điểm A(0;2) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = x⁴ – 2x² + 2

A. 2                       B. 3                           C. 0                           D. 1

Câu 15. Cho hàm số  , có đồ thị (C). Từ điểm M(2; -1) có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến phân biệt có phương trình:

A. y = – x + 1 và y = x – 3.                     

B. y = 2x – 5 và y = – 2x + 3.

C. y = – x – 1 và y = – x + 3.                  

D. y = x + 1 và y = – x – 3.

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
C	A	A	D	A	D	D	B	A	C	D	A	B	B	A

Phần 7: Tổng hợp các công thức tính đạo hàm chi tiết

I. Định nghĩa đạo hàm

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

* Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x₀ thuộc (a; b).Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) : 

Thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x0 và được kí hiệu là f^‘ (x₀ ). Vậy 

* Chú ý:

Đại lượng ∆x= x- x₀ được gọi là số gia của đối số tại x₀.

Đại lượng ∆y= f(x) – f( x₀)= f( x₀+ ∆x)- f( x₀) được gọi là số gia tương ứng của hàm số.

• Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x₀ thì nó liên tục tại điểm đó.

2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Quy tắc tính hàm định nghĩa:

+ Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0; tính :

∆y= f( x₀+ ∆x)- f( x₀) .

+ Bước 2: Lập tỉ số ∆y/∆x.

+ Bước 3:

3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số.

* Định lí: Nếu hàm số y= f( x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

* Chú ý:

+ Nếu hàm số y= f(x) gián đoạn tại x0 thì hàm số không có đạo hàm tại điểm đó.

+ Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

4. Đạo hàm một bên. Đạo hàm trên khoảng; trên đoạn.

a. Đạo hàm bên trái, bên phải

+ Nếu tồn tại giới hạn( hữu hạn) bên phải

ta gọi giới hạn đó là đạo hàm bên phải của hàm số y= f(x) tại x=x₀ và kí hiệu f^‘(x₀⁺)

+ Tương tự; đạo hàm bên trái của hàm số là

Hệ quả : Hàm số y= f(x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi tồn tại f^‘(x₀⁺) và f^;(x₀^–) đồng thời f^‘ (x₀⁺ )=f^‘(x₀^–) .

b. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

Hàm số y=f(x) có đạo hàm trên (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b).

Hàm số y= f(x) có đạo hàm trên[a;b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b) đồng thời tồn tại đạo hàm trái tại x= b và đạo hàm phải tại x= a.

5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Định lí: Đạo hàm của hàm số y= f(x) taị điểm x=x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến M₀T của đồ thị hàm số y= f( x) tại điểm M₀(x₀; f(x₀)).

Định lí: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) tại điểm M₀(x₀; f(x₀)) là:

y – y₀= f’(x₀) ( x- x₀)

trong đó y₀= f( x₀) .

6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm.

a. Vận tốc tức thời.

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s= s(t); với s= s(t) là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số s= s(t) tại t₀:

v(t₀) = s’(t₀)

b. Cường độ tức thời.

Nếu điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian: Q= Q(t) ( là hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số Q= Q(t) tại t₀:

I(t₀)= Q’(t₀) .

II. Các quy tắc tính đạo hàm

1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

a. Định lí 1: Hàm số y= xⁿ (n ∈ N; n > 1) có đạo hàm tại mọi x∈R và :

(xⁿ )’=nx^(n-1)

Nhận xét :

Đạo hàm của hàm hằng bằng 0 : (c)’=0 .

Đạo hàm của hàm số y=x bằng 1 : (x)’=1.

b. Định lí 2. Hàm số y= √x có đạo hàm tại mọi x dương và :

(√x)’= 1/(2√x)

2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hàm số

a. Định lí : Giả sử u= u(x) ; v= v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có :

(u+v)’=u’+v’

(u-v)’=u’-v’

(u.v)’=u’.v+u.v’

(u/v)’= (u’.v-u.v’)/v² ( v=v(x)≠0 )

(u₁±u₂±⋯±u_n) ‘= u₁‘±u₂‘±⋯±u_n‘

b.Hệ quả.

