Giải Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Giải bài tập Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời hoạt động 1 trang 112 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{1}{n}$

Biểu diễn $(u_{n})$ dưới dạng khai triển:

$1, \frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{1}{4}; \frac{1}{5}; . . . . .; \frac{1}{100}$

Biểu diễn $(u_{n})$ trên trục số (h.46)

a. Nhận xét xem khoảng cách từ u_n tới 0 thay đổi như thế nào khi n trở nên rất lớn.
b. Bắt đầu từ số hạng u_n nào của dãy số thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,01? 0,001?

Phương pháp giải:

Quan sát và nhận xét.

Lời giải:
Khoảng cách từ u_n tới 0 trở nên rất nhỏ (gần bằng 0) khi n trở nên rất lớn
b.
Phương pháp giải:
Cho $\frac{1}{n}$ < 0,01và $\frac{1}{n}$ < 0,001 tìm điều kiện của n.

Lời giải:

Ta có: $\frac{1}{n} < 0, 01 \Leftrightarrow \frac{1}{n} < \frac{1}{100}$ $\Leftrightarrow n > 100$ .

Do đó từ số hạng thứ $101$ thì khoảng cách từ $u_{n}$ đến $0$ đều nhỏ hơn $0, 01$ .

$\frac{1}{n} < 0, 001 \Leftrightarrow \frac{1}{n} < \frac{1}{1000}$ $\Leftrightarrow n > 1000$ .

Do đó từ số hạng thứ $1001$ thì khoảng cách từ $u_{n}$ đến $0$ đều nhỏ hơn $0, 001$

Trả lời hoạt động 2 trang 117 sgk Đại số và Giải tích 11: Có nhiều tờ giấy chồng nhau, mỗi tờ có bề dày là 0,1 mm. Ta xếp chồng liên tiếp tờ này lên tờ khác (h.48). Giả sử có thể thực hiện việc xếp giấy như vậy một cách vô hạn.

Gọi $u_{1}$ là bề dày của một tờ giấy, $u_{2}$ là bề dày của một xếp giấy gồm hai tờ, $u_{3}$ là bề dày của một xếp giấy gồm ba tờ, …, $u_{n}$ là bề dày của một xếp giấy gồm n tờ. Tiếp tục như vậy ta được dãy số vô hạn $u_{n}$ .

Bảng sau đây cho biết bề dày (tính theo mm) của một số chồng giấy

a. Quan sát bảng trên và nhận xét về giá trị của un khi n tăng lên vô hạn

b. Với n như thế nào thì ta đạt được những chồng giấy có về dày lớn hơn khoảng cách từ Trái Đất tới Mặt Trăng? (Cho biết khoảng cách này ở một thời điểm xác định là 384000 km haymm)

Lời giải:

Giá trị của un rất lớn khi n tăng lên vô hạn

Ta có: $u_{n} > {384.10}^{9}$ $\Leftrightarrow \frac{n}{10} > {384.10}^{9}$ $\Leftrightarrow n > {384.10}^{10}$ .

Vậy cần $n > {384.10}^{10}$ tờ giấy để đạt được những chồng giấy có về dày lớn hơn khoảng cách từ Trái Đất tới Mặt Trăng.
Bài tập (trang 121, 122 sgk Đại số và Giải tích 11)

Bài 1 trang 121 sgk Đại số và Giải tích 11: Có $1 k g$ chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian $T = 24000$ năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người ( $T$ được gọi là chu kì bán rã).

Gọi $(u_{n})$ là khối lượng chất phóng xạ còn sót lại sau chu kì thứ $n$

a. Tìm số hạng tổng quát u_n của dãy số (u_n).
b. Chứng minh rằng (u_n) có giới hạn là 0.
c. Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 10^-6g.

a.
Phương pháp giải:

Tính u₁, u₂, u₃,.. từ quy luật đó dự đoán công thức của u_n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải:

Ta có:

+) Sau chu kì thứ nhất, lượng chất phóng xạ còn $\frac{1}{2}$ .

+) Sau chu kì thứ hai, lượng chất phóng xạ còn $\frac{1}{4} = \frac{1}{2^{2}}$ .

+) Sau chu kì thứ ba, lượng chất phóng xạ còn $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^{3}}$ .

