Chuyên đề Giới hạn của dãy số
Phần 1: Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập
1. Lý thuyết
a) Dãy số có giới hạn 0
Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số kể từ một số hạng nào đó trở đi, |un| nhỏ hơn số dương đó.
Kí hiệu: hay lim un = 0 hay un → 0 khi n → +∞.
b) Dãy số có giới hạn hữu hạn
Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là số thực L nếu lim (un – L) = 0
Kí hiệu: hay lim un = L hay un → L khi n → +∞.
c) Dãy số có giới hạn vô cực
Dãy số (un) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Ký hiệu : lim un = +∞ hoặc un → +∞ khi n → +∞
Dãy số (un) có giới hạn là −∞ khi n → +∞ , nếu lim(−un) = +∞
Ký hiệu : lim un = −∞ hoặc un → −∞ khi n → +∞
d) Một vài giới hạn đặc biệt
lim un = 0 ⇔ lim|un| = 0
; ,(k > 0, k ∈ ℕ*); lim nk = +∞,(k > 0, k ∈ ℕ*)
e) Định lý về giới hạn hữu hạn
* Nếu lim un = a và lim vn = b và c là hằng số. Khi đó ta có :
lim(un + vn) = a + b
lim(un – vn) = a – b
lim(un vn) = a.b
lim(cun ) = c.a
lim|un | = |a|
Nếu un ≥ 0 với mọi n thì a ≥ 0 và
* Định lí kẹp: Cho ba dãy số (vn); (un) và (wn):
Nếu thì lim un = a.
Hệ quả: Cho hai dãy số (un) và (vn):
Nếu thì lim un = 0.
f) Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực
* Quy tắc tìm giới hạn tích lim (unvn)
Nếu lim un = L ≠ 0, lim vn = +∞ (hay −∞). Khi đó: lim (unvn)
lim un = L |
lim vn |
lim (unvn) |
+ |
+∞ |
+∞ |
+ |
−∞ |
−∞ |
– |
+∞ |
−∞ |
– |
−∞ |
+∞ |
* Quy tắc tìm giới hạn thương
lim un = L |
lim vn |
Dấu của vn |
|
L |
±∞ |
Tùy ý |
0 |
L > 0 |
0 |
+ |
+∞ |
0 |
– |
−∞ |
|
L |
0 |
+ |
−∞ |
0 |
– |
+∞ |
g) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Xét cấp số nhân vô hạn u1; u1q; u1q2; … u1qn; … có công bội |q|
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:
2. Các dạng toán
Dạng 1. Tính giới hạn sử dụng một vài giới hạn đặc biệt
Phương pháp giải:
Sử dụng các giới hạn đặc biệt:
lim un = 0 ⇔ lim|un| = 0
; ,(k > 0, k ∈ ℕ*); lim nk = +∞,(k > 0, k ∈ ℕ*)
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Áp dụng công thức tính giới hạn đặc biệt, ta có:
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
c) lim (-0,999)n
Lời giải
c) lim (-0,999)n = 0 vì |-0,999|
Dạng 2. Tính giới hạn hữu hạn của phân thức
Phương pháp giải:
Trường hợp lũy thừa của n: Chia cả tử và và mẫu cho nk (với nk là lũy thừa với số mũ lớn nhất).
Trường hợp lũy thừa mũ n: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa có cơ số lớn nhất.
Sử dụng một vài giới hạn đặc biệt:
lim un = 0 ⇔ lim|un| = 0
; ,(k > 0, k ∈ ℕ*); lim nk = +∞,(k > 0, k ∈ ℕ*)
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau
Lời giải
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Dạng 3: Tính giới hạn hữu hạn sử dụng phương pháp liên hợp
Phương pháp giải: Sử dụng các công thức liên hợp (thường sử dụng trong các bài toán chứa căn)
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Ví dụ 2: Tính giới hạn sau:
Lời giải
Dạng 4: Tính giới hạn ra vô cực dạng chứa đa thức hoặc căn thức
Phương pháp giải:
Rút bậc lớn nhất của đa thức làm nhân tử chung.
Sử dụng quy tắc giới hạn tới vô cực lim (unvn)
Nếu un = L ≠ 0, lim vn = +∞ (hay −∞). Khi đó: lim (unvn)
lim un = L |
lim vn |
lim (unvn) |
+ |
+∞ |
+∞ |
+ |
−∞ |
−∞ |
– |
+∞ |
−∞ |
– |
−∞ |
+∞ |
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
a) lim (n4 − 2n2 +3)
b) lim ( −2n3 + 3n − 1)
c) lim (5n − 2n)
Lời giải
a) lim (n4 − 2n2 +3) =
Vì lim n4 = +∞; .
b) lim ( −2n3 + 3n − 1) =
Vì lim n3 = +∞;
c) lim (5n − 2n) =
Vì lim 5n = +∞ và .
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau
Lời giải
Vì
Dạng 5: Tính giới hạn ra vô cực dạng phân thức
Phương pháp giải:
Rút bậc lớn nhất của tử và mẫu ra làm nhân tử chung.
Sử dụng quy tắc giới hạn tới vô cực lim (unvn)
Nếu lim un = L ≠ 0, lim vn = +∞ (hay −∞). Khi đó: lim (unvn)
lim un = L |
lim vn |
lim (unvn) |
+ |
+∞ |
+∞ |
+ |
−∞ |
−∞ |
– |
+∞ |
−∞ |
– |
−∞ |
+∞ |
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Ví dụ 2: Tính giới hạn sau .
Lời giải
Dạng 6: Tính giới hạn sử dụng định lý kẹp
Phương pháp giải:
Sử dụng định lý kẹp và hệ quả của định lý kẹp
Định lí kẹp: Cho ba dãy số (vn); (un) và (wn): Nếu thì lim un = a
Hệ quả: Cho hai dãy số (un) và (vn): Nếu thì lim un = 0.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau :
Lời giải
Dạng 7: Giới hạn dãy số có công thức truy hồi
Phương pháp giải:
Cho dãy số (un) ở dạng công thức truy hồi, biết (un) có giới hạn hữu hạn
Giả sử lim un = a (a là số thực) thì lim un+1 = a.
Thay a vào công thức truy hồi. Giải phương trình tìm a.
Ta được giới hạn của (un) là lim un = a.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm lim un biết (un) có giới hạn hữu hạn và (un): .
