Chuyên đề Tổ hợp 2023 hay, chọn lọc

Chuyên đề Tổ hợp

Phần 1: Quy tắc đếm và cách giải bài tập

1. Lý thuyết

a) Quy tắc cộng

* Định nghĩa:

Giả sử một công việc A được thực hiện theo k phương án khác nhau.

Phương án A₁ có m₁ cách thực hiện;

Phương án A₂ có m₂ cách thực hiện;

…

Phương án A_k có m_k cách thực hiện;

Và mỗi phương án A_i không trùng với bất kì cách thực hiện các phương án A_j (với j ≠ i; i,j ∈ )

Thì có m₁ + m₂ + … + m_k cách thực hiện A.

* Công thức quy tắc cộng:

Nếu A₁; A₂; … ; A_k đôi một rời nhau. Khi đó |A₁ ∪ A₂ ∪ … ∪ A_k| = |A₁| + |A₂| + …+ |A_k|

Với |A_i| là số phần tử của tập hợp A_i (với i ∈ )

|A₁ ∪ A₂ ∪ … ∪ A_k| là số phần tử của tập hợp A₁ ∪ A₂ ∪ … ∪ A_k.

b) Quy tắc nhân

Giả sử một công việc A được thực hiện theo k công đoạn liên tiếp.

Công đoạn A₁ có m₁ cách thực hiện;

Công đoạn A₂ có m₂ cách thực hiện;

…

Công đoạn A_k có m_k cách thực hiện;

Thì có m₁.m₂. … m_k cách thực hiện A.

* Công thức quy tắc nhân:

Nếu A₁; A₂; … ; A_k đôi một rời nhau. Khi đó 

Với |A_i| là số phần tử của tập hợp A_i (với i ∈ )

là số phần tử của tập hợp  .

c) Cách đếm

* Đếm trực tiếp:

– Chia các trường hợp có thể xảy ra

– Đếm số phương án thực hiện trong các trường hợp

– Kết quả của bài toán đếm là tổng số phương án đếm được trong các trường hợp trên.

* Đếm gián tiếp (Đếm phần bù): Dùng khi thực hiện công viêc phải chia nhiều trường hợp.

2. Các dạng bài tập

Dạng 1: Bài toán đếm số tự nhiên

Phương pháp giải: 

* Lập số tự nhiên thỏa mãn điều kiện:

– Gọi số tự nhiên có ba chữ số là với a,b,c ∈ ℕ; 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b, c ≤ 9.

Gọi số tự nhiên có bốn chữ số làvới a,b,c,d ∈ ℕ; 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b, c,d ≤ 9.

Tương tự với số có hai, năm, sáu,… chữ số.

– Chọn chữ số có điều kiện trước, chữ số không có điều kiện sau (Chẳng hạn chọn chữ số a trước vì có điều kiện a≠ 0. Ở bài toán đếm số chẵn, lẻ, chia hết cho 2, 5, 10 thì đếm chữ số hàng đơn vị trước)

– Dùng quy tắc cộng, nhân để đếm số cần lập.

* Phân biệt cách dùng quy tắc cộng và quy tắc nhân:

– Quy tắc cộng: Một công việc có thể thực hiện được theo các phương án khác nhau, xảy ra phương án 1 thì sẽ không xảy ra phương án 2.

– Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành khi phải thực hiện liên tiếp các công đoạn.

* Một số dấu hiệu khi lập số

– Dấu hiệu chia hết cho 2: Chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8.

– Dấu hiệu chia hết cho 5: Chữ số tận cùng là 0; 5.

– Dấu hiệu chia hết cho 3: Tổng các chữ số chia hết cho 3.

– Dấu hiệu chia hết cho 9: Tổng các chữ số chia hết cho 9.

– Dấu hiệu chia hết cho 4: Hai chữa số tận cùng chia hết cho 4.

– Dấu hiệu chia hết cho 6: Chia hết cho cả 2 và 3.

– Số tự nhiên chẵn: Chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8.

– Số tự nhiên lẻ: Chữ số tận cùng là 1; 3; 5; 7; 9.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Từ các số A = ; có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn:

a) Số gồm 5 chữ số

b) Số gồm 5 chữ số khác nhau

c) Số gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 2

d) Số gồm 5 chữ số lớn hơn 60000.

e) Số gồm 5 chữ số khác nhau, chứa chữ số 2 và chia hết cho 2.

Lời giải

Gọi số có 5 chữ số cần lập làvới a,b,c,d,e ∈ .

a) Số gồm 5 chữ số

Chọn a: có 7 cách chọn

Chọn b: có 7 cách chọn

Chọn c: có 7 cách chọn

Chọn d: có 7 cách chọn

Chọn e: có 7 cách chọn

Vậy có 7⁵ số.

b) Số gồm 5 chữ số khác nhau.

Chọn a từ tập A: có 7 cách chọn

Chọn b từ tập A\ (có 6 phần tử): có 6 cách chọn

Chọn c từ tập A\ (có 5 phần tử): có 5 cách chọn

Chọn d từ tập A\ (có 4 phần tử): có 4 cách chọn

Chọn e từ tập A\ (có 4 phần tử): có 3 cách chọn

Vậy có 7.6.5.4.3 = 2520 số.

c) Số gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 2

chia hết cho 2 nên e ∈

Chọn e: có 3 cách chọn

Chọn a từ tập A\ (có 6 phần tử): có 6 cách chọn

Chọn b từ tập A\ (có 5 phần tử): có 5 cách chọn

Chọn c từ tập A\ (có 4 phần tử): có 4 cách chọn

Chọn d từ tập A\ (có 3 phần tử): có 3 cách chọn

Vậy có 3.6.5.4.3 = 1080 số.

d) Số gồm 5 chữ số lớn hơn 60000.

Vì  > 60000

Nên a ∈ . Chọn a: có 2 cách chọn

Chọn b từ tập A\ (có 6 phần tử): có 6 cách chọn

Chọn c từ tập A\ (có 5 phần tử): có 5 cách chọn

Chọn d từ tập A\ (có 4 phần tử): có 4 cách chọn

Chọn e từ tập A\ (có 4 phần tử): có 3 cách chọn

Vậy có 2.6.5.4.3 = 720 số.

e) Số gồm 5 chữ số khác nhau, chứa chữ số 2 và chia hết cho 2.

+ Số có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 2 có 1080 số (câu c)

+ Ta lập số có 5 chữ số khác nhau, chia hết cho 2 và không chứa chữ số 2:

 chia hết cho 2 và không chứa 2 nên e ∈

Chọn e: có 2 cách chọn

Chọn a từ tập A\ (có 5 phần tử): có 5 cách chọn

Chọn b từ tập A\ (có 4 phần tử): có 4 cách chọn

Chọn c từ tập A\ (có 3 phần tử): có 3 cách chọn

Chọn d từ tập A\ (có 2 phần tử): có 2 cách chọn

Như vậy có 2.5.4.3.2 = 240 số có 5 chữ số khác nhau, chia hết cho 2 và không chứa chữ số 2.

Vậy có 1080 – 240 = 840 số có 5 chữ số khác nhau, chia hết cho 2 và chứa chữ số 2.

Ví dụ 2: Từ các số 0; 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn:

a) Số lẻ có 5 chữ số khác nhau

b) Số có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 5

Lời giải

a) Gọi số có 5 chữ số cần lập là với a ≠ 0, các chữ số được lấy từ A = .

 là số lẻ nên e ∈ . Chọn e: có 3 cách chọn

Chọn a từ tập A\ (có 4 phần tử): có 4 cách chọn

Chọn b từ tập A\ (có 4 phần tử): có 4 cách chọn

Chọn c từ tập A\ (có 3 phần tử): có 3 cách chọn

Chọn d từ tập A\ (có 2 phần tử): có 2 cách chọn

Vậy có 3.4.4.3.2 = 288 số lẻ có 5 chữ số khác nhau.

b) Gọi số có 5 chữ số cần lập là  với a ≠ 0, các chữ số được lấy từ A = .

 chia hết cho 5 nên e ∈

+ Trường hợp 1: e = 0

Chọn a từ tập A\ (có 5 phần tử): có 5 cách chọn

Chọn b từ tập A\ (có 4 phần tử): có 4 cách chọn

Chọn c từ tập A\ (có 3 phần tử): có 3 cách chọn

Chọn d từ tập A\ (có 2 phần tử): có 2 cách chọn

Như vậy có 5.4.3.2 = 120 số.

+ Trường hợp 2: e = 5

Chọn a từ tập A\ (có 4 phần tử): có 4 cách chọn

Chọn b từ tập A\ (có 4 phần tử): có 4 cách chọn

Chọn c từ tập A\ (có 3 phần tử): có 3 cách chọn

Chọn d từ tập A\ (có 2 phần tử): có 2 cách chọn

Như vậy có 4.4.3.2 = 96 số.

Vậy có tất cả 120 + 96 = 216 số có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.