Nếu k là một hằng số thì : ( ku)’=k.u’

(1/v)’= (- v’)/v² ( v=v(x)≠0)

3. Đạo hàm của hàm số hợp

Định lí : Nếu hàm số u= g(x) có đạo hàm tại x là u’_xvà hàm số y=f(u) có đạo hàm tại u là y’_u thì hàm hợp y=f(g(x)) có đạo hàm tại x là :

y’_x= y’_u.u’_x

Bảng tóm tắt

( u+v-w)’=u’+v’-w’

(ku)^’=k.u’ ( k là hằng số)

(uv)’=u^’.v+uv’

( u/v)’= (u’ v-uv’)/v²

(1/v)’=(-v’)/v²

y’_x= y’_u.u’_x

III. Đạo hàm của hàm số lượng giác

1. Giới hạn lượng giác

2. Đạo hàm của hàm số y= sinx

* Định lí : Hàm số y= sinx có đạo hàm tại mọi x∈R và (sinx)’=cosx

* Chú ý : Nếu y= sinx và u= u(x) thì : ( sinu)’=u’.cosu

3. Đạo hàm của hàm số y= cosx

* Định lí : Hàm số y= cosx có đạo hàm tại mọi x∈R và ( cosx)’= -sinx

* Chú ý : Nếu y= cosu và u= u(x) thì : (cosu)’= -u’.sinu

4. Đaọ hàm của hàm số y= tan x

* Định lí : Hàm số y= tanx có đạo hàm tại mọi x≠π/2+kπ;k∈Z và (tanx)’= 1/(cos² x)

* Chú ý : Nếu y= tan u và u= u( x) thì ta có : ( tanu)’= u’/(cos² u)

5. Đạo hàm của hàm số y= cotx

*Định lí : hàm số y= cotx có đạo hàm với mọi x≠kπ;k∈Z và (cot⁡x )’= (- 1)/(sin² x)

*Chú ý : Nếu y= cotu và u= u(x) ta có : (cotu)’= (- u’)/(sin² u)

Bảng đạo hàm

IV. Vi phân

1. Định nghĩa

Tích f’ (x).∆x được gọi là vi phân của hàm số y= f(x) tại điểm x (ứng với số gia ) được kí hiệu là : d f(x) hoặc dy tức là :

dy= df(x)= f’ (x).∆x

*Chú ý

Áp dụng định nghĩa trên vào hàm số y=x ta có :

dx=d( x)=(x).∆x=1.∆x= ∆x

Do đó với hàm số y= f(x) ta có : dy=df(x)=f’ (x).dx

2. Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng.

Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a ;b) và có đạo hàm tại x thuộc (a;b). Giả sử ∆ x là số gia của x. Ta có :

f(x₀+ ∆x)≈f(x₀ )+f’ (x₀ ).∆x

V. Đạo hàm cấp cao của hàm số

1. Định nghĩa

Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm tại trên khoảng (a ;b). Nếu hàm số y’= f’(x) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số y= f(x) và được kí hiệu là y” hay f” (x), tức là: .

Đạo hàm cấp n: Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm cấp n-1 (với n thuộc Y, n lón hơn hoặc bằng 2 ) là f^(n-1)(x). Nếu f^(n-1) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số

y= f(x) và được kí hiệu là f⁽ⁿ⁾, tức là: f^{((n) )} (x)=(f^((n-1) ) (x))’

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai.

Xét một vật chuyển động xác định bởi phương trình s= s( t) ; trong đó s= s(t) là một hàm số có đạo hàm đến cấp hai.

Đạo hàm cấp hai s”(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s= s(t) tại thời điểm t.

 

Xem thêm