Lời giải
Giả sử lim un = a, khi đó lim un+1 = a
Suy ra ⇒ a2 + 2a = 2a + 3 ⇔ a2 = 3 ⇔ .
Do u1 = 1 > 0, ∀n ∈ ℕ* nên a > 0 ⇒
Vậy .
Ví dụ 2: Tìm lim un biết (un) có giới hạn hữu hạn và (un): .
Lời giải
Vì
Giả sử lim un = a (a > 0), khi đó lim un+1 = a
Suy ra
Vậy lim un = 2.
Dạng 8: Giới hạn của tổng vô hạn hoặc tích vô hạn
Phương pháp giải:
* Rút gọn (un) (sử dụng tổng cấp số cộng, cấp số nhân hoặc phương pháp làm trội)
* Rồi tìm lim un theo định lí hoặc dùng nguyên lí định lí kẹp.
* Định lí kẹp: Cho ba dãy số (vn); (un) và (wn): Nếu thì lim un = a
Hệ quả: Cho hai dãy số (un) và (vn): Nếu thì lim un = 0.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Xét tử số: Ta thấy 1; 2; 3; 4; … ; n là một dãy số thuộc cấp số cộng có n số hạng với u1 = 1 và d = 1.
Tổng n số hạng của cấp số cộng:
Xét mẫu số: Ta thấy 1; 3 ; 32 ; 33 ; … ; 3n là một dãy số thuộc cấp số nhân có (n+1) số hạng với u1 = 1 và q = 3.
Tổng (n + 1) số hạng của cấp số nhân:
(Bằng quy nạp ta luôn có n n ,∀n ∈ ℕ* và 3n > 1, ∀n ∈ ℕ* ⇒ 3n+1 − 3n = 2.3n > 2 >1 ⇒ 3n+1 − 1 > 3n).
Ví dụ 2: Tính giới hạn sau:
Lời giải
Dạng 9: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Phương pháp giải:
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính tổng
Lời giải
a) là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1 và
Nên
b) S = 1 + 0,9 + (0,9)2 + (0,9)3 +… là cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1 và q = 0,9.
Nên
Ví dụ 2: Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số:
a) a = 0,32111…
b) b = 2,151515…
Lời giải
a) Ta có a = 0,32111… =
Vì là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với
Nên
b) Ta có b = 2,151515… =
Vì là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với
Nên
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề Sai?
Câu 2. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
Câu 3. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
Câu 4. Tính giới hạn bằng
A. 0. B. 1. C. +∞ . D. 2.
Câu 5. Cho dãy số (un) với. Khi đó lim un bằng
Câu 6. Cho dãy số (un) với. Khi đó lim un bằng
Câu 7. Tính bằng:
A. +∞ . B. −∞ . C. -1. D. 0.
Câu 8. Tính bằng:
Câu 9. Tính bằng:
Câu 10. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0 ?
Câu 11. Cho dãy số (un) được xác định bởi u1 = 1, với mọi n ≥ 1. Biết dãy số (un) có giới hạn hữu hạn, lim un bằng:
Câu 12. Giới hạn dãy số (un) với là.
Câu 13. Chọn kết quả đúng của
A. 5. B. . C. −∞ . D. +∞ .
Câu 14. Tổng bằng:
Câu 15. Biểu diễn số thập phân 1,24545454545… như một phân số:
Bảng đáp án
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
C |
D |
D |
A |
A |
B |
B |
C |
D |
D |
B |
A |
D |
B |
B |
Phần 2: Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập
1. Lý thuyết
a) Giới hạn của hàm số tại một điểm:
* Giới hạn hữu hạn: Cho khoảng K chứa điểm x0 . Ta nói rằng hàm số f(x) xác định trên K (có thể trừ điểm x0) có giới hạn là L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn ∈ K \ {x0} và xn → x0, ta có: f(xn) → L.
Kí hiệu: hay f(x) → L khi x → x0.
Nhận xét: Nếu f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x0 thì
* Giới hạn ra vô cực:
Hàm số y = f(x) có giới hạn dần tới dương vô cực khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn): xn → x0 thì f(xn) → +∞.
Kí hiệu:
Hàm số y = f(x) có giới hạn dần tới âm vô cực khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn): xn → x0 thì f(xn) → −∞.
Kí hiệu:
b) Giới hạn của hàm số tại vô cực
* Giới hạn ra hữu hạn:
– Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (a;+∞) có giới hạn là L khi x → +∞ nếu với mọi dãy số (xn): xn > a và xn → +∞ thì f(xn) → L.
Kí hiệu: .
– Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (−∞;b) có giới hạn là L khi x → −∞ nếu với mọi dãy số (xn): xn n → −∞ thì f(xn) → L.
Kí hiệu:
* Giới hạn ra vô cực:
– Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (a;+∞) có giới hạn dần tới dương vô cùng (hoặc âm vô cùng) khi x → +∞ nếu với mọi dãy số (xn): xn > a và xn → +∞ thì f(xn) → +∞ (hoặc f(xn) → −∞).
Kí hiệu:
– Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (−∞; b) có giới hạn là dần tới dương vô cùng (hoặc âm vô cùng) khi x → −∞ nếu với mọi dãy số (xn): xn n → −∞ thì f(xn) → +∞ (hoặc f(xn) → −∞).
Kí hiệu:
c) Các giới hạn đặc biệt:
với c là hằng số
với k nguyên dương;
với k lẻ, với k chẵn
d) Một vài định lý về giới hạn hữu hạn
* Nếu thì:
; nếu c là một hằng số thì
* Nếu f(x) ≥ 0, thì
Chú ý:
– Các định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số vẫn đúng khi thay x → x0 bởi x → +∞ hoặc x → −∞.
– Định lí trên ta chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn. Ta không áp dụng cho các giới hạn dần về vô cực.
* Nguyên lí kẹp
Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên K chứa điểm x0 (có thể các hàm đó không xác định tại x0). Nếu thì
e) Quy tắc về giới hạn vô cực
Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x)g(x)
|
|
|
L > 0 |
+∞ |
+∞ |
−∞ |
−∞ |
|
L |
+∞ |
−∞ |
−∞ |
+∞ |
Quy tắc tìm giới hạn của thương
|
|
Dấu của g(x) |
|
L |
±∞ |
Tùy ý |
0 |
L > 0 |
0 |
+ |
+∞ |
0 |
– |
−∞ |
|
L |
0 |
+ |
−∞ |
0 |
– |
+∞ |
f) Giới hạn một bên
* Giới hạn hữu hạn
– Định nghĩa 1: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (x0;b),(x0 ∈ ). Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên phải là số thực L khi dần đến x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi dãy số bất kì (xn) những số thuộc khoảng (x0; b) mà lim xn = x0 ta đều có lim f(xn) = L.
