Giải Toán 11 Bài Ôn tập chương 4

Giải bài tập Toán 11 Bài Ôn tập chương 4

Bài tập (trang 141, 142, 143 sgk Đại số và Giải tích 11)

Bài 1 trang 141 sgk Đại số và Giải tích 11: Hãy lập bảng liệt kê các giới hạn đặc biệt của dãy số và các giới hạn đặc biệt của hàm số.

Lời giải:

Một vài giới hạn đặc biệt của dãy số

Bài 2 trang 141 sgk Đại số và Giải tích 11:Cho hai dãy số (u_n) và (v_n). Biết $\left|u_n–2\right|$$\le v_n$ với mọi n và lim v_n = 0. Có kết luận gì về giới hạn của dãy số (u_n)?

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa dãy số có giới hạn $0$.

Dãy số $(u_n)$ có giới hạn 0 khi $n$ dần tới dương vô cực nếu $|u_n|$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Lời giải:

Vì $lim{v}_n=0$ nên $|v_n|$ nhỏ hơn một số dương $\epsilon$ bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nghĩa là $|v_n|<\epsilon$ kể từ một số hạng nào đó trở đi.

⇒ $|u_n-2|\le v_n\le |v_n|<\epsilon$ hay $|u_n-2|<\epsilon$ bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.

⇒ $lim(u_n-2)=0$ (theo định nghĩa dãy số có giới hạn 0)

⇒ $lim{u}_n=2$.

Cách khác:

Có thể sử dụng định lý giới hạn kẹp như sau:

Với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, ta có: $|u_n–2|\le v_n\iff -v_n\le u_n–2\le v_n$

Mà $lim(-v_n)=lim(v_n)=0$ nên $lim(u_n–2)=0$ $\iff lim{u}_n–lim2=0$ $\iff lim{u}_n=2$.

Bài 3 trang 141 sgk Đại số và Giải tích 11: Tên của một học sinh được mã hóa bởi số 1530. Biết rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị của một trong các biểu thức $A,H,N,O$ với:

$\begin{array}{l}A=lim\frac{3n-1}{n+2}\\ H=lim(\sqrt{n^2+2n}-n)\\ N=lim\frac{\sqrt{n}-2}{3n+7}\\ O=lim\frac{3^n-{5.4}^n}{1-4^n}.\end{array}$

Phương pháp giải:

A: Chia cả tử và mẫu cho $n$.

H: Nhân liên hợp sau đó chia cả tử và mẫu cho $n$.

N: Chia cả tử và mẫu cho $n$.

O: Chia cả tử và mẫu cho $4^n$.

Lời giải:

$\begin{array}{l}A=lim\frac{3n-1}{n+2}=lim\frac{n(3-\frac{1}{n})}{n(1+\frac{2}{n})}\\ =lim\frac{3-\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n}}=\frac{3-lim\frac{1}{n}}{1+lim\frac{2}{n}}=3\\ H=lim(\sqrt{n^2+2n}-n)=lim\frac{(n^2+2n)-n^2}{\sqrt{n^2+2n}+n}\\ =lim\frac{2n}{n\left[\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1\right]}=lim\frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1}\\ =\frac{2}{\sqrt{1+lim\frac{2}{n}}+1}=\frac{2}{\sqrt{1+0}+1}=1\\ N=lim\frac{\sqrt{n}-2}{3n+7}=lim\frac{n(\sqrt{\frac{1}{n}}-\frac{2}{n})}{n(3+\frac{7}{n})}\\ =lim\frac{\sqrt{\frac{1}{n}}-\frac{2}{n}}{3+\frac{7}{n}}=\frac{\sqrt{lim\frac{1}{n}}-lim\frac{2}{n}}{3+lim\frac{7}{n}}\\ =\frac{0-0}{3+0}=0\\ O=lim\frac{3^n-{5.4}^n}{1-4^n}=lim\frac{4^n\left[{(\frac{3}{4})}^n-5\right]}{4^n\left[{(\frac{1}{4})}^n-1\right]}\\ =lim\frac{{(\frac{3}{4})}^n-5}{{(\frac{1}{4})}^n-1}=\frac{lim{\left(\frac{3}{4}\right)}^n-5}{lim{\left(\frac{1}{4}\right)}^n-1}\\ =\frac{0-5}{0-1}=5\end{array}$

Vậy số $1530$ là mã số của chữ $HOAN$.

