Giải Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Giải bài tập Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời hoạt động 1 trang 146 sgk Đại số và Giải tích 11: Một đoàn tàu chuyển động khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường $s$ (mét) đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian $t$ (phút). Ở những phút đầu tiên, hàm số đó là $s=t^2$

Hãy tính vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng $[t;t_o]$ với $t_o=3$ và $t=2;t=2,5;t=2,9;t=2,99.$

Nêu nhận xét về những kết quả thu được khi $t$ càng gần $t_o=3$.

Lời giải:

Vận tốc của đoàn tàu là:

$v=\frac{s}{t}=\frac{t^2}{t}=t$

 Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng $[t;t_o]$ với:

$\begin{array}{rl}& t_0=3;t=2:\frac{3+2}{2}=2,5\\ & t_0=3;t=2,5:\frac{3+2,5}{2}=2,75\\ & t_0=3;t=2,9:\frac{3+2,9}{2}=2,95\\ & t_0=3;t=2,99:\frac{3+2,99}{2}=2,995\end{array}$

$t$ càng gần $t_o=3$ thì vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng $[t;t_o]$ càng gần 3.

Trả lời hoạt động 2 trang 149 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho hàm số y = x². Hãy tính y’ (x₀) bằng định nghĩa.
Lời giải:

Trả lời hoạt động 3 trang 150 sgk Đại số và Giải tích 11:
a. Vẽ đồ thị của hàm số f (x) = $\frac{x^2}{2}$
b. Tính f ‘ (1).
c. Vẽ đường thẳng đi qua điểm M (1;$\frac{1}{2}$) và có hệ số góc bằng f ‘ (1). Nêu nhận xét về vị trí tương đối của đường thẳng này và đồ thị hàm số đã cho.
Lời giải:
a.

b.

– Giả sử Δx là số gia của đối số tại x₀=1. Ta có:

c.

– Đường thẳng có hệ số góc bằng $f^{\prime }(1)=1$ có dạng:

$y=1.x+a$ hay $y=x+a$

Mà đường thẳng đó đi qua điểm $M(1;\frac{1}{2}$) nên có: $\frac{1}{2}=1+a\Rightarrow a=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$

⇒ đường thẳng đi qua $M$ và có hệ số góc bằng $1$ là: $y=x–\frac{1}{2}$

Ta có đồ thị như trên. Đường thẳng $y=x–\frac{1}{2}$ tiếp xúc với đồ thị hàm số $f(x)$ tại $M$

Trả lời hoạt động 4 trang 152 sgk Đại số và Giải tích 11: Viết phương trình đường thẳng đi qua M_o (x_o;y_o) và có hệ số góc k.
Lời giải:
Đường thẳng đi qua điểm M_o (x_o;y_o) và có hệ số góc k có phương trình y = k(x-x_o) hay y = kx + (-kx_o+y₀)
Trả lời hoạt động 5 trang 152 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho hàm số y = -x² + 3x -2. Tính y ‘ (2) bằng định nghĩa.
Phương pháp giải:

– Tính $\Delta y$ theo số gia $\Delta x$.

– Tính tỉ số $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$ và tính đạo hàm $y^{\prime }(2)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$.

Lời giải:

– Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số tại $x_o=2$. Ta có:

$\Delta y=y(2+\Delta x)-y(2)$

$\begin{array}{l}=-{\left(2+\mathrm{\Delta }x\right)}^2+3\left(2+\mathrm{\Delta }x\right)-2-(-2^2+3.2-2)\\ =-\left(4+4\mathrm{\Delta }x+{\left(\mathrm{\Delta }x\right)}^2\right)+6+3\mathrm{\Delta }x-2=-{\left(\mathrm{\Delta }x\right)}^2-\mathrm{\Delta }x\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{-{(\mathrm{\Delta }x)}^2-\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x}=-\mathrm{\Delta }x-1\\ & \Rightarrow y^{\prime }(2)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}(-\mathrm{\Delta }x-1)=-1\end{array}$

Trả lời hoạt động 6 trang 153 sgk Đại số và Giải tích 11: Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của các hàm số:
a. f (x) = x² tại điểm x bất kỳ;
b. g (x) = $\frac{1}{x}$ tại điểm bất kỳ x # 0.
Phương pháp giải:

– Tính $\mathrm{\Delta }y$ theo $\mathrm{\Delta }x$.

– Tính tỉ số $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$.

– Tính giới hạn $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$ và kết luận.