Khi đó ta viết: hoặc f(x) → L khi x → x0+.
– Định nghĩa 2: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a;x0), (x0 ∈ ). Ta nói rằng hàm số có giới hạn bên trái là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi dãy bất kì (xn) những số thuộc khoảng (a; x0) mà lim xn = x0 ta đều có lim f(xn) = L.
Khi đó ta viết: hoặc f(x) → L khi x → x0−.
– Nhận xét:
Các định lí về giới hạn của hàm số vẫn đúng khi thay x → x0 bởi x → x0− hoặc x → x0+.
* Giới hạn vô cực
– Các định nghĩa , ,và được phát biểu tương tự như định nghĩa 1 và định nghĩa 2.
– Nhận xét: Các định lí về giới hạn của hàm số vẫn đúng nếu thay L bởi +∞ hoặc −∞
2. Các dạng bài tập
Dạng 1: Giới hạn tại một điểm
Phương pháp giải:
– Nếu f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x0 thì
– Áp dụng quy tắc về giới hạn tới vô cực:
|
|
Dấu của g(x) |
|
L |
±∞ |
Tùy ý |
0 |
L > 0 |
0 |
+ |
+∞ |
0 |
– |
−∞ |
|
L |
0 |
+ |
−∞ |
0 |
– |
+∞ |
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
a) Vì nên
Dạng 2: Giới hạn tại vô cực
Phương pháp giải:
– Rút lũy thừa có số mũ lớn nhất
– Áp dụng quy tắc giới hạn tới vô cực
|
|
|
L > 0 |
+∞ |
+∞ |
−∞ |
−∞ |
|
L |
+∞ |
−∞ |
−∞ |
+∞ |
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
a)
Vì
b)
Vì
Dạng 3: Sử dụng nguyên lý kẹp
Nguyên lí kẹp
Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên K chứa điểm x0 (có thể các hàm đó không xác định tại x0). Nếu thì
Phương pháp giải:
Xét tính bị chặn của hàm số f(x) bởi hai hàm số g(x) và h(x) sao cho
Chú ý tính bị chặn của hàm số lượng giác:
−1 ≤ sin x ≤ 1
−1 ≤ cos x ≤ 1
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính giới hạn của hàm số:
Lời giải
a) Ta có:
Mà
b) Ta có:
Mà
Ví dụ 2: Tính giới hạn của hàm số:
Lời giải
Ta có:
Mà
Dạng 4: Giới hạn dạng vô định
Nhận biết dạng vô định : Tính trong đó f(x0) = g(x0) = 0.
Phương pháp giải:
Để khử dạng vô định này ta phân tích f(x) và g(x) sao cho xuất hiện nhân tử chung là (x – x0)
Định lí: Nếu đa thức f(x) có nghiệm x = x0 thì ta có: f(x) = (x – x0)f1(x).
* Nếu f(x) và g(x) là các đa thức thì ta phân tích f(x) = (x – x0)f1(x) và g(x) = (x – x0)g1(x).
Khi đó , nếu giới hạn này có dạng thì ta tiếp tục quá trình như trên.
Chú ý: Nếu tam thức bậc hai ax2 + bx + c có hai nghiệm x1 ; x2 thì ta luôn có sự phân tích: ax2 + bx + c = a(x – x1) (x – x2)
* Nếu f(x) và g(x) là các hàm chứa căn thức thì ta nhân lượng liên hợp để chuyển về các đa thức, rồi phân tích các đa thức như trên.
Các lượng liên hợp:
* Nếu f(x) và g(x) là các hàm chứa căn thức không đồng bậc ta sử dụng phương pháp tách, chẳng hạn:
Nếu thì ta phân tích:
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Dạng 5: Giới hạn dạng vô định
Nhận biết dạng vô định
Phương pháp giải:
– Chia tử và mẫu cho xn với n là số mũ cao nhất của biến ở mẫu (Hoặc phân tích thành tích chứa nhân tử xn rồi giản ước).
– Nếu u(x) hoặc v(x) có chứa biến x trong dấu căn thì đưa xk ra ngoài dấu căn (Với k là mũ cao nhất của biến x trong dấu căn), sau đó chia tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
a)
b)
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Dạng 6: Giới hạn dạng vô định ∞ − ∞ và 0.∞
Phương pháp giải:
– Nếu biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thì nhân và chia với biểu thức liên hợp
– Nếu biểu thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và đưa về cùng một biểu thức
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
a)
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Dạng 7: Tính giới hạn một bên
Phương pháp giải:
Sử dụng quy tắc tính giới hạn tới vô cực
|
|
Dấu của g(x) |
|
L |
±∞ |
Tùy ý |
0 |
L > 0 |
0 |
+ |
+∞ |
0 |
– |
−∞ |
|
L |
0 |
+ |
−∞ |
0 |
– |
+∞ |
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Ví dụ 2: Cho hàm số . Tính:
Lời giải
a)
b)
Dạng 8: Tìm tham số m để hàm số có giới hạn tại 1 điểm cho trước
Phương pháp giải:
Sử dụng nhận xét:
– Tính giới hạn
– Để hàm số có giới hạn tại x = x0 cho trước thì . Tìm m.
Khi đó với m vừa tìm được, hàm số có giới hạn tại x = x0 cho trước và giới hạn đó bằng L =
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho hàm số . Với giá trị nào của a thì hàm số đã cho có giới hạn tại điểm x = 2?
Lời giải
Ta có
Để hàm số có giới hạn tại x = 2 thì ⇒ a = 1.
Vậy a = 1.
Ví dụ 2: Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số để tồn tại
Lời giải
Ta có
Để hàm số có giới hạn tại x = 1 thì ⇒ m − 3 = −2 ⇔ m = 1.