Bài 4 trang 142 sgk Đại số và Giải tích 11:

a. Có nhận xét gì về công bội của các cấp số nhân lùi vô hạn.

b. Cho ví dụ về cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là số âm và một cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là số dương và tính tổng của mỗi cấp số nhân đó.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa và công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

Lời giải:

a.

Công bội $q$ của cấp số nhân lùi vô hạn phải thoả mãn $|q|<1$

b. 

Ví dụ: cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_1=2$ và công bội là: $q=\frac{-1}{2}$

$2,-1,\frac{1}{2},-\frac{1}{2^2},...$

+ Và tổng là: $S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{2}{1+\frac{1}{2}}=\frac{4}{3}$

+ Cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là $u_1=3$ và công bội là $q=\frac{1}{3}$

$3,1,\frac{1}{3},\frac{1}{3^2},...$

+ Và tổng là: $S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{3}{1-\frac{1}{3}}=\frac{9}{2}$

Bài 5 trang 142 sgk Đại số và Giải tích 11: Tính các giới hạn sau

a. 

b. 

c. 

d. 

e.

f. 

a.

Phương pháp giải:

Hàm số xác định tại $2$ nên $\underset{x\to 2}{lim}f\left(x\right)=f\left(2\right)$

Lời giải:

$\underset{x\to 2}{lim}\frac{x+3}{x^2+x+4}=\frac{2+3}{2^2+2+4}=\frac{1}{2}$

b.

Phương pháp giải:

Phân tích tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.

Lời giải:

$\begin{array}{rl}& \underset{x\to -3}{lim}\frac{x^2+5x+6}{x^2+3x}\\ & =\underset{x\to -3}{lim}\frac{(x+2)(x+3)}{x(x+3)}\\ & =\underset{x\to -3}{lim}\frac{x+2}{x}\\ & =\frac{-3+2}{-3}=\frac{1}{3}\end{array}$

c.

Phương pháp giải:

Đánh giá giới hạn dạng $\frac{L}{0}$

Lời giải:

$\underset{x\to 4^{-}}{lim}\frac{2x-5}{x-4}$

Ta có: $\underset{x\to 4^{-}}{lim}(2x-5)=2.4-5=3>0$

và $\{\begin{array}{c}x-4<0,\mathrm{\forall }x<4\hfill \\ \underset{x\to 4^{-}}{lim}(x-4)=0\hfill \end{array}$

$\Rightarrow \underset{x\to 4^{-}}{lim}\frac{2x-5}{x-4}=-\mathrm{\infty }$

d.

Phương pháp giải:

Đặt $x^3$ làm nhân tử chung.

Lời giải:

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(-x^3+x^2-2x+1)$

$=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^3(-1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^3})$

 

Vì $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^3=+\mathrm{\infty }$ và $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(-1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)=-1<0$ nên

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(-x^3+x^2-2x+1)$$=-\mathrm{\infty }$

e.

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu cho $x$.

Lời giải:

$\begin{array}{rl}& \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+3}{3x-1}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x(1+\frac{3}{x})}{x(3-\frac{1}{x})}\\ & =\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+\frac{3}{x}}{3-\frac{1}{x}}\\ & =\frac{1+\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3}{x}}{-3-\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}}\\ & =\frac{1+0}{-3-0}=\frac{1}{3}\end{array}$

f.

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu cho $x$.