Lời giải:

a.

Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số tại $x_0$ bất kỳ. Ta có:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)\\ & =(x_0+\mathrm{\Delta }x{)}^2-{x_0}^2=2x_0\mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2\\ & \Rightarrow \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{2x_0\mathrm{\Delta }x+{(\mathrm{\Delta }x)}^2}{\mathrm{\Delta }x}=2x_0+\mathrm{\Delta }x\\ & \Rightarrow y^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}(2x_0+\mathrm{\Delta }x)=2x_0\end{array}$

b.

Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số tại $x_0$ bất kỳ. Ta có:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }y=g(x_0+\mathrm{\Delta }x)-g(x_0)\\ & =\frac{1}{x_0+\mathrm{\Delta }x}-\frac{1}{x_0}=\frac{-\mathrm{\Delta }x}{x_0(x_0+\mathrm{\Delta }x)}\\ & \Rightarrow \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{-\mathrm{\Delta }x}{x_0(x_0+\mathrm{\Delta }x)}:\mathrm{\Delta }x=\frac{-1}{x_0(x_0+\mathrm{\Delta }x)}\\ & y^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}(\frac{-1}{x_0(x_0+\mathrm{\Delta }x)})=\frac{-1}{{x_0}^2}\end{array}$

Bài tập (trang 156, 157 sgk Đại số và Giải tích 11)
Bài 1 trang 156 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm số gia của hàm số $f(x)=x^3$, biết rằng:

a. $x_0=1;∆x=1$

b. $x_0=1;∆x=-0,1$

a.

Phương pháp giải:

Số gia của hàm số $y=f\left(x\right)$ là: $\mathrm{\Delta }f\left(x\right)=f\left(x_0+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x_0\right)$

Lời giải:

$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }f\left(x\right)=f\left(x_0+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x_0\right)\\ \Rightarrow \mathrm{\Delta }f\left(x\right)=f\left(1+1\right)-f\left(1\right)\\ \Rightarrow \mathrm{\Delta }f\left(x\right)=f\left(2\right)-f\left(1\right)\\ \Rightarrow \mathrm{\Delta }f\left(x\right)=2^3-1^3=7\end{array}$

b.

Phương pháp giải:

Số gia của hàm số $y=f\left(x\right)$ là: $\mathrm{\Delta }f\left(x\right)=f\left(x_0+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x_0\right)$

Lời giải:

$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }f\left(x\right)=f\left(x_0+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x_0\right)\\ \Rightarrow \mathrm{\Delta }f\left(x\right)=f\left(1-0,1\right)-f\left(1\right)\\ \Rightarrow \mathrm{\Delta }f\left(x\right)=f\left(0,9\right)-f\left(1\right)\\ \Rightarrow \mathrm{\Delta }f\left(x\right)=0,9^3-1=-0,271\end{array}$

Bài 2 trang 156 sgk Đại số và Giải tích 11: Tính $∆y$ và $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$ của các hàm số sau theo $x$ và $∆x$ :

a.  $y=2x-5$

b. y = x² -1

c. y = 2x³

d. y = $\frac{1}{x}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: $\mathrm{\Delta }y=f\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x\right)$ tính $\mathrm{\Delta }y$, từ đó suy ra $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$

(Trong công thức $\mathrm{\Delta }y=f\left(x_0+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x_0\right)$ ta coi $x_0=x$)

Lời giải:

a.

$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }y=f\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x\right)\\ =\left[2\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)-5\right]-\left(2x-5\right)\\ =2x+2\mathrm{\Delta }x-5-2x+5\\ =2\mathrm{\Delta }x\\ \Rightarrow \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{2\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x}=2\end{array}$

b.

c. 

d.

Bài 3 trang 156 sgk Đại số và Giải tích 11: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:

a. $y=x^2+x$ tại $x_0=1$

b. y = $\frac{1}{x}$ tại x₀ = 2

c. y = $\frac{x+1}{x–1}$ tại x₀ = 2

Phương pháp giải:

Bước 1: Giả sử $\mathrm{\Delta }x$ là số gia của đối số tại $x_0$, tính $\mathrm{\Delta }y=f\left(x_0+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x_0\right)$.

Bước 2: Lập tỉ số $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$.

Bước 3: Tìm $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$.

Kết luận $f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$.

Lời giải:

a.