Vậy m = 1.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Tính bằng:
A. -1 B. −∞ C. +∞ D. -3
Câu 2. Tính bằng:
A. -2 B. C. D. 2
Câu 3. Tính bằng:
A. 3 B. 1 C. 4 D. 2
Câu 4. Tính bằng:
Câu 5. Tính bằng:
Câu 6. Tính bằng:
A. 4 B. 3 C. 0 D. 1
Câu 7. Tính bằng
A. -2 B. 1 C. 2 D. -1
Câu 8. Tính bằng
A. −∞ B. +∞ C. 0 D. 4
Câu 9. Tính là:
A. 0 B. +∞ C. -2 D. −∞
Câu 10. Tính
A. -2 B. −∞ C. 0 D. +∞
Câu 11. Cho . Giá trị của a là:
A. 6 B. 10 C. -10 D. -6
Câu 12. Kết quả đúng của bằng:
Câu 13. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Câu 14. Cho . Tính .
A. 0 B. 4 C. +∞ D. Không tồn tại
Câu 15. Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số có giới hạn tại x = 0.
A. m = – 1 B. m = 2 C. m = -2 D. m = 1
Bảng đáp án
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
C |
A |
A |
B |
A |
C |
A |
C |
B |
A |
C |
C |
B |
A |
D |
Phần 3: Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập
1. Lý thuyết
a) Hàm số liên tục tại một điểm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên K và x0 ∈ K.
– Hàm số y = f(x) liên tục tại x0 khi và chỉ khi
– Hàm số y = f(x) không liên tục tại x0 ta nói hàm số gián đoạn tại x0.
b) Hàm số liên tục trên một khoảng
– Hàm số y = f(x) liên tục trên một khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm x0 của khoảng đó.
– Hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] nếu nó liên tục trên (a; b) và ,
c) Các định lý cơ bản
Định lý 1:
– Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập .
– Các hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
Định lý 2: Cho các hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục tại x0. Khi đó:
– Các hàm số: y = f(x) + g(x); y = f(x) – g(x); y = f(x).g(x) liên tục tại x0.
– Hàm số liên tục tại x0 nếu g( x0 ) ≠ 0.
Định lý 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b)
2. Các dạng toán
Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Loại 1: Xét tính liên tục của hàm số tại x = x0.
Phương pháp giải:
Bước 1: Tính f(x0) = f2(x0).
Bước 2: Tính
Bước 3: Nếu f2(x0) = L thì hàm số f(x) liên tục tại x0.
Nếu f2(x0) ≠ L thì hàm số f(x) không liên tục tại x0.
(Đối với bài toán tìm tham số m để hàm số liên tục tại x0, ta thay bước 3 thành: Giải phương trình L = f2(x0), tìm m)
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = – 1.
Lời giải
Hàm đã cho xác định trên .
Ta có: f(-1) = 3
Ta thấy
Vậy hàm số liên tục tại x = – 1.
Ví dụ 2: Cho hàm số: . Tìm m để hàm số liên tục tại x = 1.
Lời giải
Hàm đã cho xác định trên [0;+∞) .
Ta có
f(1) = m2.
Để hàm số liên tục tại x = 1 thì
Vậy
Loại 2: Xét tính liên tục của hàm số tại x = x0.
Phương pháp giải:
Bước 1:
Tính f(x0) = f2(x0).
Tính giới hạn trái:
Tính giới hạn phải:
Bước 2:
Nếu L = L1 thì hàm số liên tục bên trái tại x0.
Nếu L = L2 thì hàm số liên tục bên phải tại x0.
Nếu L = L1 = L2 thì hàm số liên tục tại x0.
(Nếu cả 3 trường hợp trên không xảy ra thì hàm số không liên tục tại x0)
* Đối với bài toán tìm m để hàm số liên tục tại x0 ta giải phương trình: L = L1 = L2. Tìm m.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho hàm số
Xét tính liên tục của hàm số tại x = -1.
Lời giải
Ta có:
f(- 1) = = 2. (-1) + 3 = 1
Ta thấy
Vậy hàm số gián đoạn tại x = – 1.
Ví dụ 2: Cho hàm số: Tìm m để hàm số liên tục tại x = 1
Lời giải
Ta có:
Khi đó:
Hay: (vì x2 – 3x + 2 = (x – 2)(x – 1))
Ta có: f(1) = m
Để hàm số liên tục tại x = 1 thì
Khi đó: 1 = m = – 1 (vô lý)
Vậy không tồn tại m để hàm số liên tục tại x = 1.
Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng
Phương pháp giải:
Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên các khoảng đơn
Bước 2: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm giao
Bước 3: Kết luận.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho hàm số Xét sự liên tục của hàm số.
Lời giải
Hàm số xác định và liên tục trên (−∞;1) và (1;+∞).
Xét tính liên tục tại x = 1
f(1) = 2.1 = 2.
Ta thấy nên hàm số liên tục tại x = 1.
Vậy hàm số liên tục trên .
Ví dụ 2: Cho hàm số Tìm m để hàm số liên tục trên [0;+∞).
Lời giải
Với x ∈ (0;9): xác định và liên tục trên (0;9).
Với x ∈ (9;+∞): xác định và liên tục trên (9;+∞).
Với x = 9, ta có
và
Ta thấy nên hàm số liên tục tại x = 9.
Với x = 0 ta có f(0) = m.
Để hàm số liên tục trên [0;+∞) thì hàm số phải liên tục tại x = 0
Vậy thì hàm số liên tục trên [0;+∞) .
Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm
Phương pháp giải:
Sử dụng định lý: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b)
Chú ý: Đa thức bậc n có tối đa n nghiệm trên .
* Chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm.
– Tìm hai số a và b sao cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b)
– Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x0 ∈ (a;b)
* Chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất k nghiệm
– Tìm k cặp số ai; bi sao cho các khoảng (ai; bi) rời nhau và f(ai).f(bi)
– Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm xi ∈ ( ai;bi ).
Khi đó f(x) = 0 có ít nhất k nghiệm.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Phương trình: có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (-1; 3).
b) Phương trình có bao nhiêu nghiệm.
Lời giải
a) Xét hàm số liên tục trên [- 1; 3].
Ta có:
Ta thấy:
f(- 1).f(0)
f(0).f(½) , phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0;½)
f(½).f(1) , phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (½;1)
f(1).f(3)
Do đó phương trình có ít nhất 4 ngiệm thuộc khoảng (-1; 3).
Mặt khác phương trình bậc 4 có tối đa bốn nghiệm.