Dạng 2: Bài toán đếm trong thực tế, phân công công việc

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 4 con đường. Có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố C, biết phải đi qua thành phố B.

Lời giải

Cách 1: Làm bằng cách liệt kê các con đường đi:

Căn cứ vào sơ đồ trên, ta có các con đường đi là: 1a, 1b, 1c, 1d, 2a, 2b, 2c, 2d, 3a, 3b, 3c, 3d. Vậy có 12 con đường.

Cách 2: Sử dụng quy tắc nhân

Đi từ A đến B có 3 con đường

Đi từ B đến C có 4 con đường

Vậy để đi từ A đến C có 3.4 = 12 con đường.

Ví dụ 2: Trong một lớp có 18 học sinh nam và 12 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn

a) Một bạn phụ trách lớp trưởng?

b) Hai bạn, trong đó có 1 bạn nam và 1 bạn nữ?

Lời giải

a) Chọn 1 bạn phụ trách lớp trưởng

Trường hợp 1: Chọn 1 bạn nam: có 18 cách chọn

Trường hợp 2: Chọn 1 bạn nữ: có 12 cách chọn

Vậy có 18 + 12 cách chọn.

b) Chọn 2 bạn, trong đó có 1 bạn nam và một bạn nữ

Chọn 1 bạn nam: có 18 cách chọn

Chọn 1 bạn nữ: có 12 cách chọn

Vậy có 18.12 = 216 cách chọn.

Dạng 3: Bài toán hình học

Phương pháp giải:

* Sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân

* Chú ý: 

– Đếm vectơ: Hai điểm đầu và cuối khác nhau (Tức là vectơ AB và vectơ BA tính 2 lần đếm khác nhau).

– Đếm đoạn thẳng: Hai đầu mút có vai trò như nhau (Tức là đoạn thẳng AB và đoạn thẳng BA chỉ tính 1 lần đếm)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Cho hai đường thẳng song song d, d’. Trên d lấy 10 điểm phân biệt, trên d’ lấy 15 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà đỉnh của nó được chọn từ 25 đỉnh nói trên?

A. 1050                     B. 675                       C. 1725                     D. 708750

Lời giải

Chọn C

+ Trường hợp 1: Chọn 2 điểm từ d và 1 điểm từ d’

Chọn điểm thứ nhất từ d: có 10 cách chọn

Chọn điểm thứ hai từ d: có 9 cách chọn

Vì thay đổi thứ tự lấy điểm không tạo ra cách chọn mới nên số cách chọn 2 điểm từ đường thẳng d là cách chọn.

Chọn 1 điểm từ d’: có 15 cách chọn

Như vậy có 45.15 = 675 cách chọn tam giác từ 2 điểm thuộc d và 1 điểm thuộc d’.

+ Trường hợp 2: Chọn 2 điểm từ d’ và 1 điểm từ d

Chọn điểm thứ nhất từ d’: có 15 cách chọn

Chọn điểm thứ hai từ d’: có 14 cách chọn

Vì thay đổi thứ tự lấy điểm không tạo ra cách chọn mới nên số cách chọn 2 điểm từ đường thẳng d’ là cách chọn.

Chọn 1 điểm từ d: có 10 cách chọn.

Như vậy có 105.10 = 1050 cách chọn tam giác từ 2 điểm thuộc d’ và 1 điểm thuộc d.

Vậy có 675 + 1050 = 1725 tam giác được tạo ra.

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng có 30 điểm. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ – không mà điểm đầu và điểm cuối được lấy từ 30 điểm trên?

A. 870                       B. 435                       C. 30²                        D. 2³⁰

Lời giải

Chọn A

Chọn điểm đầu: có 30 cách chọn

Chọn điểm cuối: có 29 cách chọn

Vậy có 30.29 = 870 vectơ được lấy từ 30 điểm.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho 6 chữ số 2; 3; 4; 5; 6; 7. Hỏi có bao nhiêu số gồm 3 chữ số được lập thành từ 6 chữ số đó?

A. 36                         B. 18                         C. 256                       D. 216

Câu 2. Cho các số 1; 5; 6; 7. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số với các chữ số khác nhau?

A. 12                         B. 24                         C. 64                         D. 256

Câu 3. Số các số gồm 5 chữ số khác nhau chia hết cho 10 là

A. 3260                     B. 3024                     C. 5436                     D. 12070

Câu 4. Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau ?

A. 154                       B. 145                       C. 144                       D. 155

Câu 5. Một người muốn chọn 1 bộ quần áo. Biết người đó có 5 cái quần và 4 cái áo sơ mi. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn.

A. 9                           B. 5                           C. 4                           D. 20

Câu 6. Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6, lập được bao nhiêu số có hai chữ số khác nhau chia hết cho 3?

A. 10                         B. 18                         C. 12                         D. 27

Câu 7. Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7, có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau chứa chữ số 2 và chia hết cho 5?

A. 20                         B. 21                         C. 22                         D. 23

Câu 8. Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ. Nhà trường cần chọn hai học sinh trong đó có một nam và một nữ đi dự trại hè của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?

A. 910 000                B. 91 000                  C. 910                       D. 605

Câu 9. Một đội học sinh giỏi của trường THPT, gồm 5 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11, 3 học sinh khối 10. Số cách chọn ba học sinh trong đó mỗi khối có một em?

A. 12                         B. 220                       C. 60                         D. 3

Câu 10. Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 nữ sinh, 3 nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ?

A. 6                           B. 72                         C. 720                       D. 144

Câu 11. An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con đường đi, từ nhà Bình tới nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Cường?

A. 6                           B. 4                           C. 10                         D. 24

Câu 12. Trong một hộp bóng, có 6 quả bóng xanh được đánh số từ 1 đến 6 và 4 quả bóng vàng được đánh số từ 7 đếm 10. Có bao nhiêu cách chọn một quả cầu trong hộp?

A. 24                         B. 10                         C. 6                           D. 4

Câu 13. Có 3 bông hoa hồng, 4 bông hoa cúc, 5 bông hoa ly. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 bông hoa sao cho có đủ 3 loại hoa.

A. 60                         B. 12                         C. 20                         D. 15

Câu 14. Cho hai đường thẳng song song d, d’. Trên d lấy 15 điểm phân biệt, trên d’ lấy 12 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà đỉnh của nó được chọn từ 27 đỉnh nói trên?

A. 4860                     B. 2250                     C. 4500                     D. 729

Câu 15. Trong mặt phẳng có 20 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Có đoạn thẳng mà 2 đầu mút được lấy từ 20 điểm trên?

A. 190                       B. 380                       C. 20²                        D. 2²⁰

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
D	B	B	C	D	C	D	B	C	B	D	B	A	B	A

Phần 2: Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp và cách giải bài tập

1. Lý thuyết

a) Hoán vị 

– Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 1). Khi xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập hợp A, (gọi tắt là một hoán vị của A).

– Số hoán vị của một tập hợp có n phần tử là P_n = n! = n(n – 1)(n – 2)…3.2.1.

– Đặc điểm: Đây là sắp xếp có thứ tự và số phần tử sắp xếp đúng bằng số phần tử trong nhóm (bằng n).

– Chú ý: Giai thừa: n! = n(n – 1)(n – 2)…3.2.1

Quy ước: 0! = 1; 1! = 1.

b) Chỉnh hợp

– Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k, (1 ≤ k ≤ n). Khi lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp n chập k của A).

– Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là: 

– Một số quy ước: 

– Đặc điểm: Đây là sắp xếp có thứ tự và số phần tử được sắp xếp là k: 0 ≤ k ≤ n    .

c) Tổ hợp

Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k,  (1 ≤ k ≤ n). Mỗi tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A.

– Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là :  .

– Tính chất :

– Đặc điểm: Tổ hợp là chọn phần tử không quan trọng thứ tự, số phần tử được chọn là k: 0 ≤ k ≤ n 

2. Các dạng bài tập

Dạng 1: Bài toán đếm số tự nhiên

Ví dụ 1. Từ các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Có bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn

a) Số có 7 chữ số khác nhau

b) Số có 5 chữ số khác nhau

c) Số có 7 chữ số khác nhau và có chữ số 1 là hàng chục nghìn

d) Số có 7 chữ số khác nhau và chữ số 2 không ở hàng đơn vị

Lời giải

a) Số các số có 7 chữ số khác nhau được lập từ 7 chữ số trên là 7! = 5040

b) Số các số có 5 chữ số khác nhau được lập từ 7 chữ số trên là 

c) Số có 7 chữ số khác nhau và có chữ số 1 là hàng chục nghìn

Chữ số hàng chục nghìn có 1 cách chọn (là chữ số 1)

Các hàng khác, số cách chọn là một hoán vị của 6 chữ số còn lại: 6!

Vậy có 1.6! = 720 số có 7 chữ số khác nhau và có chữ số 1 là hàng chục nghìn.

d) Số có 7 chữ số khác nhau và chữ số 2 không ở hàng đơn vị

Số các số có 7 chữ số khác nhau là 7!