Do đó $u_{1} = \frac{1}{2}$ ; $u_{2} = \frac{1}{2^{2}}$ ; $u_{3} = \frac{1}{2^{3}}$ ;….

Từ đó ta dự đoán công thức $u_{n} = \frac{1}{2^{n}}$ $\forall n \geq 1$ .

Điều này chứng minh đơn giản bằng quy nạp.

Hiển nhiên công thức trên đúng với $n = 1$ .

Giả sử công thức đúng với mọi $k \geq 1$ , tức là có $u_{k} = \frac{1}{2^{k}}$ , ta chứng minh công thức đó đúng với mọi $n = k + 1$ , tức là cần chứng minh: $u_{k + 1} = \frac{1}{2^{k + 1}}$ .

Ta có $u_{k + 1} = \frac{u_{k}}{2} = \frac{1}{2^{k}} : 2 = \frac{1}{2^{k}} . \frac{1}{2} = \frac{1}{2^{k + 1}}$

Vậy $u_{n} = \frac{1}{2^{n}} \forall n \in N^{*}$ .

b.
Phương pháp giải:

Tính $lim u_{n}$ .

Lời giải:

$lim u_{n} = lim {(\frac{1}{2})}^{n} = 0$ .

c.
Phương pháp giải:

Chất phóng xạ sẽ không còn độc hại nếu $u_{n} < 10^{- 6};$ tìm n.

Lời giải:

Đổi $10^{- 6} g = \frac{1}{10^{6}} . \frac{1}{10^{3}} k g = \frac{1}{10^{9}} k g$ .

Để chất phóng xạ sẽ không còn độc hại, ta cần tìm n để $u_{n} = \frac{1}{2^{n}} < \frac{1}{10^{9}} \Leftrightarrow 2^{n} > 10^{9} \Leftrightarrow n \geq 30$

Nói cách khác, sau chu kì thứ $30$ (nghĩa là sau $30.24000 = 720000$ (năm)), chúng ta không còn lo lắng về sự độc hại của khối lượng chất phóng xạ còn lại.

Bài 2 trang 121 sgk Đại số và Giải tích 11: Biết dãy số (u_n) thỏa mãn $|u_{n} - 1| < \frac{1}{n^{3}}$ với mọi n. Chứng minh rằng $l i m u_{n} = 1$ .

Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa giới hạn 0
Lời giải:

Vì $lim \frac{1}{n^{3}} = 0$ nên theo định nghĩa thì

$\frac{1}{n^{3}}$ luôn nhỏ hơn một số dương $A$ bé tùy ý, kể từ một số hạng $N_{0}$ nào đó trở đi.

( $\frac{1}{n^{3}} < A \Leftrightarrow n^{3} > \frac{1}{A} \Rightarrow n > \sqrt[3]{\frac{1}{A}}$ . Chọn $N_{0} = [\sqrt[3]{\frac{1}{A}}] + 1$ , tức là từ số hạng thứ $n$ mà $n > N_{0}$ thì $\frac{1}{n^{3}}$ luôn nhỏ hơn $A$ )

Mà $| u_{n} - 1 | < \frac{1}{n^{3}}$ nên $| u_{n} - 1 | < A$ với mọi $n > N_{0} = [\sqrt[3]{\frac{1}{A}}] + 1$

Theo định nghĩa dãy số có giới hạn $0$ thì $lim (u_{n} - 1) = 0$

$\Rightarrow lim u_{n} = 1$ . (đpcm)

Cách khác:

Các em có thể sử dụng định lý sau:

Cho hai dãy số $(u_{n})$ và $(v_{n})$ . Nếu có $| u_{n} | \leq v_{n}$ và $lim v_{n} = 0$ thì $lim u_{n} = 0$ .

Cụ thể:

Vì $| u_{n} - 1 | < \frac{1}{n^{3}}$ và $lim \frac{1}{n^{3}} = 0$ nên $lim (u_{n} - 1) = 0 \Leftrightarrow lim u_{n} = 1$ .

Bài 3 trang 121 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm giới hạn sau:
a. lim $\frac{6 n - 1}{3 n + 2}$
b. lim $\frac{3 n^{2} + n - 5}{2 n^{2} + 1}$
c. lim $\frac{3^{n} + 5 . 4^{n}}{4^{n} + 2^{n}}$
d. lim $\frac{\sqrt{9 n^{2} - n + 1}}{4 n - 2}$
a.
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của n.