Giả sử $∆x$ là số gia của số đối tại $x_0=1$. Ta có:

$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }y=f\left(1+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(1\right)\\ ={\left(1+\mathrm{\Delta }x\right)}^2+\left(1+\mathrm{\Delta }x\right)-1^2-1\\ =1+2\mathrm{\Delta }x+{\left(\mathrm{\Delta }x\right)}^2+1+\mathrm{\Delta }x-2\\ =\mathrm{\Delta }x\left(\mathrm{\Delta }x+3\right)\\ \Rightarrow \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\mathrm{\Delta }x+3\\ \Rightarrow \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left(\mathrm{\Delta }x+3\right)=3\end{array}$

Vậy $f^{\prime }(1)=3$.

Cách khác:

$\begin{array}{l}f\left(x\right)=x^2+x\Rightarrow f\left(1\right)=2\\ \Rightarrow \underset{x\to 1}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}\\ =\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2+x-2}{x-1}\\ =\underset{x\to 1}{lim}\frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{x-1}\\ =\underset{x\to 1}{lim}\left(x+2\right)\\ =1+2\\ =3\\ \Rightarrow f^{\prime }\left(1\right)=3\end{array}$

b.

Giả sử $∆x$ là số gia của số đối tại $x_0=2$. Ta có:

$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }y=f\left(2+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(2\right)\\ =\frac{1}{2+\mathrm{\Delta }x}-\frac{1}{2}\\ =\frac{2-2-\mathrm{\Delta }x}{2\left(2+\mathrm{\Delta }x\right)}=\frac{-\mathrm{\Delta }x}{2\left(2+\mathrm{\Delta }x\right)}\\ \Rightarrow \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{-1}{2\left(2+\mathrm{\Delta }x\right)}\\ \Rightarrow \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left(\frac{-1}{2\left(2+\mathrm{\Delta }x\right)}\right)=\frac{-1}{2.2}=-\frac{1}{4}\end{array}$

Vậy $f^{\prime }(2)=-\frac{1}{4}$.

Cách khác:

$\begin{array}{l}f\left(x\right)=\frac{1}{x}\Rightarrow f\left(2\right)=\frac{1}{2}\\ \Rightarrow \underset{x\to 2}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}\\ =\underset{x\to 2}{lim}\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{2}}{x-2}\\ =\underset{x\to 2}{lim}\frac{\frac{2-x}{2x}}{-\left(2-x\right)}\\ =\underset{x\to 2}{lim}\left(-\frac{1}{2x}\right)\\ =-\frac{1}{2.2}=-\frac{1}{4}\\ \Rightarrow f^{\prime }\left(2\right)=-\frac{1}{4}\end{array}$

c.

Giả sử $∆x$ là số gia của số đối tại $x_0=0$.Ta có:

$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }y=f\left(\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(0\right)\\ =\frac{\mathrm{\Delta }x+1}{\mathrm{\Delta }x-1}-\frac{0+1}{0-1}\\ =\frac{\mathrm{\Delta }x+1}{\mathrm{\Delta }x-1}+1\\ =\frac{\mathrm{\Delta }x+1+\mathrm{\Delta }x-1}{\mathrm{\Delta }x-1}=\frac{2\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x-1}\\ \Rightarrow \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{2}{\mathrm{\Delta }x-1}\\ \Rightarrow \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left(\frac{2}{\mathrm{\Delta }x-1}\right)=\frac{2}{-1}=-2\end{array}$

Vậy $f^{\prime }(0)=-2$.

Cách khác:

$\begin{array}{l}f\left(x\right)=\frac{x+1}{x-1}\Rightarrow f\left(0\right)=-1\\ \Rightarrow \underset{x\to 0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}\\ =\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{x+1}{x-1}+1}{x}\\ =\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{x+1+x-1}{x-1}}{x}\\ =\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{2x}{x-1}}{x}\\ =\underset{x\to 0}{lim}\frac{2}{x-1}\\ =\frac{2}{0-1}=-2\\ \Rightarrow f^{\prime }\left(0\right)=-2\end{array}$

Bài 4 trang 156 sgk Đại số và Giải tích 11: Chứng minh rằng hàm số 

$$f(x)=\{\begin{array}{c}(x-1{)}^2\text{ nếu }x\ge 0\hfill \\ -x^2\text{ nếu }x<0\hfill \end{array}$$

không có đạo hàm tại điểm $x=0$ nhưng có đạo hàm tại điểm $x=2$.

Phương pháp giải:

Điều kiện cần để hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm tại điểm $x=x_0$ là hàm số liên tục tại $x=x_0$.