Lời giải:

$\begin{array}{rl}& \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{x^2-2x+4}-x}{3x-1}\\ & =\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{x^2\left(1-\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}\right)}-x}{3x-1}\\ & =\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{|x|\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}}-x}{3x-1}\\ & =\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-x\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}}-x}{x(3-\frac{1}{x})}\\ & =\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x\left[-\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}}-1\right]}{x\left(3-\frac{1}{x}\right)}\\ & =\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}}-1}{3-\frac{1}{x}}\\ & =\frac{-\sqrt{1-0+0}-1}{3-0}=\frac{-2}{3}\end{array}$

Bài 6 trang 142 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho hai hàm số$f(x)=\frac{1-x^2}{x^2}$và$g(x)=\frac{x^3+x^2+1}{x^2}$

a. Tính $\underset{x\to 0}{lim}f(x);\underset{x\to 0}{lim}g(x);\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x);\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}g(x)$

b. Hai đường cong sau đây (h.60) là đồ thị của hai hàm số đã cho. Từ kết quả câu a), hãy xác định xem đường cong nào là đồ thị của mỗi hàm số đó.

Phương pháp giải:

+) Tính giới hạn khi $x$ tiến đến 0: Đánh giá giới hạn $\frac{L}{0}$

+) Tính giới hạn khi $x$ tiến ra vô cùng: Chia cả tử và mẫu cho $x$ mũ bậc cao nhất của cả tử và mẫu.

Lời giải:

a.

+)  $\underset{x\to 0}{lim}f(x)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-x^2}{x^2}=+\mathrm{\infty }$

Vì: $\underset{x\to 0}{lim}(1-x^2)=1>0,$

     $\underset{x\to 0}{lim}{x}^2=0;x^2>0,\mathrm{\forall }x\ne 0$

+)  $\underset{x\to 0}{lim}g(x)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^3+x^2+1}{x^2}=+\mathrm{\infty }$

Vì: $\underset{x\to 0}{lim}(x^3+x^2+1)=1>0,\underset{x\to 0}{lim}{x}^2=0,x^2>0,$ $\mathrm{\forall }x\ne 0$

$\begin{array}{rl}& \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1-x^2}{x^2}\\ & =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2(\frac{1}{x^2}-1)}{x^2}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{x^2}-1)=-1\end{array}$ 

$\begin{array}{rl}& \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}g(x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^3+x^2+1}{x^2}\\ & =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^3(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3})}{x^3(\frac{1}{x})}\\ & =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}}{\frac{1}{x}}=+\mathrm{\infty }\end{array}$

b.

Gọi $(C_1)$ và $(C_2)$ lần lượt là hai đồ thị của hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$

+)  Vì $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=-1$ nên $(C_1)$ có nhánh vô tận tiến gần đến đường thẳng $y=-1$ $khix\to \infty$

+)  Vì $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}g(x)=+\mathrm{\infty }$ $(C_2)$ có nhánh vô tận đi lên khi $x\to +\infty$

Dựa vào đặc điểm của $(C_1)$ và $(C_2)$  như trên ta có$(C_1)$  là đồ thị b và $(C_2)$  là đồ thị a.

Bài 7 trang 143 sgk Đại số và Giải tích 11: Xét tính liên tục trên R của hàm số: $g \left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2 – x – 2}{x – 2} khi x>2\\ 5 – x khi x\le 2\end{array}\right.$

Phương pháp giải:

Hàm đa thức và hàm phân thức liên tục trên từng khoảng xác định của nó.

Xét tính liên tục của hàm số tại $x=2$. 

Hàm số liên tục tại $x=2$ $\iff \underset{x\to 2^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{lim}f\left(x\right)=f\left(2\right)$

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{rl}& \underset{x\to 2^{+}}{lim}g(x)=\underset{x\to 2^{+}}{lim}\frac{x^2-x-2}{x-2}\\ & =\underset{x\to 2^{+}}{lim}\frac{(x-2)(x+1)}{x-2}\\ & =\underset{x\to 2^{+}}{lim}(x+1)=3(1)\end{array}$

$\underset{x\to 2^{-}}{lim}g(x)=\underset{x\to 2^{-}}{lim}(5-x)=3(2)$

$g(2)=5–2=3(3)$

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $\underset{x\to 2}{lim}g(x)=g(2)$.

