Chuyên đề Hàm số liên tục
Phần 1: Cách xét tính liên tục của hàm số cực hay
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
– Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D và điểm x0 ∈ D. Để xét tính liên tục của hàm số trên tại điểm x = x0 ta làm như sau:
+ Tìm giới hạn của hàm số y = f(x) khi x → x0 và tính f(x0)
+ Nếu tồn tại 
thì ta so sánh
với f(x0).
Nếu = f(x0) thì hàm số liên tục tại x0
Chú ý:
1. Nếu hàm số liên tục tại x0 thì trước hết hàm số phải xác định tại điểm đó.
2.
3. Hàm số 
liên tục tại x = x0 ⇔ = k
4. Hàm số 
liên tục tại điểm x = x0 khi và chỉ khi 
Vấn đề 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một tập
Ta sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ …
Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của các khoảng đó.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số sau tại x = 3
Hướng dẫn:
1. Hàm số xác định trên R
Ta có f(3) = 10/3 và
Vậy hàm số không liên tục tại x = 3
2. Ta có f(3) = 4 và
Vậy hàm số gián đoạn tại x = 3
Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên toàn trục số
1. f(x) = tan2x + cosx
Hướng dẫn:
1. TXĐ: 
Vậy hàm số liên tục trên D
2. Điều kiện xác định:
Vậy hàm số liên tục trên (1;2) ∪ (2,+∞)
Bài 3: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm chỉ ra
Hướng dẫn:
Ta có
Vậy hàm số liên tục tại x = 1
Bài 4: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm chỉ ra
Hướng dẫn:
Vậy hàm số không liên tục tại điểm x = -1
Bài 5: Chọn giá trị f(0) để các hàm số sau liên tục tại điểm x = 0
Hướng dẫn:
Bài 6: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra
Hướng dẫn:
Ta có:
Vậy hàm số gián đoạn tại x = -1
Bài 7: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra
Hướng dẫn:
Ta có
Vậy hàm số liên tục tại x = 1
Phần 2: Cách tìm m để hàm số liên tục cực hay
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Ta sử dụng điều kiện để hàm số liên tục và điều kiện để phương trình có nghiệm để làm các bài toán dạng này.
– Điệu kiện để hàm số liên tục tại x0:
– Điều kiện để hàm số liên tục trên một tập D là f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc D.
– Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên D nếu hàm số y = f(x) liên tục trên D và có hai số a, b thuộc D sao cho f(a).f(b) < 0.
Phương trình f(x) = 0 có k nghiệm trên D nếu hàm số y = f(x) liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau (ai ; ai+1) (i = 1,2,…,k) nằm trong D sao cho f(ai).f(ai+1) < 0.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Xác định a để hàm số 
liên tục trên R.
Hướng dẫn:
Hàm số xác định trên R
Với x < 2 ⇒ hàm số liên tục
Với x > 2 ⇒ hàm số liên tục
Với x = 2 ta có
Hàm số liên tục trên R ⇔ hàm số liên tục tại x = 2
Vậy a = -1, a = 0.5 là những giá trị cần tìm.
Bài 2: Cho hàm số f(x) = x3 – 1000x2 + 0,01 . phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây ?
I. (–1; 0) II. (0; 1) III. (1; 2)
Hướng dẫn:
Ta có hàm số y = f(x) = x3 – 1000x2 + 0,01 là hàm liên tục trên R
f(0) = 0.01 và f(-1) = – 1001 + 0.01 < 0. Nên f(0).(-1) < 0.
Vậy hàm số có nghiệm trong khoảng I
Bài 3: Tìm m để các hàm số sau liên tục trên R
Hướng dẫn:
Với x < 0 ⇒ hàm số liên tục
Với x > 0 ⇒ hàm số liên tục
Với x = 0 ta có
Hàm số liên tục trên R ⇔ hàm số liên tục tại x = 0
Bài 4: Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm :
x7 + 3x5 – 1 = 0
Hướng dẫn:
Ta có hàm số f(x) = x7 + 3x5 – 1 liên tục trên R và f(0).f(1) = – 3 < 0
Suy ra phương trinh f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0,1).
Bài 5: Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm :
x2sinx + xcosx + 1 = 0
Hướng dẫn:
Ta có hàm số f(x) = x2sinx + xcosx + 1 liên tục trên R và f(0).f(π) = -π < 0. Suy ra phương trinh f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0 ; π).
Bài 6: Xác định a, b để các hàm số sau liên tục trên R
Hướng dẫn:
Ta có hàm số đã cho liên tục trên R\{π/2} do các hàm y = sinx và y = ax + b lên tục trên R.
Ta chỉ cần xét tính liên tục của hàm số tại x = π/2.
Vậy a, b là số thực thỏa mãn phương trình 
thì hàm số đã cho liên tục trên R.
Bài 7: Tìm m để các hàm số sau liên tục trên R
Hướng dẫn:
Hàm số xác định trên R
Với x < 2 ⇒ hàm số liên tục
Với x > 2 ⇒ hàm số liên tục
Với x = 2 ta có
⇔ m = 3
Vậy m = 3 là giá trị cần tìm
Bài 8: Xác định a,b để các hàm số sau liên tục trên R
Hướng dẫn:
Với x ≠ 2 và x ≠ 0 hàm số liên tục.
Để hàm số đã cho liên tục trên R thì hàm số phải liên tục tại x = 2 và x = 0
Vậy a = 1 và b = -1 thì hàm số liên tục trên R
Xem thêm