Sử dụng định nghĩa chứng minh hàm số có đạo hàm tại $x=x_0$:

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a;b)$ và $x_0\in \left(a;b\right)$. Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ thì tồn tại đạo hàm của hàm số tại $x_0$.

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\underset{x\to 0^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{lim}{\left(x-1\right)}^2={\left(0-1\right)}^2=1\\ \underset{x\to 0^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\left(-x^2\right)=-0^2=0\\ \Rightarrow \underset{x\to 0^{+}}{lim}f\left(x\right)\ne \underset{x\to 0^{-}}{lim}f\left(x\right)\end{array}$

Do đó hàm số $y=f(x)$ gián đoạn tại $x=0$.

Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm $x=0$ (vi phạm điều kiện cần).

Xét giới hạn: 

$\begin{array}{l}\underset{x\to 2}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}=\underset{x\to 2}{lim}\frac{{\left(x-1\right)}^2-1}{x-2}\\ =\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^2-2x}{x-2}=\underset{x\to 2}{lim}\frac{x\left(x-2\right)}{x-2}=\underset{x\to 2}{lim}x=2\end{array}$

Vậy hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại $x=2$ và $f^{\prime }(2)=2$.

Bài 5 trang 156 sgk Đại số và Giải tích 11: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong $y=x^3$:

a. Tại điểm có tọa độ $(-1;-1)$

b. Tại điểm có hoành độ bằng 2

c. Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3

a.

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm có hoành độ $x=x_0$ là: $y=f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{x^3-x_0^3}{x-x_0}\\ =\underset{x\to x_0}{lim}\left(x^2+x.x_0+x_0^2\right)\\ =x_0^2+x_0.x_0+x_0^2=3x_0^2\\ \Rightarrow y^{\prime }\left(x_0\right)=3x_0^2\end{array}$

Ta có: $y^{\prime }(-1)=3$.

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm $(-1;-1)$ là: $y=3\left(x+1\right)-1=3x+2$

b. 

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm có hoành độ $x=x_0$ là: $y=f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$

Lời giải:

Ta có: $y^{\prime }(2)={3.2}^2=12$, $y(2)=2^3=8$.

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng $2$ là: $y=12\left(x-2\right)+8=12x-16$.

c.

Phương pháp giải:

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0$ là $f^{\prime }\left(x_0\right)=3$.

Giải phương trình tìm $x_0$, từ đó viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm có hoành độ $x=x_0$.

Lời giải:

Gọi $x_0$ là hoành độ tiếp điểm. Ta có: 

$y^{\prime }(x_0)=3\iff 3{x_0}^2=3\iff {x_0}^2=1$ $\iff x_0=\pm 1$.

+) Với $x_0=1$ ta có $y(1)=1$, phương trình tiếp tuyến là $y=3\left(x-1\right)+1=3x-2$

+) Với $x_0=-1$ ta có $y(-1)=-1$, phương trình tiếp tuyến là $y=3\left(x+1\right)-1=3x+2$

Bài 6 trang 156 sgk Đại số và Giải tích 11: Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol $y=\frac{1}{x}$:

a. Tại điểm $(\frac{1}{2};2)$

b. Tại điểm có hoành độ bằng -1; 

c. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng $\frac{–1}{4}$

a.

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm có hoành độ $x=x_0$ là: $y=f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$

Lời giải:

Xét giới hạn:

$\begin{array}{l}\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}}{x-x_0}\\ =\underset{x\to x_0}{lim}\frac{x_0-x}{x.x_0\left(x-x_0\right)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{-1}{x.x_0}=-\frac{1}{x_0^2}\\ \Rightarrow y^{\prime }\left(x_0\right)=-\frac{1}{x_0^2}\end{array}$

Ta có: $y^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=-4$.

Vậy phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm $(\frac{1}{2};2)$ là $y=-4\left(x-\frac{1}{2}\right)+2=-4x+4$

b. 

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm có hoành độ $x=x_0$ là: $y=f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$

Lời giải:

Ta có: $y^{\prime }(-1)=-1,y(-1)=-1$.

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là $-1$ là: $y=-\left(x+1\right)-1=-x-2$.

c.

Phương pháp giải:

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0$ là $f^{\prime }\left(x_0\right)=3$.

Giải phương trình tìm $x_0$, từ đó viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm có hoành độ $x=x_0$.

Lời giải:

Gọi $x_0$ là hoành độ tiếp điểm. Ta có

$y^{\prime }(x_0)=-\frac{1}{4}\iff -\frac{1}{x_0^2}=-\frac{1}{4}$$\iff x_0^2=4\iff x_0=\pm 2$.