Lời giải:

Đặt $I = lim \frac{6 n - 1}{3 n + 2}$ $= lim \frac{n (6 - \frac{1}{n})}{n (3 + \frac{2}{n})}$ $= lim \frac{6 - \frac{1}{n}}{3 + \frac{2}{n}}$

Vì khi $n \to \infty$ thì $lim (\frac{1}{n}) = 0$ nên $lim (6 - \frac{1}{n}) = 6$ và $lim (3 + \frac{2}{n}) = 3$

Do đó $I = \frac{lim (6 - \frac{1}{n})}{lim (3 + \frac{2}{n})}$ $= \frac{6}{3} = 2$

b.
Lời giải:

Đặt $I = lim \frac{3 n^{2} + n - 5}{2 n^{2} + 1}$ $= lim \frac{n^{2} (3 + \frac{1}{n} - \frac{5}{n^{2}})}{n^{2} (2 + \frac{1}{n^{2}})}$ $= lim \frac{3 + \frac{1}{n} - \frac{5}{n^{2}}}{2 + \frac{1}{n^{2}}}$

Vì khi $n \to \infty$ thì $lim (\frac{1}{n}) = 0$ nên $= lim (3 + \frac{1}{n} - \frac{5}{n^{2}}) = 3$ và $lim (2 + \frac{1}{n^{2}}) = 2$

Do đó $I = \frac{3}{2}$

c.
Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu cho $4^{n}$ và sử dụng giới hạn $lim q^{n} = 0 (| q | < 1)$

Lời giải:

Chia cả tử và mẫu của phân thức cho $4^{n}$ ta được:

$lim \frac{3^{n} + {5.4}^{n}}{4^{n} + 2^{n}}$ $= lim \frac{{(\frac{3}{4})}^{n} + 5}{1 + {(\frac{1}{2})}^{n}}$ $= \frac{0 + 5}{1 + 0} = \frac{5}{1}$ $= 5$ .

Lời giải:

Bài 4 trang 122 sgk Đại số và Giải tích 11: Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình vuông cạnh bằng 1. Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh dấu 1,2,3,…,n,… trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó (h.51)

Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể tiến ra vô hạn.
a. Gọi u_n là diện tích của hình vuông màu xám thứ n. Tính u₁, u₂, u₃ và u_n.
b. Tính lim S_n với S_n = u₁ + u₂ + u₃ +….+ u_n
a.

Phương pháp giải:

Tính diện tích của hình vuông $S = a^{2}$ với $a$ là cạnh của hình vuông.

Lời giải:

Do hình vuông lớn có cạnh bằng 1, hình vuông màu xám thứ nhất có cạnh bằng một nửa cạnh hình vuông lớn nên:

Hình vuông thứ nhất có cạnh bằng $\frac{1}{2}$ nên $u_{1} = {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4^{1}}$ .

Hình vuông thứ hai có cạnh bằng $\frac{1}{4}$ nên $u_{2} = {(\frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{4^{2}}$ .

Hình vuông thứ ba có cạnh bằng $\frac{1}{8}$ nên $u_{3} = {(\frac{1}{8})}^{2} = \frac{1}{4^{3}}$

Tương tự, ta có $u_{n} = \frac{1}{4^{n}}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $S = \frac{u_{1}}{1 - q} (| q | < 1)$ .

Lời giải:

Dãy số $(u_{n})$ là một cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1} = \frac{1}{4}$ và $q = \frac{1}{4}$ . Do đó

$lim S_{n} = \frac{u_{1}}{1 - q} = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{3}$ .

Bài 5 trang 122 sgk Đại số và Giải tích 11: Tính tổng $S = - 1 + \frac{1}{10} - \frac{1}{10^{2}} + . . . . . + \frac{{(- 1)}^{n}}{10^{n - 1}} + . . . .$

Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $S = \frac{u_{1}}{1 - q} (|q| < 1)$ .

Lời giải:

Các số hạng của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1} = - 1$ và $q = - \frac{1}{10}$

Vậy $S = - 1 + \frac{1}{10} - \frac{1}{10^{2}} + . . . + \frac{(- 1)^{n}}{10^{n - 1}} + . . .$ $= \frac{u_{1}}{1 - q}$ $= \frac{- 1}{1 - (- \frac{1}{10})} = \frac{- 10}{11}$ .