Do đó hàm số $y=g(x)$ liên tục tại $x_0=2$

 Mặt khác trên $(-\infty ,2)$, $g(x)$ là hàm đa thức và trên $(2,+\infty )$, $g(x)$ là hàm số phân thức hữu tỉ xác định trên $(2,+\infty )$ nên hàm số $g(x)$ liên tục trên hai khoảng $(-\infty ,2)$ và $(2,+\infty )$

Vậy hàm số $y=g(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Bài 8 trang 143 sgk Đại số và Giải tích 11: Chứng minh rằng phương trình $x^5–3x^4+5x–2=0$ có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng (-2,5).

Phương pháp giải:

– Hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\left[a;b\right]$ và có $f\left(a\right).f\left(b\right)<0$. Khi đó phương trình $f\left(x\right)=0$ có ít nhất 1 nghiệm $x_0\in \left(a;b\right)$.

– Xét hàm số $f(x)=x^5–3x^4+5x–2$

– Thay một số giá trị của $x$ (trong khoảng $(-2;5)$ vào $f(x)$ và tính giá trị.

– Sử dụng lý thuyết trên đánh giá số nghiệm ít nhất của phương trình trong khoảng $(-2;5)$.

Lời giải:

Đặt $f(x)=x^5–3x^4+5x–2$, ta có:

+) Hàm số $f(x)$ là hàm số đa thức liên tục trên $\mathbb{R}$.

$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{c}f(0)=-2<0\hfill \\ f(1)=1-3+5-2=1>0\hfill \\ f(2)=2^5-{3.2}^4+5.2-2=-8<0\hfill \\ f(3)=3^5-{3.3}^4+5.3-2=13>0\hfill \end{array}\\ & \Rightarrow \{\begin{array}{c}f(0).f(1)<0(1)\hfill \\ f(1).f(2)<0(2)\hfill \\ f(2).f(3)<0(3)\hfill \end{array}\end{array}$

Do đó $f(x)$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $(0,1)$, một nghiệm trên khoảng $(1,2)$, một nghiệm trên khoảng $(2,3)$.

Mà các khoảng $\left(0;1\right)$, $\left(1;2\right)$ và $\left(2;3\right)$ đôi một không có điểm chung.

Vậy phương trình $x^5–3x^4+5x–2=0$ có ít nhất ba nghiệm trên khoảng $(-2,5)$ (đpcm)

Bài 9 trang 143 sgk Đại số và Giải tích 11: Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A. Một dãy số có giới hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn luôn giảm

B. Nếu $(u_n)$ là dãy số tăng thì $lim{u}_n=+\infty$

C. Nếu $lim{u}_n=+\infty$ và  $lim{v}_n=+\infty$ thì $lim(u_n–v_n)=0$

D. Nếu $u_n=a^n$ và $-1<a<0$ thì $lim{u}_n=0$

Phương pháp giải:  

Xét tính đúng sai của từng đáp án.

Lời giải:

+) Câu A sai

“Một dãy số có giới hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn giảm” là mệnh đề sai.

Xét phần ví dụ sau:

Dãy số: $u_n=\frac{{(-1)}^n}{n}$ có $lim\frac{{(-1)}^n}{n}=0$

Ta có: $u_1=-1<u_2=\frac{1}{2},u_2=\frac{1}{2}>u_3=-\frac{1}{3}$

$\Rightarrow$ Dãy số $u_n$ không tăng cũng không giảm.

+) Câu B sai

“Nếu $(u_n)$ là dãy số tăng thì $lim(u_n)=+\infty$” là mệnh đề sai, chẳng hạn: Dãy số $(u_n)$ với $u_n=1-\frac{1}{n}$

Xét hiệu: $u_{n+1}-u_n=(1-\frac{1}{n+1})-(1-\frac{1}{n})$ $=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ $=\frac{1}{n(n+1)}>0$

$\Rightarrow (u_n)$ là dãy số tăng.