Với $x_0=2$ ta có $y(2)=\frac{1}{2}$, phương trình tiếp tuyến là $y=-\frac{1}{4}\left(x-2\right)+\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}x+1$.

Với $x_0=-2$ ta có $y(-2)=-\frac{1}{2}$, phương trình tiếp tuyến là: $y=-\frac{1}{4}\left(x+2\right)-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}x-1$.

Chú ý: Trong các ý a, b, c đều sử dụng cách tính đạo hàm của hàm số tại điểm $x=x_0$ bằng định nghĩa. Sau khi học xong bài 2 thì các em có thể quay lại làm lại bài tập này, việc tính đạo hàm sẽ dễ hơn rất nhiều

Bài 7 trang 157 sgk Đại số và Giải tích 11: Một vật rơi tự do theo phương trình $s=\frac{1}{2}g{t}^2$, trong đó $g\approx 9,8$ m/s2 là gia tốc trọng trường.

a. Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t = 5s) đến $t+∆t$, trong các trường hợp $∆t=0,1s;∆t=0,05s;∆t=0,001s$.

b. Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t =5s

Phương pháp giải:

Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ $t$ đến $t+∆t$ là  $v_{tb}=\frac{s\left(t+\mathrm{\Delta }t\right)-s\left(t\right)}{\mathrm{\Delta }t}$

Lời giải:

a.

Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ $t$ đến $t+∆t$ là 

$\begin{array}{l}{v}_{tb}=\frac{s\left(t+\mathrm{\Delta }t\right)-s\left(t\right)}{\mathrm{\Delta }t}\\ =\frac{\frac{1}{2}g{\left(t+\mathrm{\Delta }t\right)}^2-\frac{1}{2}g{t}^2}{\mathrm{\Delta }t}\\ =\frac{g{t}^2+2gt.\mathrm{\Delta }t+g\mathrm{\Delta }{t}^2-g{t}^2}{2\mathrm{\Delta }t}\\ =\frac{1}{2}g\left(2t+\mathrm{\Delta }t\right)\end{array}$

Với $t=5$ và

+) $∆t=0,1$ thì $v_{tb}\approx 4,9.(10+0,1)\approx 49,49m/s$;

+) $∆t=0,05$ thì $v_{tb}\approx 4,9.(10+0,05)\approx 49,245m/s$;

+) $∆t=0,001$ thì $v_{tb}\approx 4,9.(10+0,001)\approx 49,005m/s$.

b. 

Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm $t=5s$ chính là vận tốc trung bình trong khoảng thời gian $(t;t+\Delta t)$ khi $\Delta t\to 0$ là :

$v_{tt}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{1}{2}g\left(2t+\mathrm{\Delta }t\right)$ $=gt=9,8.5=49\left(m/s\right)$

Lý thuyết Bài Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm 

1. Định nghĩa

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a;b)$, $x_0\in (a;b)$. Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$  khi $x\to x_0$ được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại  $x_0$, kí hiệu là $f^{\prime }(x_0)$ hay $y^{\prime }(x_0)$. Như vậy:

$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$

Nếu đặt $x-x_0=∆x$ và $∆y=f(x_0+∆x)-f(x_0)$ thì ta có

$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$

Đại lượng $∆x$ được gọi là số gia của đối số tại $x_0$ và đại lượng $∆y$ được gọi là số gia tương ứng của hàm số.

2. Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa

Bước 1. Với $∆x$ là số gia của số đối tại $x_0$,tính $∆y=f(x_0+∆x)-f(x_0)$;

Bước 2. Lập tỉ số $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$;

Bước 3. Tính $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$.

Nhận xét: nếu thay $x_0$ bởi $x$ ta có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x\in (a;b)$.

3. Quan hệ giữa tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm

Định lí. Nếu hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại $x_0$ thì nó liên tục tại $x_0$.

Chú ý.

Định lí trên tương đương với khẳng định : Nếu $y=f(x)$ gián đoạn tại $x_0$ thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.

Mệnh đề đảo của định lí không đúng. Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

 Nếu tồn tại, $f^{\prime }(x_0)$ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm $M_0(x_0;f(x_0))$. Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $M_0(x_0;f(x_0))$ là

$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$

5. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

$v(t)=s^{\prime }(t)$ là vận tốc tức thời của chuyển động $s=s(t)$ tại thời điểm $t$.