Bài 6 trang 122 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 1,0202020….(chu kì là 02). Hãy viết a dưới dạng một phân số.

Phương pháp giải:

Viết số thập phân dưới dạng tổng của các phân số và sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

Lời giải:

Ta có $a = 1, 0202020 . . .$ $= 1 + 0, 02 + 0, 0002 + 0, 000002 + . . . . .$

$= 1 + \frac{2}{100} + \frac{2}{100^{2}} + . . . + \frac{2}{100^{n}} + . . .$

Vì $\frac{2}{100}$ , $\frac{2}{100^{2}}$ ,…, $\frac{2}{100^{n}}$ ,… là một cấp số nhân lùi vô hạn có: $u_{1} = \frac{2}{100}$ , q = $\frac{1}{100}$ .

$\Rightarrow a = 1 + \frac{\frac{2}{100}}{1 - \frac{1}{100}} = 1 + \frac{2}{99} = \frac{101}{99} .$

Bài 7 trang 122 sgk Đại số và Giải tích 11: Tính các giới hạn sau:
a. lim (n³+2n²-n+1)
b. lim (-n²+5n-2)
c. lim ( $\sqrt{n^{2} - n} - n)$
d. lim ( $\sqrt{n^{2} - n} + n)$
a.

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí 2c trang 119 SGK:

Nếu $lim u_{n} = + \infty$ và $lim v_{n} = a > 0$ thì $lim (u_{n} . v_{n}) = + \infty$ .

Lời giải:

$\begin{array}{l} lim (n^{3} + 2 n^{2} - n + 1) \\ = lim n^{3} (1 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}}) \end{array}$

Vì $lim n^{3} = + \infty$ và

$lim (1 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}})$

$= 1 + lim \frac{2}{n} - lim \frac{1}{n^{2}} + lim \frac{1}{n^{3}}$

$= 1 > 0$

$\Rightarrow lim (n^{3} + 2 n^{2} - n + 1) = + \infty$

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ quả suy ra từ định lí 2c trang 119 SGK:

Nếu $lim u_{n} = + \infty$ và $lim v_{n} = a < 0$ thì $lim (u_{n} . v_{n}) = - \infty$ .

Lời giải:

$\begin{array}{l} lim (- n^{2} + 5 n - 2) \\ = lim n^{2} (- 1 + \frac{5}{n} - \frac{2}{n^{2}}) \end{array}$

Vì $lim n^{2} = + \infty$ và
$lim (- 1 + \frac{5}{n} - \frac{2}{n^{2}})$

$= - 1 + lim \frac{5}{n} - lim \frac{2}{n^{2}}$

$= - 1 < 0$
$\Rightarrow lim (- n^{2} + 5 n - 2) = - \infty$

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí 1 trang 114 SGK:

Nếu $lim u_{n} = a$ và $lim v_{n} = b$ , thì:

$l i m \frac{u_{n}}{v_{n}} = \frac{a}{b}$ (nếu $b \neq 0$ ).

Lời giải:

$lim (\sqrt{n^{2} - n} - n)$ $= lim \frac{(\sqrt{n^{2} - n} - n) (\sqrt{n^{2} - n} + n)}{\sqrt{n^{2} - n} + n}$
$= lim \frac{n^{2} - n - n^{2}}{\sqrt{n^{2} - n} + n}$ $= lim \frac{- n}{\sqrt{n^{2} (1 - \frac{1}{n})} + n}$ $= lim \frac{- 1}{\sqrt{1 - \frac{1}{n}} + 1} = \frac{- 1}{2}$

d.
Phương pháp giải:

Sử dụng định lí 2c trang 119 SGK:

Nếu $lim u_{n} = + \infty$ và $lim v_{n} = a > 0$ thì $lim (u_{n} . v_{n}) = + \infty$ .

Lời giải:

$\begin{array}{l} lim (\sqrt{n^{2} - n} + n) \\ = lim (\sqrt{n^{2} (1 - \frac{1}{n})} + n) \\ = lim (n \sqrt{1 - \frac{1}{n}} + n) \\ = lim n (\sqrt{1 - \frac{1}{n}} + 1) \\ lim n = + \infty \\ lim (\sqrt{1 - \frac{1}{n}} + 1) = 1 + 1 = 2 > 0 \\ \Rightarrow lim (\sqrt{n^{2} - n} + n) = + \infty \end{array}$

Bài 8 trang 122 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho hai dãy số $(u_{n})$ và $(v_{n})$ . Biết $lim u_{n} = 3$ , $lim v_{n} = + \infty$ .