Vậy phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng (-1; 3).
b) Đặt . Khi đó phương trình đã cho có dạng 2t3 – 6t + 1 = 0
Xét hàm f(t) = 2t3 – 6t + 1 liên tục trên .
Ta có f(- 2) = – 3, f(0) = 1, f(1) = – 3, f(2) = 5.
Ta thấy:
f(- 2).f(0) = – 3 0, phương trình có một nghiệm t1 ∈ (−2;0). Khi đó x1 = 1 − t13,x1 ∈ (1;9).
f(0).f(1) = – 3 0, phương trình có một nghiệm t2 ∈ (0;1). Khi đó x2 = 1 − t23,x2 ∈ (0;1).
f(1).f(2) = – 15 0, phương trình có một nghiệm t3 ∈ (1;2). Khi đó x3 = 1 − t33,x3 ∈ (-7;0).
Do đó phương trình 2t3 – 6t + 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm thuộc (-2; 2).
Mà phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm
Suy ra, phương trình 2t3 – 6t + 1 = 0 có đúng 3 nghiệm thuộc (-2; 2).
Vậy phương trình có ít nhất 3 nghiệm thuộc (-7; 9).
Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m.
Lời giải
Xét hàm số f(x) = (1 – m2)x5 – 3x – 1
Ta có: f(0) = – 1 và f(-1) = m2 + 1
nên f(−1).f(0) = −(m2 + 1)
Mặt khác: f(x) = (1 – m2)x5 – 3x – 1 là hàm đa thức nên liên tục trên [-1; 0]
Suy ra, phương trình (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (-1; 0).
Vậy phương trình (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho hàm số
Khẳng định nào sau đây đúng nhất
A. Hàm số liên tục tại x = 4.
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trên tập xác định nhưng gián đoạn tại x = 4.
C. Hàm số không liên tục tại x = 4.
D. Tất cả đều sai.
Câu 2. Cho hàm số
Khẳng định nào sau đây đúng nhất:
A. Hàm số liên tục tại x0 = -1.
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm.
C. Hàm số gián đoạn tại x0 = -1.
D. Tất cả đều sai.
Câu 3. Cho hàm số
Khẳng định nào sau đây đúng nhất
A. Hàm số liên tục tại x0 = 0.
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm nhưng gián đoạn tại x0 = 0.
C. Hàm số liên tục tại mọi điểm.
D. Tất cả đều sai.
Câu 4. Cho hàm số Chọn câu đúng trong các câu sau:
(I) f(x) liên tục tại x = 2.
(II) f(x) gián đoạn tại x = 2.
(III) f(x) liên tục trên đoạn [-2; 2].
A. Chỉ (I) và (III). B. Chỉ (I). C. Chỉ (II). D. Chỉ (II) và (III).
Câu 5. Cho hàm số Khẳng định nào sau đây đúng nhất.
A. Hàm số liên tục trên R.
B. Hàm số liên tục tại mọi R\{-2; 3} và hàm số gián đoạn tại x = -2; x = 3.
C. Hàm số liên tục tại x = -2; x = 3.
D. Tất cả đều sai.
Câu 6. Tìm m để các hàm số liên tục trên .
A. m = 1 B. C. m = 2 D. m = 0
Câu 7. Tìm m để các hàm số liên tục trên .
A. m = 1 B. C. m = 2 D. m = 0
Câu 8. Cho hàm số .
Tìm a để hàm số liên tục tại x0 = 1.
Câu 9. Cho hàm số
Giá trị của a để f(x) liên tục trên R là:
A. 1 hoặc 2. B. 1 hoặc -1. C. -1 hoặc 2. D. 1 hoặc -2.
Câu 10. Cho hàm số
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
(I). f(x) liên tục tại
(II). f(x) gián đoạn tại
(III). f(x) liên tục trên R
A. Chỉ (I) và (II).
B. Chỉ (II) và (III).
C. Chỉ (I) và (III).
D. Cả (I),(II),(III) đều đúng.
Câu 11. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I. f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b)
II. f(x) không liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) ≥ 0 thì phương trình f(x) = 0 vô nghiệm.
A. Chỉ I đúng. B. Chỉ II đúng. C. Cả I và II đúng. D. Cả I và II sai.
Câu 12. Cho phương trình 2x4 – 5x2 + x + 1 = 0 (1) .Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng (-1; 1).
B. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng (-2; 0).
C. Phương trình (1) chỉ có một nghiệm trong khoảng (-2; 1).
D. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng (0; 2).
Câu 13. Số nghiệm thực của phương trình: 2x3 – 6x + 1 = 0 thuộc khoảng (- 2; 2) là:
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 14. Cho phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 (1) trong đó a, b, c là các tham số thực. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Phương trình (1) vô nghiệm với mọi a, b, c.
B. Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm với mọi a, b, c.
C. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm với mọi a, b, c.
D. Phương trình (1) có ít nhất ba nghiệm với mọi a, b, c.
Câu 15. Cho hàm số f(x) = x3 – 1000x2 + 0,01. Phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?
I. (-1; 0). II. (0; 1). III. (1; 2).
A. Chỉ I. B. Chỉ I và II. C. Chỉ II. D. Chỉ III.
Bảng đáp án
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
A |
C |
B |
A |
B |
B |
B |
A |
D |
C |
A |
D |
D |
B |
B |
Phần 4: Cách tìm giới hạn của dãy số bằng định nghĩa cực hay
A. Phương pháp giải & Ví dụ
– Để chứng minh limun = 0 ta chứng minh với mọi số a > 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số na sao cho |un| na.
– Để chứng minh limun = 1 ta chứng minh lim(un-1) = 0.
– Để chứng minh limun = +∞ ta chứng minh với mọi số M > 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên nM sao cho un > M ∀n > nM.
– Để chứng minh limun = -∞ ta chứng minh lim(-un) = +∞
– Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Chứng minh rằng:
Hướng dẫn:
1. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
2. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
Bài 2: Chứng minh rằng dãy số (un ) : un = (-1)n không có giới hạn.
Hướng dẫn:
Ta có: u2n = 1 ⇒ limu2n = 1; u(2n+1) = -1 ⇒ limu(2n+1) = -1
Vì giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất nên ta suy ra dãy (un) không có giới hạn.
Bài 3: Chứng minh các giới hạn sau:
Hướng dẫn:
1. Với mọi số thực dương M lớn tùy ý, ta có:
Ta chọn
Do đó:
2. Với mọi M > 0 lớn tùy ý, ta có:
Ta chọn
Do đó:
Bài 4: Chứng minh rằng:
Hướng dẫn:
1. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
2. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
3. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
Bài 5: Chứng minh các giới hạn sau
Hướng dẫn:
1. Với mọi a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn
2. Ta có
3. Với mọi số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
Bài 6: Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau :
Hướng dẫn:
1. Với số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
Vậy A = 2
2. Với số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na thỏa mãn
3. Với số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
Vậy C = 1
Bài 7: Chứng minh rằng dãy số (un): un = (-1)n không có giới hạn.
Hướng dẫn:
Ta có: u2n → +∞; u(2n+1) = -(2n+1) → -∞
Do đó dãy số đã cho không có giới hạn.
Bài 8: Chứng minh các giới hạn sau:
Hướng dẫn:
1. Gọi m là số tự nhiên thỏa: m+1 > |a|. Khi đó với mọi n > m+1
Ta có:
Mà Từ đó suy ra:
2. Nếu a = 1 thì ta có đpcm
+ Giả sử a > 1. Khi đó:
+
Tóm lại ta luôn có: với a > 0.
Phần 5: Cách tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn cực hay
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Tổng của CSN lùi vô hạn
Cấp số nhân vô hạn u1, u2, u3,..un,..có công bội q, với |q|
Tổng S của cấp số nhân đó là:
Ví dụ minh họa
Bài 1: Tìm tổng của cấp số nhân vô hạn sau:
Hướng dẫn:
Đây là tổng của cấp số nhân vô hạn có
nên tổng là
Bài 2: Tìm tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un) biết un = 1/(3n)
Hướng dẫn:
Vì
Bài 3: Tìm tổng của cấp số nhân vô hạn:
Hướng dẫn:
Vì các số của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1, q = -1/2
Vậy
Bài 4: Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội q = 2/3
Hướng dẫn:
Bài 5: Tìm tổng của dãy số sau:
Hướng dẫn:
Vì vậy các số của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = -1, q = -1/10
Vậy
Bài 6: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 5/3 tổng ba số hạng đầu tiên của nó là 39/25. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số đó.
Hướng dẫn:
Ta có
Bài 7: Cho dãy số (un) với . Tính tổng của dãy un
Hướng dẫn:
Vì un là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có u1 = 1/2 và q = (-1)/2.
Phần 6: Cách tính giới hạn của dãy số cực hay
A. Phương pháp giải & Ví dụ
– Ta quan sát, phân tích những đặc điểm của dãy số đề bài cho, từ đó rút ra công thu gọn cho tổng đó (có thể dùng công thức tính tổng của cấp số cộng hoặc cấp số nhân) hoặc biến đổi đại số để giảm bớt những hạng tử trong tổng,…
– Dùng các quy tắc tính giới hạn của dãy số để tính giới hạn của tổng đã cho sau khi đã thu gọn.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Cho dãy số (un) với . Tính lim un
Hướng dẫn:
un là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có u1 = 1/2 và q = (-1)/2.
Do đó
Bài 2: Tính lim
Hướng dẫn:
Vậy
Bài 3: Tính
Hướng dẫn:
Ta có
Mà
Vậy
Bài 4: Tính
Hướng dẫn:
Bài 5: Tính
Hướng dẫn:
Bài 6: Cho dãy số (un). Biết với mọi n ≥ 1. Tìm
Hướng dẫn:
Bài 7: Tính
Hướng dẫn:
Khi đó
Phần 7: Cách tính giới hạn của dãy số có chứa căn thức cực hay, chi tiết
A. Phương pháp giải
+) Sử dụng các kiến thức sau:
• Với c là hằng số ta có: lim c = c, lim = 0. Tổng quát lim (k ≥ 1).
• Các phép toán trên các dãy có giới hạn hữu hạn
– Nếu lim un = a và lim vn = b thì
– Nếu un ≥ 0 với mọi n và lim un = a thì
• Các phép toán trên dãy có giới hạn vô cực
+) Phương pháp giải:
a) Giới hạn dãy số dạng , trong đó f(n) và g(n) là các biểu thức chứa căn
=> Chia (các số hạng) của cả tử và mẫu cho lũy thừa của n có số mũ cao nhất trong dãy và dùng các kết quả trên để tính.
Quy ước:
Biểu thức có bậc là
Biểu thức có bậc là
b) Giới hạn dãy số dạng với f(n) và g(n) là các đa thức
=> Rút lũy thừa của n có số mũ cao nhất ra và sử dụng kết quả của giới hạn dãy số tại vô cực để tính.
c) Giới hạn của dãy số dạng vô định () thì ta sử dụng các phép biến đổi liên hợp để đưa dãy số về dạng a) và b).
Các phép biến đổi liên hợp:
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính giới hạn
A. I = 1
B. I = – 1
C. I = 0
D. I = + ∞
Hướng dẫn giải:
Ta sử dụng phương pháp nhân với biểu thức liên hợp
Biểu thức liên hợp của biểu thức
Đáp án B
Ví dụ 2: lim bằng:
A. + ∞
B. – ∞
C. -1
D. 0
Hướng dẫn giải:
Đáp án B
Ví dụ 3: Tính giới hạn: lim
A. – 1
B. 3
C. +∞
D. – ∞
Hướng dẫn giải:
Đáp án C
Ví dụ 4: Giới hạn lim bằng
A. – 1
B. 1
C. + ∞
D. – ∞
Hướng dẫn giải:
Ta tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp bậc ba của biểu thức
Đáp án A
Ví dụ 5: Tính giới hạn lim
A.
B. 0
C. + ∞
D. – ∞
Hướng dẫn giải:
Đáp án A
Giới hạn dãy số
A. Lý thuyết
I. Dãy số có giới hạn 0 .
1. Định nghĩa
Ta nói rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn 0 ( hay có giới hạn là 0 ) nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.
Kí hiệu: \(\lim {u_n} = 0\).
Nói một cách ngắn gọn, \(\lim {u_n} = 0\) nếu \(\left| {{u_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.
Từ định nghĩa suy ra rằng:
a) \(\lim {u_n} = 0 \Leftrightarrow \lim \left| {{u_n}} \right| = 0\).
b) Dãy số không đổi \(\left( {{u_n}} \right)\), với \({u_n} = 0\), có giới hạn là 0 .
c) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là 0 nếu \({u_n}\) có thể gần 0 bao nhiêu cũng được, miễn là \(n\) đủ lớn.