 ${\mathrm{limu}}_n=lim(1-\frac{1}{n})=1$

+) Câu C sai, xem phần ví dụ sau:

Hai dãy số $u_n=\frac{n^2}{n+2},v_n=n+1$

+ ${lim\mathrm{u}}_n=lim\frac{n^2}{n+2}=lim\frac{n^2}{n^2(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})}$ $=lim\frac{1}{\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}=+\mathrm{\infty }$

+ $lim{v}_n=lim(n+1)=+\mathrm{\infty }$

+ Nhưng :

$\begin{array}{rl}& lim(u_n-v_n)=lim\left[\frac{n^2}{n+2}-(n+1)\right]\\ & =lim\frac{-3n-2}{n+2}=lim\frac{n(-3-\frac{2}{n})}{n(1+\frac{2}{n})}\\ & =lim\frac{-3-\frac{2}{n}}{1+\frac{2}{n}}=-3\ne 0\end{array}$

+) Câu D đúng vì $lim{q}^n=0$ khi $|q|<1$. Do đó: $-1<a<0$ thì $lim{a}^n=0$

Chọn đáp án D.

Bài 10 trang 143 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n=\frac{1+2+3+...+n}{n^2+1}$

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $lim{u}_n=0$

B. ${\mathrm{limu}}_n=\frac{1}{2}$

C. $lim{u}_n=1$

D. Dãy $(u_n)$ không có giới hạn khi $n\to -\infty$

Phương pháp giải:

$1+2+3+...+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}$

Lời giải:

Vì $1+2+3+....+n=\frac{n(n+1)}{2}$

Nên: $u_n=\frac{n(n+1)}{2(n^2+1)}$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow lim{u}_n=lim\frac{n(n+1)}{2(n^2+1)}=lim\frac{n^2(1+\frac{1}{n})}{n^2(2+\frac{2}{n^2})}\\ & =lim\frac{1+\frac{1}{n}}{2+\frac{2}{n^2}}=\frac{1}{2}\end{array}$

Chọn đáp án B.

Bài 11 trang 143 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho dãy số $(u_n)$ với : $u_n=\sqrt{2}+(\sqrt{2}{)}^2+......+(\sqrt{2}{)}^n$

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. $lim{u}_n=\sqrt{2}+(\sqrt{2}{)}^2+...+(\sqrt{2}{)}^n+...$ $=\frac{\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}$

B. $lim{u}_n=-\infty$

C. $lim{u}_n=+\infty$

D. Dãy số $(u_n)$ không có giới hạn khi $n\to +\infty$

Phương pháp giải:

Tổng $n$ số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu là $u_1$ và công bội $q$ là: $\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$

Lời giải:

+ Ta có $(u_n)$ là tổng $n$ số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu là $u_1=\sqrt{2}$ và công bội $q=\sqrt{2}$ nên:

$\begin{array}{rl}& u_n=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{\sqrt{2}\left[1-{(\sqrt{2})}^n\right]}{1-\sqrt{2}}\\ & =\frac{\sqrt{2}\left[{(\sqrt{2})}^n-1\right]}{\sqrt{2}-1}\\ & \Rightarrow lim{u}_n=lim\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}.\left[{(\sqrt{2})}^n-1\right]\end{array}$

Vì $\sqrt{2}>1$ nên $lim[(\sqrt{2}{)}^n-1]=+\infty ;\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}>1$;

  $\Rightarrow lim{u}_n=+\infty$

Chọn đáp án C.

Chú ý:

Đây không phải cấp số nhân lùi vô hạn nên không áp dụng công thức A được.

Bài 12 trang 143 sgk Đại số và Giải tích 11:  $\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{-3x-1}{x-1}$ bằng:

A. $-1$                                B. $-\infty$

C. $-3$                                D. $+\infty$

Phương pháp giải:

Đánh giá giới hạn $\frac{L}{0}$

Lời giải:

Ta có: $\underset{x\to 1^{-}}{lim}(-3x-1)=-4<0$

$\{\begin{array}{c}x-1<0,\mathrm{\forall }x<1\hfill \\ \underset{x\to 1^{-}}{lim}(x-1)=0\hfill \end{array}\Rightarrow lim\frac{-3x-1}{x-1}=+\mathrm{\infty }$

Chọn đáp án D.

Bài 13 trang 143 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho hàm số: $f(x)=\frac{1-x^2}{x}$.

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)$ bằng:

A. $+\infty$                                  B. $1$

C. $-\infty$                                  D. $-1$

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu của hàm số cho lũy thừa bậc cao nhất của $x$ và tính giới hạn.

Lời giải:

Ta có:

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1-x^2}{x}=lim\frac{x^2(\frac{1}{x^2}-1)}{x^2.\frac{1}{x}}=lim\frac{\frac{1}{x^2}-1}{\frac{1}{x}}$

 Vì $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left[\frac{1}{x^2}-1\right]=-1<0$                       (1)

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}=0,x\to -\mathrm{\infty }\Rightarrow \frac{1}{x}<0$              (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\infty$    

Chọn đáp án A.

Bài 14 trang 143 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho hàm số: 

$f(x)=\{\begin{array}{c}\frac{3-x}{\sqrt{x+1}-2}\text{ nếu }x\ne 3\hfill \\ m\text{ nếu }x=3\hfill \end{array}$

Hàm số đã cho liên tục  tại $x=3$ khi $m$ bằng:

A. $4$                    B. $-1$

C. $1$                    D. $-4$

Phương pháp giải:

Hàm số liên tục tại $x=3$ khi và chỉ khi $\underset{x\to 3}{lim}f\left(x\right)=f\left(3\right)$

Lời giải:

Ta có:

+) $f(3)=m$

+) $\underset{x\to 3}{lim}f(x)$ $=\underset{x\to 3}{lim}\frac{3-x}{\sqrt{x+1}-2}$$=\underset{x\to 3}{lim}\frac{\left(3-x\right)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}{x+1-4}$ $=\underset{x\to 3}{lim}\frac{(3-x)(\sqrt{x+1}+2)}{-(3-x)}$ $=\underset{x\to 3}{lim}\frac{\sqrt{x+1}+2}{-1}$ $=\frac{\sqrt{3+1}+2}{-1}$ $=-4$

Hàm số $y=f(x)$ liên tục tại $x=3$$\iff \underset{x\to 3}{lim}f(x)=f(3)\iff m=-4$

Chọn đáp án D.

Bài 15 trang 143 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho phương trình: $-4x^3+4x–1=0$(1)

Mệnh đề sai là:

A. Hàm số $f(x)=-4x^3+4x–1$ liên tục trên $\mathbb{R}$

B. Phương trình (1) không có nghiệm trên khoảng $(-\infty ,1)$

C. Phương trình (1) có nghiệm trên khoảng $(-2,0)$

D. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trên khoảng $(-3,\frac{1}{2})$

Phương pháp giải:

Hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\left(a;b\right)$ và có $f\left(a\right).f\left(b\right)<0$. Khi đó phương trình $f\left(x\right)=0$ có ít nhất 1 nghiệm $x_0\in \left(a;b\right)$

Lời giải:

Mệnh đề A đúng vì $f(x)$ là hàm số đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$.

Mệnh đề B sai vì:

+ Xét hàm số $f(x)=-4x^3+4x–1$, ta có $f(1)=-1;f(-2)=23\Rightarrow f(1).f(-2)=-23<0$

+ Ta lại có hàm số $f(x)$ liên tục trên $(-2,1)$ nên phương trình có ít nhất một  nghiệm $x_0\in (-2,1)$

Do đó, phương trình $-4x^3+4x–1=0$ có nghiệm trên $(-\infty ,1)$

Mệnh đề C đúng vì:

$f\left(0\right)=-1,f\left(-2\right)=23$ $\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(0\right)=-23<0$

nên phương trình $f(x)=0$ có nghiệm thuộc khoảng $(-2;0)$.

Mệnh đề D đúng vì:

$f\left(\frac{1}{2}\right)=-4.{\left(\frac{1}{2}\right)}^3+4.\frac{1}{2}-1=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow f\left(0\right).f\left(\frac{1}{2}\right)=\left(-1\right).\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}<0$ nên phương trình $f(x)=0$ có nghiệm ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $\left(0;\frac{1}{2}\right)$

Mà pt $f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(-2;0)$ nên $f(x)=0$ có ít nhất 2 nghiệm thuộc $\left(-2;\frac{1}{2}\right)\subset \left(-3;\frac{1}{2}\right)$.

Chọn đáp án B.