Tính các giới hạn:

a. $lim \frac{3 u_{n} - 1}{u_{n} + 1};$

b. $l i m \frac{v_{n} + 2}{{v^{2}}_{n} - 1}$

Phương pháp giải:

Thay $lim u_{n} = 3$ vào tính giới hạn.

Lời giải:

$lim \frac{3 u_{n} - 1}{u_{n} + 1} = \frac{3 lim u_{n} - 1}{lim u_{n} + 1} = \frac{3.3 - 1}{3 + 1} = 2$

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu cho $v_{n}^{2}$

Lời giải:

Vì $lim v_{n} = + \infty \Rightarrow lim \frac{1}{v_{n}} = 0$

$lim \frac{v_{n} + 2}{v_{n}^{2} - 1} = lim \frac{v_{n}^{2} (\frac{1}{v_{n}} + \frac{2}{v_{n}^{2}})}{v_{n}^{2} (1 - \frac{1}{v_{n}^{2}})}$

$= lim \frac{\frac{1}{v_{n}} + \frac{2}{v_{n}^{2}}}{1 - \frac{1}{v_{n}^{2}}} = \frac{lim \frac{1}{v_{n}} + lim \frac{2}{v_{n}^{2}}}{1 - lim \frac{1}{v_{n}^{2}}} = \frac{0 + 0}{1 - 0} = 0$

Lý thuyết Bài Giới hạn của dãy số

1. Giới hạn hữu hạn

+) $\underset{n \to + \infty}{l i m} u_{n} = 0$ khi và chỉ khi $| u_{n} |$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

+) $\underset{n \to + \infty}{l i m} u_{n} = a \Leftrightarrow \underset{n \to + \infty}{l i m} (u_{n} - a) = 0$ .

2. Giới hạn vô cực

+) $\underset{n \to + \infty}{l i m} u_{n} = + \infty$ khi và chỉ khi $u_{n}$ có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

+ $\underset{n \to + \infty}{l i m} u_{n} = - \infty \Leftrightarrow \underset{n \to + \infty}{l i m} (- u_{n}) = + \infty$ .

3. Các giới hạn đặc biệt

a) $lim \frac{1}{n} = 0$ ;

$lim \frac{1}{n^{k}} = 0$ ;

$lim n^{k} = + \infty$ , với $k$ nguyên dương.

b) $lim q^{n} = 0$ nếu $| q | < 1$ ;

$lim q^{n} = + \infty$ nếu $q > 1$ .

c) $lim c = c$ ( $c$ là hằng số).

4. Định lí về giới hạn hữu hạn

a) Nếu $lim u_{n} = a$ và $lim v_{n} = b$ , thì:

$l i m (u_{n} + v_{n}) = a + b$

$l i m (u_{n} - v_{n}) = a - b$

$l i m (u_{n} . v_{n}) = a b$

$l i m \frac{u_{n}}{v_{n}} = \frac{a}{b}$ (nếu $b \neq 0$ ).

b) Nếu $u_{n} \geq 0$ với mọi $n$ và $l i m u_{n} = a$ thì $a > 0$ và $l i m \sqrt{u_{n}} = \sqrt{a}$ .

5. Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực.

a) Nếu $lim u_{n} = a$ và $lim v_{n} = \pm \infty$ thì $lim \frac{u_{n}}{v_{n}} = 0$ .

b) Nếu $lim u_{n} = a > 0$ , $lim v_{n} = 0$ và $v_{n} > 0$ với mọi $n$ thì $lim \frac{u_{n}}{v_{n}} = + \infty$

c) Nếu $lim u_{n} = + \infty$ và $lim v_{n} = a > 0$ thì $lim (u_{n} . v_{n}) = + \infty$ .

6. Cấp số nhân lùi vô hạn

+ Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội $q$ thỏa mãn $| q | < 1$ .

+) Công thức tính tổng $S$ của cấp số lùi vô hạn $(u_{n})$ :

$S = u_{1} + u_{2} + . . . + u_{n} + . . . = \frac{u_{1}}{1 - q}$

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy