Cấp số cộng, cấp số nhân, nhị thức Newton

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN VÀ NHỊ THỨC NEWTON

1. Cấp số cộng

+) Công thức tổng quát: ${\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}={\mathrm{u}}_1+(\mathrm{n}–1)\mathrm{d}$

Trong đó: ${\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}$ là số hạng thứ n

${\mathrm{u}}_1$ là số hạng đầu tiên của dãy

d là công sai.

+) Tính chất: Cho 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng ${\mathrm{u}}_{\mathrm{k}},{\mathrm{u}}_{\mathrm{k}+1},{\mathrm{u}}_{\mathrm{k}+2}$; ta có: ${\mathrm{u}}_{\mathrm{k}+1}=\frac{{\mathrm{u}}_{\mathrm{k}}+{\mathrm{u}}_{\mathrm{k}+2}}{2}$

+) Tổng n số hạng đầu tiên của dãy: ${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}({\mathrm{u}}_1+{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}})}{2}$

2. Cấp số nhân

+) Công thức tổng quát: ${\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}={\mathrm{u}}_1.{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}–1}$

Trong đó: ${\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}$ là số hạng thứ n

${\mathrm{u}}_1$ là số hạng đầu tiên của dãy

q là công bội.

+) Tính chất: Cho 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng ${\mathrm{u}}_{\mathrm{k}},{\mathrm{u}}_{\mathrm{k}+1},{\mathrm{u}}_{\mathrm{k}+2}$; ta có: ${\mathrm{u}}_{\mathrm{k}+1}=\sqrt{{\mathrm{u}}_{\mathrm{k}}.{\mathrm{u}}_{\mathrm{k}+2}}$

+) Tổng n số hạng đầu tiên của dãy: ${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{{\mathrm{u}}_1(1–{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}})}{1–\mathrm{q}}$

3. Nhị thức Newton

${\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)}^{\mathrm{n}}={\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}^0{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}+{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}^1{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}–1}\mathrm{b}+{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}^2{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}–2}{\mathrm{b}}^2+...+{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{n}}{\mathrm{b}}^{\mathrm{n}}=\sum _{\mathrm{k}=0}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{k}}{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}–\mathrm{k}}{\mathrm{b}}^{\mathrm{k}}$

${\left(\mathrm{a}–\mathrm{b}\right)}^{\mathrm{n}}={\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}^0{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}–{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}^1{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}–1}\mathrm{b}+{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}^2{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}–2}{\mathrm{b}}^2–...+\left(–1\right){\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{n}}{\mathrm{b}}^{\mathrm{n}}=\left(–1\right)\underset{\mathrm{k}=0}{\overset{\mathrm{n}}{{\mathrm{n}}^{}\sum }}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{k}}{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}–\mathrm{k}}{\mathrm{b}}^{\mathrm{k}}$

Số hạng thức k + 1 trong khai triển của nhị thức Newton là: ${\mathrm{T}}_{\mathrm{k}+1}={\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{k}}{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}–\mathrm{k}}{\mathrm{b}}^{\mathrm{k}}$

Xem thêm