Ta lập số có 7 chữ số khác nhau có chữ số 2 ở hàng đơn vị

Chữ số hàng đơn vị có 1 cách chọn (là chữ số 2)

Các hàng khác, số cách chọn là một hoán vị của 6 chữ số còn lại: 6!

Số các số có 7 chữ số và chữ số 2 ở hàng đơn vị là: 1.6!

Vậy có 7! – 6! = 4320 số có 7 chữ số khác nhau và chữ số 2 không ở hàng đơn vị.

Ví dụ 2. Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn

a) Số có 10 chữ số, trong đó chữ số 3 có mặt đúng 3 lần, các chữ số khác có mặt đúng một lần

b) Số chẵn có 5 chữ số khác nhau

c) Số có 6 chữ số khác nhau, trong đó chữ số 1 là hàng đơn vị

d) Số có 6 chữ số khác nhau, trong đó chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau.

Lời giải

a) Giả sử số có 10 chữ số cần lập ở 10 vị trí như hình dưới

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

+ Số các số có 10 chữ số, chữ số 3 có mặt 3 lần, các chữ số khác có mặt đúng 1 lần (Kể cả chữ số 0 đứng đầu)

Chữ số 3 có mặt đúng 3 lần, ta chọn 3 vị trí để đặt số 3: cócách chọn

Các chữ số khác có mặt đúng 1 lần là hoán vị của 7: có 7! cách chọn

Do đó cósố (kể cả số 0 đứng đầu).

+ Số các số có 10 chữ số, chữ số 3 có mặt 3 lần, các chữ số khác có mặt đúng 1 lần và chữ số 0 đứng đầu

Vị trí đầu tiên có 1 cách chọn (là chữ số 0)

Chữ số 3 có mặt đúng 3 lần, ta chọn 3 vị trí trong 9 vị trí còn lại để đặt số 3: cócách chọn

Các chữ số khác có mặt đúng 1 lần là hoán vị của 6: có 6! cách chọn.

Do đó có 

Vậy cósố có 10 chữ số, trong đó chữ số 3 có mặt đúng 3 lần, các chữ số khác có mặt đúng một lần.

b) Gọi sốlà số chẵn có 5 chữ số trong các số trên

 Vìlà số chẵn nên e ∈{0;2;4;6}

+ Trường hợp 1: e = 0

Số cách chọn a, b, c, d trong 7 số còn lại là 

Do đó có .

+ Trường hợp 2: e ∈{2;4;6}

Chọn e: có 3 cách chọn

Chọn a từ các số {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}\{e}: có 6 cách chọn

Chọn b, c, d từ các số {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}\{a, e}: có 

Do đó cósố

Vậy cósố chẵn có 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số trên.

c) Giả sử số có 6 chữ số cần lập ở 6 vị trí như hình dưới

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Lập số có 6 chữ số khác nhau, chữ số 1 ở hàng đơn vị

Vị trí (6) có 1 cách chọn (là chữ số 1)

Vị trí (1) có 6 cách chọn (là các chữ số 2; 3; 4; 5; 6; 7)

Bốn vị trí còn lại là chỉnh hợp chập 4 của 6 số còn lại: có số

Vậy cósố có 6 chữ số, trong đó chữ số 1 là hàng đơn vị.

d) Để lập số có số 2 và 3 đứng cạnh nhau ta ghép số 2 và 3 với nhau, đặt vào 1 vị trí.

Giả sử số có 6 chữ số cần lập ở 5 vị trí như hình dưới

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Vị trí (1) có 6 cách chọn (là 1; 2 và 3; 4; 5; 6; 7)

Các vị trí còn lại có là chỉnh hợp chập 4 của 6 số còn lại: có 

Ở vị chí chứa số 2 và 3: có 2! cách sắp xếp chữ số 2 và 3.

Vậy cósố có 6 chữ số khác nhau, trong đó chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau.

Dạng 2: Bài toán xếp chỗ

Phương pháp giải:

* Sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân

* Chú ý:

– Bài toán đếm yêu cầu sắp xếp phần tử A và B phải đứng cạnh nhau, ta bó (gộp) 2 phần tử làm 1, coi như chúng là 1 phần tử rồi sắp xếp.

– Bài toán đếm yêu cầu sắp xếp phần tử A và B không đứng cạnh nhau, ta đếm phần bù (Tức là đếm 2 phần tử A và B đứng cạnh nhau).

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Có 7 học sinh nữ và 3 học sinh nam. Ta muốn sắp xếp vào một bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để:

a) Sắp xếp tùy ý

b) Các bạn nam ngồi cạnh nhau và các bạn nữ ngồi cạnh nhau.

c) 3 học sinh nam ngồi kề nhau.

d) Không có 2 bạn nam nào ngồi cạnh nhau.

Lời giải

a) Sắp xếp 10 bạn tùy ý là hoán vị của 10: có 10! cách xếp.

b) Xếp các 7 bạn nữ ngồi cạnh nhau và 3 bạn nam ngồi cạnh nhau. Ta ghép tất cả 7 bạn nữ vào 1 “bó”, 3 bạn nam vào 1 “bó”

Rồi mang sắp xếp 2 “bó” ta được 2! cách xếp.

Trong 7 bạn nữ: ta có 7! cách xếp

Trong 3 bạn nam: ta có 3! cách xếp

Vậy có 2! . 7! . 3! = 60480 cách xếp.

c) Xếp 3 bạn nam ngồi cạnh nhau. Ta ghép 3 bạn nam vào 1 “bó”

Rồi mang sắp xếp 7 bạn nữ và 1 “bó” ta được 8! cách xếp

Trong 3 bạn nam: ta có 3! cách xếp

Vậy có 8! . 3! = 241920 cách xếp.

d) Để xếp không có bạn nam nào ngồi cạnh nhau, ta sắp xếp 7 bạn nữ vào bàn dài trước: ta được 7! cách xếp

Khi đó tạo ra 8 khoảng trống (là 6 khoảng trống giữa 2 bạn nữ và 2 khoảng trống ngoài cùng)

Ta xếp 3 bạn nam vào 3 khoảng trống bất kì (mỗi bạn ở 1 khoảng trống): ta được  .

Vậy cócách xếp.

Ví dụ 2. Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho:

a) A và F ngồi ở hai đầu ghế         

b) A và F ngồi cạnh nhau 

c) A và F không ngồi cạnh nhau.

Lời giải

a) Xếp A và F ở hai đầu ghế: có 2! cách xếp A và F

Các vị trí ở giữa: có 4! cách xếp

Vậy có 2! . 4! = 48 cách xếp sao cho A và F ở hai đầu ghế.

b) Xếp A và F ngồi cạnh nhau ta ghép A và F thành 1 “bó”: có 2 ! cách sắp xếp vị trí bên trong “bó”

Rồi mang sắp xếp 4 người còn lại và 1 “bó” trên ghế dài: ta được 5! cách xếp

Vậy có 2! . 5! = 240 cách xếp sao cho A và F ngồi cạnh nhau.

c) Số cách xếp 6 người bất kì là 6! cách

Số cách xếp sao cho A và F ngồi cạnh nhau là 240 cách (câu c)

Vậy có 6! – 240 = 480 cách xếp sao cho A và F không ngồi cạnh nhau.

Dạng 3: Bài toán chọn

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc cộng, nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Một hộp chứ 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh, 9 viên bi đỏ. Lấy 4 viên bi từ hộp, có bao nhiêu cách lấy được:

a) 4 viên cùng màu.

b) 2 viên bi trắng và 2 viên bi xanh.

c) Có ít nhất 1 viên màu đỏ.

d) Có đủ ba màu.

Lời giải

a) Trường hợp 1: Lấy được 4 viên bi cùng màu trắng: cách

Trường hợp 2: Lấy được 4 viên bi cùng màu xanh: cách

Trường hợp 3: Lấy được 4 viên bi cùng màu đỏ: cách

Vậy cócách bi chọn 4 viên bi cùng màu.

b) Chọn được 2 viên bi trắng: có cách

Chọn được 2 viên bi xanh: cócách

Vậy cócách chọn 2 viên bi trắng và 2 viên bi xanh.

c) Số cách chọn 4 viên bi bất kì (có tất cả 20 viên): cócách

Số cách chọn 4 viên bi không có màu đỏ (Còn lại 6 + 5 = 11 viên bi không phải màu đỏ): cócách

Vậy cócách chọn được ít nhất 1 viên màu đỏ.

d) Trường hợp 1: Chọn được 2 viên bi trắng, 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ: cócách

Trường hợp 2: Chọn được 1 viên bi trắng, 2 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ: cócách

Trường hợp 3: Chọn được 1 viên bi trắng, 1 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ: có cách

Vậy cócách chọn 4 viên bi có đủ ba màu.