2. Một số dãy số có giới hạn 0
Định lí 4.1
Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\).
Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi \(n\) và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).
Định lí 4.2
Nếu \(|q|
Người ta chúng mình được rằng
a) \(\lim \frac{1}{{\sqrt n }} = 0\).
b) \(\lim \frac{1}{{\sqrt[3]{n}}} = 0\)
c) \(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) với mọi số nguyên dương \(k\) cho trước.
Trường hợp đặc biệt : \(\lim \frac{1}{n} = 0\).
d) \(\lim \frac{{{n^k}}}{{{a^n}}} = 0\) với mọi \(k \in \mathbb{N}*\) và mọi \(a > 1\) cho trước.
II. Dãy số có giới hạn hữu hạn.
1. Định nghĩa
Ta nói rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là số thực L nếu \(\lim \left( {{u_n} – L} \right) = 0\).
Kí hiệu: \(\lim {u_n} = L\).
Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.
a) Dãy số không đổi \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = c\), có giới hạn là c.
b) \(\lim {u_n} = L\) khi và chỉ khi khoảng cách \(\left| {{u_n} – L} \right|\) trên trục số thực từ điểm \({u_n}\) đến L trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn; nói một cách hình ảnh, khi n tăng thì các điểm \({u_n}\) “ chụm lại” quanh điểm L.
c) Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn.
2. Một số định lí
Định lí 4.3
Giả sử \(\lim {u_n} = L\). Khi đó
a) \(\lim \left| {{u_n}} \right| = |L|\) và \(\lim \sqrt[3]{{{u_n}}} = \sqrt[3]{L}\).
b) Nếu \({u_n} \ge 0\) với mọi n thì \(L \ge 0\) và \(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt L \).
Định lí 4.4
Giả sử \(\lim {u_n} = L,\lim {v_n} = M\) và c là một hằng số. Khi đó
a) \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = L + M\).
b) \(\lim \left( {{u_n} – {v_n}} \right) = L – M\).
c) \(\lim \left( {{u_n}{v_n}} \right) = LM\).
D) \(\lim \left( {c{u_n}} \right) = cL\).
e) \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{L}{M}(\) nếu \(M \ne 0)\).
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Định nghĩa
Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội q thỏa \(|q|
Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
\(S = {u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + \ldots = \frac{{{u_1}}}{{1 – q}}\)
III. Dãy số có giới hạn vô cực.
1. Dãy số có giới hạn \( + \infty \)
Ta nói rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn \( + \infty \) nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.
Kí hiệu: \(\lim {u_n} = + \infty \).
Nói một cách ngắn gọn, \(\lim {u_n} = + \infty \) nếu \({u_n}\) có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.
Người ta chứng minh được rằng:
a) \(\lim \sqrt {{u_n}} = + \infty \).
b) \(\lim \sqrt[3]{{{u_n}}} = + \infty \)
c) \(\lim {n^k} = + \infty \) với một số nguyên dương \(k\) cho trước.
Trường hợp đặc biệt : \(\lim n = + \infty \).
d) \(\lim {q^n} = + \infty \) nếu \(q > 1\).
2. Dãy số có giới hạn \( – \infty \)
Ta nói rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn \( – \infty \) nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó.
Kí hiệu: \(\lim {u_n} = – \infty \).
Nói một cách ngắn gọn, \(\lim {u_n} = – \infty \) nếu \({u_n}\) có thể nhỏ hơn một số âm nhỏ tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.
Nhận xét:
a) \(\lim {u_n} = – \infty \Leftrightarrow \lim \left( { – {u_n}} \right) = + \infty \).
b) Nếu \(\lim \left| {{u_n}} \right| = + \infty \) thì \(\left| {{u_n}} \right|\) trở nên lớn bao nhiêu cũng được miễn n đủ lớn. Đo đó \(\left| {\frac{1}{{{u_n}}}} \right| = \frac{1}{{\left| {{u_n}} \right|}}\) trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được, miễn n đủ lớn. Nói cách khác, nếu \(\lim \left| {{u_n}} \right| = + \infty \) thì \(\lim \frac{1}{{{u_n}}} = 0\).
Định lí 4.5
Nếu \(\lim \left| {{u_n}} \right| = + \infty \) thì \(\lim \frac{1}{{{u_n}}} = 0\).
3. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực
Quy tắc 1
Nếu \(\lim {u_n} = \pm \infty \) và \(\lim {{\rm{v}}_n} = \pm \infty \) thì \(\lim \left( {{u_n}{v_n}} \right)\) được cho trong bảng sau:
Quy tắc 2
Nếu \(\lim {u_n} = \pm \infty \) và \(\lim {{\rm{v}}_n} = L \ne 0\) thì \(\lim \left( {{u_n}{v_n}} \right)\) được cho trong bảng sau:
Quy tắc 3
Nếu \(\lim {u_n} = L \ne 0\) và \(\lim {{\rm{v}}_n} = 0\) và \({v_n} > 0\) hoặc \({v_n}
B. Các dạng toán về giới hạn dãy số
Dạng 1. Tính giới hạn dãy số cho bởi công thức
Câu 1: \(\lim \left( {{n^3} – 2n + 1} \right)\) bằng
A. 0 .
B. 1 .
C. \( – \infty \).
D. \( + \infty \).
Đáp án D.
Lời giải
Ta có: \({n^3} – 2n + 1 = {n^3}\left( {1 – \frac{2}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}} \right)\).
Vì \(\lim {n^3} = + \infty \) và \(\lim \left( {1 – \frac{2}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}} \right) = 1 > 0\)
nên theo quy tắc \(2,\lim \left( {{n^3} – 2n + 1} \right) = + \infty \)
Câu 2: \(\lim \left( {5n – {n^2} + 1} \right)\) bằng
A. \( + \infty \).
B. \( – \infty \).
C. 5 .
D. \( – 1\).
Chọn B.
Hướng dẫn giải
Ta có \(5n – {n^2} + 1 = {n^2}\left( { – 1 + \frac{5}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\).
Vì \(\lim {n^2} = + \infty \) và \(\lim \left( { – 1 + \frac{5}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = – 1
nên \(\lim \left( {5n – {n^2} + 1} \right) = – \infty \) (theo quy tắc 2 ).
Câu 3: \(\lim {u_n}\), với \({u_n} = \frac{{5{n^2} + 3n – 7}}{{{n^2}}}\) bằng:
A. 0 .
B. 5 .
C. 3 .
D. \( – 7\).
Chọn B.
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\begin{array}{l}\lim {u_n} = \lim \left( {\frac{{5{n^2}}}{{{n^2}}} + \frac{{3n}}{{{n^2}}} – \frac{7}{{{n^2}}}} \right)\\ = \lim \left( {5 + \frac{3}{n} – \frac{7}{{{n^2}}}} \right) = 5\end{array}\).
Câu 4: \(\quad \lim {u_n}\), với \({u_n} = \frac{{2{n^3} – 3{n^2} + n + 5}}{{{n^3} – {n^2} + 7}}\) bằng
A. \( – 3\).
B. 1 .
C. 2 .
D. 0 .
Chọn C.
Hướng dẫn giải
Chia cả tử và mẫu của phân thức cho \({n^3}\) ( \({n^3}\) là lũy thừa bậc cao nhất của n trong phân thức), ta được: \({u_n} = \frac{{2 – \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{5}{{{n^3}}}}}{{1 – \frac{1}{n} + \frac{7}{{{n^3}}}}}\).
Vì \(\lim \left( {2 – \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{5}{{{n^3}}}} \right) = 2\) và
\(\lim \left( {1 – \frac{1}{n} + \frac{7}{{{n^3}}}} \right) = 1 \ne 0\)
nên \(\lim \frac{{2{n^3} – 3{n^2} + n + 5}}{{{n^3} – {n^2} + 7}} = \frac{2}{1} = 2.\)
Ví dụ 5: Giới hạn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), với \({u_n} = \frac{{{n^3} + 2n + 1}}{{{n^4} + 3{n^3} + 5{n^2} + 6}}\) bằng
A. 1 .
B. 0 .
C. \( + \infty \).
D. \(\frac{1}{3}\).
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Chia cả tử và mẫu của phân thức cho \({n^4}\) ( \({n^4}\) là bậc cao nhất của n trong phân thức), ta được
\(\begin{array}{l}\lim {u_n} = \lim \frac{{{n^3} + 2n + 1}}{{{n^4} + 3{n^3} + 5{n^2} + 6}}\\ = \lim \frac{{\frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^3}}} + \frac{1}{{{n^4}}}}}{{1 + \frac{3}{n} + \frac{5}{{{n^2}}} + \frac{6}{{{n^3}}}}} = \frac{0}{1} = 0.\end{array}\)
Ví dụ 6: Giới hạn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{3{n^3} + 2n – 1}}{{2{n^2} – n}}\), bằng
A. \(\frac{3}{2}\).
B. 0 .
C. \( + \infty \).
D. 1 .
Chọn C.
Hướng dẫn giải
Chia cả tử và mẫu cho \({n^2}\) ( \({n^2}\) là lũy thừa bậc cao nhất của n trong mẫu thức ), ta được \({u_n} = \frac{{3{n^3} + 2n – 1}}{{2{n^2} – n}} = \frac{{3n + \frac{2}{n} – \frac{1}{{{n^2}}}}}{{2 – \frac{1}{n}}}\).
Vậy \(\lim {u_n} = \lim \left( {\frac{{3n}}{2}} \right) = + \infty \).
Ví dụ 7: \(\lim \frac{{\sin (n!)}}{{{n^2} + 1}}\) bằng
A. 0 .
B. 1 .
C. \( + \infty \).
D. 2 .
Chọn A.
Hướng dẫn giải
Ta có \(\left| {\frac{{\sin (n!)}}{{{n^2} + 1}}} \right| \le \frac{1}{{{n^2} + 1}}\) mà \(\lim \frac{1}{{{n^2} + 1}} = 0\) nên chọn đáp án \({\bf{A}}\).
Ví dụ 8: \(\lim \frac{{{{( – 1)}^n}}}{{n(n + 1)}}\) bằng
A. \( – 1\).
B. 1 .
C. \( + \infty \).
D. 0 .
Chon D.
Hướng dẫn giải
Ta có \(\left| {\frac{{{{( – 1)}^n}}}{{n(n + 1)}}} \right| = \frac{1}{{n(n + 1)}}
mà \(\lim \frac{1}{{{n^2}}} = 0\) nên suy ra \(\lim \frac{{{{( – 1)}^n}}}{{n(n + 1)}} = 0\)
Ví dụ 9: Tính giới hạn \(I = \lim \left( {\sqrt {{n^2} – 2n + 3} – n} \right)\)
A. \(I = 1\).
B. \(I = – 1\).
C. \(I = 0\).
D. \(I = + \infty \).
Chọn B.
Hướng dẫn giải
Ta có
\(\begin{array}{l}I = \lim \left( {\sqrt {{n^2} – 2n + 3} – n} \right)\\ = \lim \frac{{\left( {\sqrt {{n^2} – 2n + 3} – n} \right)\left( {\sqrt {{n^2} – 2n + 3} + n} \right)}}{{\sqrt {{n^2} – 2n + 3} + n}}\end{array}\)
\(\begin{array}{l} = \lim \frac{{\left( {{n^2} – 2n + 3} \right) – {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} – 2n + 3} + n}}\\ = \lim \frac{{ – 2n + 3}}{{\sqrt {{n^2} – 2n + 3} + n}}\\ = \lim \frac{{ – 2 + \frac{3}{n}}}{{\sqrt {1 – \frac{2}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} + 1}}\\ = \frac{{ – 2}}{{\sqrt 1 + 1}} = – 1\end{array}\).
Ví dụ 10: \(\lim \left( {n – \sqrt[3]{{8{n^3} + 3n + 2}}} \right)\) bằng:
A. \( + \infty \).
B. \( – \infty \).
C. \( – 1\).
D. 0 .
Chọn B.
Hướng dẫn giải
Ta có \(\lim \left( {n – \sqrt[3]{{8{n^3} + 3n + 2}}} \right) = \lim n\left( {1 – \sqrt[3]{{8 + \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^3}}}}}} \right)\).
Vì \(\lim n = + \infty ,\lim \left( {1 – \sqrt[3]{{8 + \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^3}}}}}} \right) = 1 – \sqrt[3]{8} = – 1
nên \(\lim \left( {n – \sqrt[3]{{8{n^3} + 3n + 2}}} \right) = – \infty \).