Ví dụ 2: Một lớp học có 40 học sinh. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 bạn

a) Chọn bất kì

b) Chọn 5 bạn rồi phân công chức vụ, trong đó có 1 lớp trưởng, 1 bí thứ, 1 thư kí và 2 lớp phó.

Lời giải

a) Chọn bất kì 5 bạn trong 40 học sinh: cócách chọn.

b) Chọn 3 bạn, trong đó có 1 lớp trưởng, 1 bí thư, 1 thư kí: cócách

Chọn 2 bạn trong 37 bạn còn lại làm lớp phó: cócách.

Vậy cócách chọn.

Dạng 4: Bài toán liên quan đến hình học 

Phương pháp giải:

* Sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân

* Chú ý: 

– Đếm vectơ: Hai điểm đầu và cuối khác nhau (Tức là vectơ AB và vectơ BA tính 2 lần đếm khác nhau).

– Đếm đoạn thẳng: Hai đầu mút có vai trò như nhau (Tức là đoạn thẳng AB và đoạn thẳng BA chỉ tính 1 lần đếm)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho đa giác lồi n cạnh.

a) Có bao nhiêu vectơ khác vectơ không, có điểm đầu và điểm cuối là 2 đỉnh của đa giác.

b) Có bao nhiêu đường chéo của đa giác.

c) Có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác trên.

Lời giải

a) Cóvectơ khác vectơ không, có điểm đầu và điểm cuối là 2 đỉnh của đa giác.

b) Số đoạn thẳng được tạo ra từ n đỉnh của đa giác là:đoạn thẳng

Trong đó có n đoạn thẳng là cạnh của đa giác

Vậy cóđường chéo trong đa giác n cạnh.

c) Cótam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác trên.

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng có 2020 đường thẳng song song với nhau và 2021 đường thẳng song song khác cùng cắt nhóm 2020 đường thẳng đó. Có bao nhiêu hình bình hành được tạo ra từ các đường thẳng song song đó.

Lời giải

Hình bình hành được tạo ra bởi hai cặp đường thẳng đối nhau song song với nhau.

Từ 2020 đường thẳng song song, chọn 2 đường thẳng: cócách

Từ 2021 đường thẳng song song khác, chọn 2 đường thẳng: cócách

Vậy cóhình bình hành được tạo ra.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho các số 1; 5; 6; 7, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số với các chữ số khác nhau?

A. 12                         B. 24                         C. 64                         D. 256

Câu 2. Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho bạn An và bạn Dũng luôn ngồi ở hai đầu ghế?

A. 120                       B. 16                         C. 12                         D. 24

Câu 3. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ?

Câu 4. Có 6 học sinh và 2 thầy giáo được xếp thành hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho hai thầy giáo không đứng cạnh nhau?

A. 30240 cách           B. 720 cách               C. 362880 cách         D. 1440 cách

Câu 5. Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 người, hỏi có bao nhiêu cách lập?

A. 25                         B. 252                       C. 50                         D. 455

Câu 6. Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn một bó hồng gồm 7 bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và 3 bông hồng đỏ?

A. 10 cách                 B. 20 cách                 C. 120 cách               D. 150 cách

Câu 7. Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần?

A. 6720   số               B. 4032 số                 C. 5880 số                D. 840 s

Câu 8. Sắp xếp 5 học sinh lớp A và 5 học sinh lớp B vào hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy  5 ghế sao cho 2 học sinh ngồi đối diện nhau thì khác lớp. Khi đó số cách xếp là:

A. 460000                 B. 460500                 C. 460800                 D. 490900

Câu 9. Một nhóm gồm 6 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn từ đó ra 3 học sinh tham gia văn nghệ sao cho luôn có ít nhất một học sinh nam.

A. 245                       B. 3480                     C. 336                       D. 251

Câu 10. Một nhóm học sinh gồm 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 9 học sinh trên thành 1 hàng dọc sao cho nam nữ đứng xen kẽ?

A. 5760                     B. 2880                     C. 120                       D. 362880

Câu 11. Một tổ có 5 học sinh nữ và 6 học sinh nam. Số cách chọn ngẫu nhiên 5 học sinh của tổ trong đó có cả học sinh nam và học sinh nữ là ?

A. 545                       B. 462                       C. 455                       D. 456

Câu 12. Một hộp đựng 8 viên bi màu xanh, 5 viên bi đỏ, 3 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách chọn từ hộp đó ra 4 viên bi sao cho số bi xanh bằng số bi đỏ?

A. 280                       B. 400                       C. 40                         D. 1160

Câu 13. Một túi đựng 6 bi trắng, 5 bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó. Hỏi có bao nhiêu cách lấy mà 4 viên bi lấy ra có đủ hai màu.

A. 300                       B. 310                       C. 320                       D. 330

Câu 14. Trong mặt phẳng cho một tập hợp gồm 6 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vectơ khác vectơcó điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp điểm này?

A. 15                         B. 12                         C. 1440                     D. 30

Câu 15. Cho hai đường thẳng d₁ và d₂ song song với nhau. Trên d₁ lấy 5 điểm phân biệt, trên d₂ lấy 7 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó được lấy từ các điểm trên hai đường thẳng d₁ và d₂.

A. 220                       B. 175                       C. 1320                     D. 7350

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
B	C	C	A	B	D	C	C	D	B	C	B	B	D	B

Phần 3: Nhị thức Niu tơn và cách giải các dạng bài tập

1. Lý thuyết

a) Định nghĩa: 

b) Nhận xét:

Trong khai triển Niu tơn (a + b)ⁿ có các tính chất sau

– Gồm có n + 1 số hạng

– Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n

– Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n

– Các hệ số có tính đối xứng: 

– Quan hệ giữa hai hệ số liên tiếp: 

– Số hạng tổng quát thứ k + 1 của khai triển: 

Ví dụ: Số hạng thứ nhất, số hạng thứ k: 

c) Hệ quả:

Ta có : 

Từ khai triển này ta có các kết quả sau

2. Các dạng bài tập

Dạng 1. Tìm số hàng chứa x^m trong khai triển

Phương pháp giải:

* Với khai triển (ax^p + bx^q)ⁿ (p, q là các hằng số)

Ta có: 

Số hạng chứa x^m ứng với giá trị k thỏa mãn: np – pk + qk = m 

Từ đó tìm 

Vậy hệ số của số hạng chứa x^m là:với giá trị k đã tìm được ở trên.

* Với khai triển P(x) = (a + bx^p + cx^q)ⁿ (p, q là các hằng số)

Ta có: 

Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của x^m.

* Chú ý:

– Nếu k không nguyên hoặc k > n thì trong khai triển không chứa x^m, hệ số phải tìm bằng 0.

– Nếu hỏi hệ số không chứa x tức là tìm hệ số chứa x⁰.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển đa thức của: x(1 – 2x)⁵ + (1 + 5x)¹⁰ .

Lời giải

Khai triển: 

Khai triển: 

Do đó: 

Cần tìm hệ số của x⁵ trong khai triển thì 

 

Vậy hệ số của đa thức trong khai triển là: 

Ví dụ 2: Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau, biết rằngvới x > 0.

Lời giải

Ta có:(Điều kiện: n ≥ 2, n ∈ ℕ)

 Do đó ta được khai triển: 

 

Cần tìm hệ số không chứa x trong khai triển nên 36 − 4k = 0 ⇔ k = 9.

Vậy hệ số không chứa x của khai triển là:.

Ví dụ 3: Tìm hệ số của x¹⁵ trong khai triển (1 – x + 2x²)¹⁰.

Lời giải

Ta có khai triển: 

Cần hệ số của x¹⁵ trong khai triển nên 

   

Trường hợp 1: k = 8; j = 7, ta được 1 hệ số là 

Trường hợp 2: k = 9; j = 6, ta được 1 hệ số là 

Trường hợp 3: k = 10; j = 5, ta được 1 hệ số là 

Vậy hệ số của x¹⁵ trong khai triển là: – 46080 – 53760 – 8064 = – 107904.

Dạng 2. Bài toán tính tổng

Phương pháp giải:

Dựa vào khai triển nhị thức Niu tơn

. 

Ta chọn những giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức trên.

Một số kết quả ta thường hay sử dụng:

 

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính tổng

 

Lời giải

Xét khai triển: 

Chọn x = 1, ta có 

Vậy A = 2²⁰²¹.

Xét khai triển: 

Chọn x = – 3, ta có 

Xét hai khai triển: 

Cộng vế với vế của hai khai triển ta được:

Chọn x = 1, ta có: 

⇔ 2²⁰²¹ = 2C ⇔ C = 2²⁰²⁰

Vậy C = 2²⁰²⁰.

Ví dụ 2: Tìm số n thỏa mãn

 

Lời giải

Xét khai triển: 

Chọn x = 2, ta có: 

 

Thay vào phương trình ta có 3ⁿ = 243 = 5⁵ ⇔ n = 5.

Vậy n = 5.

Xét hai khai triển: 

Trừ cả hai vế của khai triển ta có: 

 

Chọn x = 1, ta có 

Thay vào phương trình được: .

Vậy n = 6.

Ví dụ 3. Cho khai triển (1 – 2x)²⁰ = a₀ +a₁x + a₂x² + … + a₂₀x²⁰. Giá trị của a₀ + a₁ + a₂ + … + a₂₀ bằng:

A. 1                           B. 3²⁰                         C. 0                           D. – 1

Lời giải

Chọn A

Xét khai triển:

 

Tổng các hệ số của khai triển là

 

Chọn x = 1, ta có S = (1 – 2.1)²⁰ = (– 1)²⁰ = 1.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức (2x – 3)²⁰²⁰

A. 2021                     B. 2019                     C. 2018                     D. 2020

Câu 2. Hệ số x⁶ trong khai triển (1 – 2x)¹⁰ thành đa thức là:

A. – 13440                B. – 210                    C. 210                       D. 13440

Câu 3. Số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu tơn(x ≠ 0) là

Câu 4. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu tơn ,  

 

Câu 5. Tìm hệ số của số hạng chứa x⁶ trong khai triển x³(1 – x)⁸

A. – 28                      B. 70                         C. – 56                      D. 56

Câu 6. Trong khai triển biểu thức (x + y)²¹ , hệ số của số hạng chứa x¹³y⁸ là:

A. 116280                 B. 293930                 C. 203490                 D. 1287

Câu 7. Hệ số của x⁶ trong khai triển  bằng:

A. 792                       B. 210                       C. 165                       D. 252

Câu 8. Trong khai triển , hệ số của x³, (x > 0) là: 

A. 60                         B. 80                         C. 160.                      D. 240

Câu 9. Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển P(x) = (x + 1)⁶ + (x + 1)⁷ + … + (x + 1)¹²

A. 1715.                    B. 1711.                    C. 1287.                    D. 1716.

Câu 10. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  biết 

A. – 3003                  B. – 5005                  C. 5005                     D. 3003

Câu 11. Tính tổng  

A. S = 2¹⁰                  B. S = 4¹⁰                  C. S = 3¹⁰                  D. S = 3¹¹

Câu 12. Tổng   bằng

A. 4²⁰²¹                      B. 2²⁰²¹ + 1                C. 4²⁰²¹ – 1                D. 2²⁰²¹ – 1 

Câu 13. Số tập con của tập hợp gồm 2022 phần tử là

A. 2022                     B. 2²⁰²²                      C. 2022²                    D. 2.2022

Câu 14. Trong khai triển (x – 2)¹⁰⁰ = a₀ + a₁x¹ + … + a₁₀₀x¹⁰⁰. Tổng hệ số: a₀ + a₁+ … + a₁₀₀ là

A. – 1                        B. 1                           C. 3¹⁰⁰                       D. 2¹⁰⁰ 

Câu 15. Tổng   Bằng:

A. 2^n-2                        B. 2^n-1                        C. 2^2n-2                      D. 2^2n-1 

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
A	D	D	D	C	C	B	A	A	D	C	D	B	B	D

Phần 4: Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết

1. Lý thuyết

– Hoán vị của n phần tử: P_n = n! = n(n – 1)(n – 2)…3.2.1.

– Chỉnh hợp chập k của n (0 ≤ k ≤ n): 

– Tổ hợp chập của n (0 ≤ k ≤ n): 

– Tính chất của tổ hợp: 

 

2. Phương pháp giải

Sử dụng công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp đưa về các phương trình, bất phương trình đã học và giải quyết. 

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình: 

 

Lời giải

Điều kiện: 

Phương trình trên tương đương với:

 ⇔ 2x ( x − 1) = x + 23x

⇔ 2x² − 2x − 24x = 0

⇔ 2x² − 26x = 0

⇔ x² − 13x = 0

⇔ 

Vậy nghiệm của phương trình là x = 13.

Điều kiện: 

Phương trình trên tương đương với

 

Vậy nghiệm của phương trình là: n = 6.

c) 

Điều kiện: 

⇔(x − 1)[(x + 1)x + 2(x − 2)(x − 3) − 42] = 0

⇔(x − 1)(x² + x + 2x² − 10x + 12 -42 = 0

⇔(x − 1)(3x²  − 9x − 30) = 0

⇔(x − 1).3(x − 5)(x + 2) = 0

⇔ 

Vậy nghiệm của phương trình là x = 5.

Ví dụ 2: Giải bất phương trình

Lời giải

a) Điều kiện: n ≥ 3, n ∈ ℕ 

⇔n(n − 1)(n − 2) − 15(n − 1)

⇔(n − 1)(n²  − 2n − 15)

⇔(n − 1)(n + 3)(n − 5)

Vì n ≥ 3 nên n – 1 > 0 và n + 3 > 0

⇒ n − 5

Kết hợp với điều kiện, ta có n = 3 và n = 4 thỏa mãn.

Vậy nghiệm của bất phương trình: n = 3; n = 4.

b) Điều kiện: n ≥ 3, n ∈ ℕ.

⇔n(n − 1)(n − 2)

⇔n³ − 3n² + 2n2  − n + 12

⇔n³ − 4n² + 3n − 12

⇔(n − 4)(n² + 3)

⇔n

Kết hợp với điều kiện, ta có n = 3 thỏa mãn.

Vậy nghiệm của bất phương trình: n = 3.

Ví dụ 3. Một đa giác có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?

Lời giải

Gọi số đỉnh của đa giác là n. Điều kiện: n ∈ ℕ và n > 3. 

Vậy số cạnh của đa giác cũng là n. 

Số đoạn thẳng có hai đầu mút từ n đỉnh trên làđoạn thẳng

Do đó số đường chéo của đa giác là − n.

Theo giả thiết, số đường chéo gấp đôi số cạnh nên ta có:

− n = 2n

 

Vậy đa giác có 7 cạnh.

4. Bài tập tự luyện

Câu 1. Nghiệm của phương trình: là

A. 6                           B. 5                           C. 3                           D. 4

Câu 2. Tập hợp tất cả nghiệm thực của phương trìnhlà

A.{-1}                       B. {3}                       C.{-1;3}                    D.{1} 

Câu 3. Nghiệm của phương trình là

A. Một số khác.         B. x = 6                     C. x = 5                     D. x = 4

Câu 4. Tìm tập nghiệm của phương trình  .

A.{0}                        B.{-5; 5}                   C.{5}                        D.{-5; 0; 5}

Câu 5. Cho số tự nhiên n thỏa mãn. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. n chia hết cho 7    B. n chia hết cho 5     C. n chia hết cho 2    D. n chia hết cho 3

Câu 6. Nghiệm của phương trìnhlà

A. x = 5                     B. x = 11                   C. x = 11; x = 5        D. x = 10; x = 2 

Câu 7. Tổng của tất cả các số tự nhiên n thỏa mãnlà

A. 13                       B. 11                         C. 10                         D. 12

Câu 8. Tính tổng tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn 

A. 13                         B. 10                         C. 12                         D. 11

Câu 9. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn. Hệ số của số hạng chứa x⁹ của khai triển biểu thứcbằng

A. 18564                   B. 64152                   C. 192456                 D. 194265

Câu 10. Tìm hệ số của số hạng chứa x⁸ trong khai triển nhị thức Niu tơn của(x ≠ 0), biết số nguyên dương n thỏa mãn .

 

Câu 11. Nghiệm của bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) là

A. 0 ≤ n ≤ 2               B. 1 ≤ n ≤ 5                C. 2 ≤ n ≤ 5               D. 2 ≤ n

Câu 12. Nghiệm của bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) là

A. 2 ≤ n ≤ 5               B. 0 ≤ n ≤ 2                C. 1 ≤ n ≤ 5                D. 2 ≤ n

Câu 13. Nghiệm của phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) là

A. n ≥ 2                    B. n ≥ 3                   C. n ≥ 5                    D. n ≥ 4

Câu 14. Nghiệm bất phương trình sau: là

A. x = 3; x = 4          B. x = 3                     C. x = 2; x = 3; x = 4     D. x = 4

Câu 15. Trên đường thẳng d₁ cho 5 điểm phân biệt, trên đường thẳng d₂ song song với đường thẳng d₁, cho n điểm phân biệt. Biết có tất cả 175 tam giác được tạo thành mà 3 đỉnh lấy từ n + 5 điểm trên. Giá trị của n là

A. 10                         B. 7                           C. 8                           D. 9

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
B	B	C	C	A	B	B	D	C	B	C	D	A	A	B

Phần 5: Cách xác định biến cố và tính xác xuất của biến cố

1. Lý thuyết

a) Phép thử ngẫu nhiên

+ Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà:
 – Kết quả của nó không đoán trước được;

– Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó.

+ Phép thử thường được kí hiệu: T.

+ Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử 

Kí hiệu: Ω. Số phần tử trong không gian mẫu kí hiệu là |Ω| hoặc n(Ω).

b) Biến cố

– Biến cố A liên quan đến phép thử  T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T.

– Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra, được gọi là kết quả thuận lợi cho A.
– Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là Ω_A hoặc A.

c)   Tính chất của biến cố

Giải sử Ω là không gian mẫu, A và B là các biến cố.

+ Ω \ A =được gọi là biến cố đối của biến cố A.

+ A ∪ B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A hoặc B xảy ra.

+ A ∩ B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A và B cùng xảy ra. A ∩ B còn được viết là AB.

+ Nếu A ∩ B = ∅, ta nói A và B xung khắc.

d) Xác suất của biến cố

* Định nghĩa cổ điển của xác suất:

Cho T là một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu Ω là một tập hữu hạn.

Giả sử A là một biến cố được mô tả bằng Ω_A ⊂ Ω. Xác suất của biến cố A,  kí hiệu bởi P(A), được cho bởi công thức

Trong đó: |Ω_A| là số phần tử của biến cố A

|Ω| là số phần tử của không gian mẫu Ω.

* Tính chất

0 ≤ P(A) ≤ 1

P(Ω) = 1

P(∅) = 0

2. Các dạng toán

Dạng 1. Xác định không gian mẫu và biến cố

Phương pháp giải:

– Cách 1: Liệt kê các phần tử của không gian mẫu và biến cố rồi đếm.

– Cách 2: Sử dụng quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để đếm só phần tử của không gian mẫu và biến cố.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất 3 lần và quan sát sự xuất hiện mặt sấp (S) và mặt ngửa (N).

a) Mô tả không gian mẫu. Tính số phần tử của không gian mẫu

b) Xác định và tính số phần tử  của các biến cố

A: “Lần gieo đầu xuất hiện mặt sấp”

B: “Ba lần xuất hiện các mặt như nhau”

C: “Đúng 2 lần xuất hiện mặt ngửa”

D: “Ít nhất 1 lần xuất hiện mặt sấp”.

Lời giải

a) Không gian mẫu Ω = {SSS; SSN; SNS; SNN; NNN; NNS; NSN; NSS}

Do đó: Số phần tử của không gian mẫu: |Ω| = 8.

(Cách khác: Số phần tử được tính bằng: 2.2.2 = 8)

b) A = {SSS; SSN; SNS; SNN}; |A| = 4

B = {SSS; NNN}; |A| = 2

C = {SNN; NNS; NSN}; |C| = 3

D = {SSS; SSN; SNS; SNN; NNS; NSN; NSS}; |D| = 7

Ví dụ 2. Một hộp đựng 8 viên bi vàng, 7 viên bi xanh và 10 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó. Tính số phần tử của:

a) Không gian mẫu

b) Các biến cố:

A: “4 viên bi lấy ra có đúng 2 màu vàng”

B: “4 viên bi lấy ra có ít nhất 1 màu xanh”

C: “4 viên bi lấy ra có đúng một màu”

D: “4 viên bi lấy ra có đủ 3 màu”.

Lời giải

a) Số cách chọn 4 viên bi từ hộp đó: 

Số phần tử của không gian mẫu là |Ω| = 12650.

b) * Số cách chọn 4 viên bi trong đó có đúng 2 màu vàng: .

Do đó: |A| = 3808.

* Số cách chọn 4 viên bi trong đó không có màu xanh: 

Số cách chọn 4 viên bi trong đó có ít nhất 1 màu xanh là: 

Do đó: |B| = 9590.

* Số cách chọn 4 viên bi trong đó có đúng một màu là: 

Do đó: |C| = 315.

* Số cách chọn 4 viên bi sao cho có đủ 4 màu

Trường hợp 1: 2 viên bi vàng, 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ: 

Trường hợp 2: 1 viên bi vàng, 2 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ: 

Trường hợp 3: 1 viên bi vàng, 1 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ: 

Do đó: |D| = 1960 + 1680 + 2520 = 6160.

Dạng 2: Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính xác suất theo định nghĩa cổ điển: 

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Gieo một con súc sắc 3 lần. Tính xác xuất để

a) Ba lần đều xuất hiện mặt 1 chấm

b) Ít nhất 1 lần xuất hiện mặt 6 chấm

c) Tổng số chấm trong 3 lần gieo bằng 6

Lời giải

Số phần tử không gian mẫu: |Ω| = 6.6.6 = 6³ = 216.

a) Gọi A là biến cố: “Ba lần gieo đều xuất hiện 1 chấm”

Số phần tử của A là: |A| =1

Xác suất để ba lần gieo đều xuất hiện mặt 1 chấm là: 

b) Gọi B là biến cố: “Ít nhất 1 lần xuất hiện mặt 6 chấm”

Số cách không xuất hiện mặt 6 chấm là: 5.5.5 = 125

Do đó |B| = 216 – 125 = 91.

Xác suất để có ít nhất 1 lần xuất hiện mặt 6 chấm:   

c) Gọi C là biến cố: “Tổng số chấm trong 3 lần gieo bằng 6”

Để có tổng số chấm là 6 ta có các bộ 3 số như nhau: (1; 1; 4), (1; 2; 3), (2; 2; 2)

Trường hợp 1: Xuất hiện 2 lần mặt 1 chấm và 1 lần mặt 4 có 3 cách

Trường hợp 2: Xuất hiện 1 lần mặt 1 chấm, 1 lần mặt 2 chấm, 1 lần mặt 3 chấm có 3! = 6 cách

Trường hợp 3: Xuất hiện 3 lần mặt 2 chấm có 1 cách.

Do đó: |C| = 3 + 6 + 1 = 10

Xác suất để có tổng số chấm trong 3 lần gieo bằng 6 là: 

Ví dụ 2. Xếp 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ vào một bàn dài có 12 ghế. Tính xác suất để:

a) Các học sinh nam ngồi cạnh nhau

b) Không có hai học sinh nam nào ngồi cạnh nhau.

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu là: |Ω| = 12!

a) Gọi A là biến cố: “Các học sinh nam ngồi cạnh nhau”

Số cách xếp các học sinh nam ngồi cạnh nhau là: |A| = 8! . 5!

Xác suất để các học sinh nam ngồi cạnh nhau là: 

b) Gọi B là biến cố: “Không có hai học sinh nam nào ngồi cạnh nhau”

Xếp 7 học sinh nữ vào bàn dài ta có: 7! cách xếp

Khi đó tạo ra 8 chỗ trống (6 chỗ trống giữa 2 bạn nữ và 2 chỗ trống 2 bên). Xếp 5 bạn nam vào các chỗ trống đó (Mỗi chỗ trống chỉ được 1 bạn): cócách xếp

Do đó số cách xếp để không có hai học sinh nam nào ngồi cạnh nhau là: 

Xác xuất để không có hai học sinh nam nào ngồi cạnh nhau là: 

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Gieo ba con súc sắc. Xác suất để số chấm xuất hiện trên ba con súc sắc như nhau là?

 

Câu 2. Một hộp có 5 viên bi xanh, 6 viên bi đỏ và 7 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi trong hộp, tính xác suất để 5 viên bi được chọn có đủ màu và số bi đỏ bằng số bi vàng?

 

Câu 3. Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số 1; 2; 3; 4; … ; 9. Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ và nhân hai số ghi trên hai thẻ lại với nhau. Tính xác suất để tích nhận được là số chẵn.

 

Câu 4. Một hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên 1 thẻ từ hộp đó. Tính xác suất thẻ lấy được ghi số lẻ và chia hết cho 3.

A. 0,3                        B. 0,5                        C. 0,2                        D. 0,15

Câu 5. Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Chọn ngẫu nhiên ra 8 tấm thẻ, tính xác suất để có 3 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10.

 

Câu 6. Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn đều là nữ.

 

Câu 7. Một đội gồm 5 nam và 8 nữ. Lập một nhóm gồm 4 người hát tốp ca. Tính xác suất để trong bốn người được chọn có ít nhất ba nữ.

 

Câu 8. Một hộp chứa 11 quả cầu gồm 5 quả cầu màu xanh và 6 quả cầu màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để chọn ra 2 quả cầu cùng màu bằng

 

Câu 9. Một bình đựng 8 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Xác suất để có được ít nhất hai viên bi xanh là bao nhiêu?

 

Câu 10. Một lô hàng có 20 sản phẩm, trong đó 4 phế phẩm. Lấy tùy ý 6 sản phẩm từ lô hàng đó. Hãy tính xác suất để trong 6 sản phẩm lấy ra có không quá 1 phế phẩm.

 

Câu 11. Gieo ngẫu nhiên 2 con xúc sắc cân đối đồng chất. Tìm xác suất của biến cố: “Hiệu số chấm xuất hiện trên 2 con xúc sắc bằng 1”.

 

Câu 12. Thầy giáo có 10 câu hỏi trắc nghiệm, trong đó có 6 câu đại số và 4 câu hình học. Thầy gọi bạn Nam lên trả bài bằng cách chọn lấy ngẫu nhiên 3 câu hỏi trong 10 câu hỏi trên để trả lời. Hỏi xác suất bạn Nam chọn ít nhất có một câu hình học là bằng bao nhiêu?

 

Câu 13. Cho hai đường thẳng song song d₁; d₂. Trên d₁ có 6 điểm phân biệt được tô màu đỏ. Trên d₂ có 4 điểm phân biết được tô màu xanh. Xét tất cả các tam giác được tạo thành khi nối các điểm đó với nhau. Chọn ngẫu nhiên một tam giác, khi đó xác suất để thu được tam giác có hai đỉnh màu đỏ là:

 

Câu 14. Danh sách lớp của bạn Nam đánh số từ 1 đến 45. Nam có số thứ tự là 21. Chọn ngẫu nhiên một bạn trong lớp để trực nhật. Tính xác suất để chọn được bạn có số thứ tự lớn hơn số thứ tự của Nam.

 

Câu 15. Trong giải cầu lông kỷ niệm ngày truyền thống học sinh sinh viên có 8 người tham gia trong đó có hai bạn Việt và Nam. Các vận động viên được chia làm hai bảng A và B, mỗi bảng gồm 4 người. Giả sử việc chia bảng thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên, tính xác suất để cả 2 bạn Việt và Nam nằm chung 1 bảng đấu.

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
C	B	D	D	A	A	A	C	D	B	C	A	B	D	D

Phần 6: Tổng hợp Công thức tính xác suất hay nhất

1. Lý thuyết

a) Công thức cộng xác suất

– Nếu A ∩ B = ∅ thì A và B được gọi là hai biến cố xung khắc.

– Nếu hai biến cố A, B xung khắc nhau thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

– Nếu các biến cố A₁ ; A₂; A₃ ; _… A_n đôi một xung khắc với nhau thì

P(A₁ ∪ A₂ ∪ …∪ A_K ) = P(A₁) + P(A₂) +… + P(A_K) 

– Công thức tính xác suất của biến cố đối: 

– Mở rộng: Với hai biến cố bất kì cùng liên quan đến phép thử thì:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

b) Công thức nhân xác suất

– Hai biến cố gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra biến cố kia.

– Nếu A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P(A ∩ B) = P(A). P(B)

– Một cách tổng quát, nếu k biến cố A₁,A₂,A₃,…,A_k là độc lập thì 

P(A₁ ∩ A₂ ∩ A₃ ∩…∩ A_K ) = P(A₁).P(A₂).P(A₃)…P(A_K)

* Chú ý:

Nếu A và B độc lập thì A và  độc lập, B và  độc lập,  và  độc lập. Do đó nếu A và B độc lập thì ta còn có các đẳng thức

 

2. Các dạng toán

Dạng 1: Tính xác suất của biến cố xung khắc, biến cố đối

Phương pháp giải:

+ Tính gián tiếp xác suất thông qua biến cố đối.

– Xác định phép thử T và tính số phần tử của không gian mẫu |Ω|

– Xác định biến cố A, từ đó suy ra biến cố 

– Tính số phần tử tập mô tả biến cố và tính xác suất 

– Xác suất biến cố A là P(A) = 1 − P(). 

+ Tính biến cố xung khắc:

– Xác định biến cố xung khắc

– Tính biến cố xung khắc theo công thức cộng xác suất. 

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Một hộp gồm 20 viên bi, trong đó có 12 viên bi xanh, 8 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi ra khỏi hộp. Tính xác suất để:

a) Lấy được ít nhất một viên bi màu vàng

b) Lấy được đủ 2 màu.

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu: 

a) Gọi A là biến cố: “Lấy được ít nhất một viên màu vàng”

Thì là biến cố: “Không lấy được màu vàng”

Số cách lấy 3 viên bi không có màu vàng là: 

Xác suất để lấy được ít nhất một viên màu vàng là: .

b) Gọi B là biến cố: “Lấy được 1 viên bi xanh và 2 viên bi vàng”

C là biến cố: “Lấy được 2 viên bi xanh và 1 viên bi vàng”

Khi đó B ∪ C là biến cố: “Lấy được 3 viên đủ 2 màu”

Ta thấy B và C là hai biến cố xung khắc. P( B ∪ C) = P(B) + P(C)

Số cách lấy được 1 viên bi xanh và 2 viên bi vàng: 

Số cách lấy được 2 viên bi xanh và 1 viên bi vàng: 

Xác suất để lấy được đủ 2 màu là: 

Ví dụ 2. Trong một hộp có 20 thẻ, được đánh số thứ tự từ 1 đến 20. Tính xác suất để chọn ra được 2 thẻ sao cho

a) Tổng hai số trên thẻ là một số lẻ

b) Tích hai số trên thẻ là một số chẵn.

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu: 

a) Gọi A là biến cố: “Tổng hai số trên thẻ là số lẻ”

Số cách chọn sao cho tổng hai số trên thẻ là số lẻ, tức là chọn được 1 số lẻ và 1 số chẵn: 

Xác suất để tổng hai số trên thẻ là số lẻ: 

b) Gọi B là biến cố: “Tích hai số trên thẻ là số chẵn”

Khi đó là biến cố: “Tích hai số trên là số lẻ”

Số cách chọn sao cho tích hai số là số lẻ, tức là chọn được cả hai thẻ đều là lẻ: 

Xác suất để chọn sao cho tích hai số trên thẻ là số chẵn: .

Dạng 2: Tính xác suất sử dụng công thức cộng và nhân

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định biến cố của các xác suất, có thể gọi tên các biến cố A; B; C; D để biểu diễn.

Bước 2: Tìm mối quan hệ giữa các biến cố vừa đặt tên, biểu diễn biến cố trung gian và quan trọng nhất là biến cố đề bài đang yêu cầu tính xác suất thông qua các biến cố ở bước 1.

Bước 3: Sử dụng các mối quan hệ vừa xác định ở bước 2 để chọn công thức cộng hay công thức nhân phù hợp.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Gieo một con súc sắc 3 lần liên tiếp. Tính xác suất để

a) Xuất hiện mặt 6 chấm trong cả ba lần

b) Xuất hiện các mặt có số chấm giống nhau

c) Xuất hiện mặt 3 chấm ít nhất 1 lần

Lời giải

a) Xác suất để 1 lần súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm là  

Xác suất để 3 lần liên tiếp xuất hiện mặt 6 chấm là:  

b) Xác suất để 3 lần liên tiếp xuất hiện mặt có số chấm giống nhau:

 (dựa vào câu a)

c) Xác suất để 1 lần súc sắc không xuất hiện mặt 3 chấm là 

Xác suất để 3 lần liên tiếp không xuất hiện mặt 3 chấm là: 

Xác suất để xuất hiện mặt 3 chấm ít nhất 1 lần là: 

Ví dụ 2. Một cuộc thi bắn súng, có 3 người tham gia thi. Trong đó xác suất bắn trúng của người thứ nhất là 0,9; người thứ 2 là 0,7 và người thứ 3 là 0,8. Tính xác xuất để:

a) Cả ba người đều bắn trúng

b) Đúng 2 người bắn trúng

c) Không người nào bắn trúng

d) Ít nhất một người bắn trúng.

Lời giải

Gọi A là biến cố: “Người thứ nhất bắn trúng”; P(A) = 0,9

B là biến cố: “Người thứ hai bắn trúng”; P(B) = 0,7

C là biến cố: “Người thứ ba bắn trúng”; P(C) = 0,8

A, B, C là ba biến cố độc lập

Khi đó:

 là biến cố: “Người thứ nhất bắn không trúng”; P() = 1 − 0,9 = 0,1

 là biến cố: “Người thứ hai bắn không trúng”; P( ) = 1 − 0,7 = 0,3

 là biến cố: “Người thứ ba bắn không trúng”; P(  ) = 1 − 0,8 = 0,2

a) A ∩ B ∩ C là biến cố: “Cả ba người bắn trúng”

Xác suất để cả ba người bắn trúng là: 

P(A ∩ B ∩ C) = 0,9.0,7.0.8 = 0,504.

b) Gọi D là biến cố: “Đúng hai người bắn trúng”

Ta có: 

Xác suất để có đúng hai người bắn trúng là:

P(D) = 0,9.0,7.0,2 + 0,9.0,3.0,8 + 0,1.0,7.0,8 = 0,398.

c) là biến cố: “Không người nào người bắn trúng”

Xác suất để không người nào người bắn trúng là:

 

d) là biến cố: “Ít nhất một người bắn trúng”

Xác suất để có ít nhất một người bắn trúng là: P() = 1 − P(E) = 1 − 0,006 = 0,994 .

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Gọi A là biến cố : “ Tích số chấm xuất hiện trên hai mặt con súc sắc là một số lẻ”. Tính xác suất của A.

 

Câu 2. Một hộp có 5 bi đen, 4 bi trắng. Chọn ngẫu nhiên 2 bi. Xác suất 2 bi được chọn có cùng màu là

 

Câu 3. Gieo 3 đồng xu cùng một lúc. Gọi A là biến cố “có ít nhất một đồng xu xuất hiện mặt ngửa”. Xác suất của biến cố A là

 

Câu 4. Trong một hộp gồm 8 viên bi xanh và 6 viên bi trắng, chọn ngẫu nhiên 5 viên bi. Xác suất để 5 viên bi được chọn có cả bi xanh và bi trắng

 

Câu 5. Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 5, lập số gồm 4 chữ số khác nhau. Tính xác xuất để chọn được 1 số có 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5?

 

Câu 6. Một lô hàng gồm 30 sản phẩm tốt và 10 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm. Tính xác suất để 3 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm tốt.

 

Câu 7. Một hộp chứa 20 viên bi xanh và 15 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 4 bi. Tính xác suất để 4 bi lấy được có đủ hai màu.

Câu 8. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong một lớp học gồm 25 nam và 20 nữ. Gọi A là biến cố “Trong 5 học sinh được chọn có ít nhất 1 học sinh nữ”. Xác suất của biến cố A là

 

Câu 9. Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn có ít nhất một người nữ là:

 

Câu 10. Có 9 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 9, người ta rút ngẫu nhiên hai thẻ khác nhau. Xác suất để rút được hai thẻ mà tích hai số được đánh trên thẻ là số chẵn bằng

Câu 11. Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất 2 lần, tính xác suất để biến cố có tổng 2 lần số chấm khi gieo xúc xắc là một số chẵn.

A. 0,25                      B. 0,75                      C. 0,85                      D. 0,5

Câu 12. Hai khẩu pháo cao xạ cùng bắn độc lập với nhau vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng mục tiêu lần lượt là 0,6 và 0,7. Tính xác suất để mục tiêu bị trúng đạn.

A. 0,42                      B. 0,58                      C. 0,88                      D. 0,12

Câu 13. Ba xạ thủ A, B, C độc lập với nhau cùng nổ súng vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng mục tiêu của A, B, C tương ứng là 0,4; 0,5 và 0,7. Tính xác suất để có ít nhất một người bắn trúng mục tiêu.

A. 0,09                      B. 0,91                      C. 0,36                      D. 0,06

Câu 14. Ba xạ thủ cùng bắn vào một tấm bia, xác suất trúng đích lần lượt là 0,5; 0,6 và 0,7. Xác suất để có đúng 2 người bắn trúng bia là:

A. 0,29                      B. 0,44                      C. 0,21                      D. 0,79

Câu 15. Trong phòng làm việc có hai máy tính hoạt động độc lập với nhau, khả năng hoạt động tốt trong ngày của hai máy này tương ứng là 75% và 85%. Xác suất để có đúng một máy hoạt động không tốt trong ngày là

A. 0,425                    B. 0,325                    C. 0,625                    D. 0,525

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
D	C	C	A	C	C	D	D	C	D	D	A	B	B	B

Phần 7: Cách giải bài toán đếm số phương án cực hay

Lý thuyết và Phương pháp giải

B. Qui tắc cộng:

a) Định nghĩa: Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện.

b) Công thức quy tắc cộng:

Nếu các tập A₁, A₂,…, A_n đôi một rời nhau. Khi đó:

        |A₁ ∪ A₂ ∪ … ∪ A_n | = |A₁ |+|A₂ |+⋯+|A_n |

c) Phương pháp đếm bài toán tổ hợp dựa vào quy tắc cộng:

Để đếm số cách thực hiện một công việc H nào đó theo quy tắc cộng ta cần phân tích xem công việc H đó có bao nhiêu phương án thực hiện? Mỗi phương án có bao nhiêu cách chọn?

B. Qui tắc nhân:

a) Định nghĩa: Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B. Nếu công đoạn A có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực hiện.

b) Công thức quy tắc nhân:

Nếu các tập A₁, A₂,…, A_n đôi một rời nhau. Khi đó:

        |A₁ ∩ A₂ ∩ … ∩ A_n | = |A₁ |.|A₂ |…|A_n |

c) Phương pháp đếm bài toán tổ hợp dựa vào quy tắc nhân:

Để đếm số cách thực hiện công việc H theo quy tắc nhân, ta cần phân tích công việc H được chia làm các giai đoạn H₁, H₂,…, H_n và đếm số cách thực hiện mỗi giai đoạn H_i (i = 1, 2,…, n).

Chú ý: Ta thường gặp bài toán đếm số phương án thực hiện hành động H thỏa mãn tính chất T. Để giải bài toán này ta thường giải theo hai cách sau

Cách 1: Đếm trực tiếp

    ♦ Nhận xét đề bài để phân chia các trường hợp xảy ra đối với bài toán cần đếm.

    ♦ Đếm số phương án thực hiện trong mỗi trường hợp đó

    ♦ Kết quả của bài toán là tổng số phương án đếm trong cách trường hợp trên

Cách 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù)

Trong trường hợp hành động H chia nhiều trường hợp thì ta đi đếm phần bù của bài toán như sau:

    ♦ Đếm số phương án thực hiện hành động (không cần quan tâm đến có thỏa tính chất T hay không) ta được a phương án.

    ♦ Đếm số phương án thực hiện hành động H không thỏa tính chất T ta được b phương án.

Khi đó số phương án thỏa yêu cầu bài toán là: a – b.

Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Ta sử dụng phương pháp chung và một số lưu ý sau:

Khi lập một số tự nhiên  ta cần lưu ý:

* a_i ∈ {0,1,2,…,9} và a₁ ≠ 0.

* x là số chẵn ⇔ a_n là số chẵn.

* x là số lẻ ⇔ a_n là số lẻ.

* x chia hết cho 3 ⇔ a₁+a₂+⋯+a_n chia hết cho 3.

* x chia hết cho 4 ⇔  chia hết cho 4.

* x chia hết cho 5 ⇔ a_n=0 hoặc a_n=5.

* x chia hết cho 6 ⇔ x là số chẵn và chia hết cho 3.

* x chia hết cho 8 ⇔  chia hết cho 8.

* x chia hết cho 9 ⇔ a₁+a₂+⋯+a_n chia hết cho 9.

* x chia hết cho 11⇔ tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết cho 11.

* x chia hết cho 25 ⇔ hai chữ số tận cùng là 00, 25, 50, 75.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số 0,1,2,4,5,6,8.

Đáp án và hướng dẫn giải

a,b,c,d ∈ {0,1,2,4,5,6,8}, a ≠ 0.

Vì x là số chẵn nên d ∈ {0,2,4,6,8}.

TH1: d = 0 ⇒ có 1 cách chọn d.

Vì a ≠ 0 nên ta có 6 cách chọn a ∈ {1,2,4,5,6,8}.

Với mỗi cách chọn a, d ta có 5 cách chọn b ∈ {1,2,4,5,6,8}\{a}.

Với mỗi cách chọn a, b, d ta có 4 cách chọn c ∈ {1,2,4,5,6,8}\{a,b}.

Suy ra trong trường hợp này có 1.6.5.4 = 120 số.

TH2: d ≠ 0, d chẵn nên d ∈ {2,4,6,8}. Vậy có 4 cách chọn d

Với mỗi cách chọn d, do a ≠ 0 nên ta có 5 cách chọn a ∈ {1,2,4,5,6,8}\{d}.

Với mỗi cách chọn a,d ta có 5 cách chọn b ∈ {0,1,2,4,5,6,8}\{a,d}.

Với mỗi cách chọn a, b, d ta có 4 cách chọn c ∈ {0,1,2,4,5,6,8}\{a,d,b}.

Suy ra trong trường hợp này có 4.5.5.4= 400 số.

Vậy có tất cả 120 + 400 = 520 số cần lập.

Bài 2: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6}.Từ tập A ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau.

Đáp án và hướng dẫn giải

a,b,c,d ∈ {0,1,2,3,4,5,6}, a ≠ 0.

Vì a ≠ 0 nên a có 6 cách chọn a ∈ {1,2,3,4,5,6}.

Với mỗi cách chọn a ta có 6 cách chọn b ∈ {0,1,2,3,4,5,6}\{a}.

Với mỗi cách chọn a,b ta có 5 cách chọn c ∈ {0,1,2,3,4,5,6}\{a,b}.

Với mỗi cách chọn a,b, c ta có 4 cách chọn d ∈ {0,1,2,3,4,5,6}\{a,b,c}.

Vậy có 6.6.5.4 = 720 số cần lập.

Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Ta sử dụng phương pháp chung để làm các bài toán dạng này.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Từ thành phố A đến thành phố B có 6 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 7 con đường. Có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố C, biết phải đi qua thành phố B.

Đáp án và hướng dẫn giải

Để đi từ thành phố A đến thành phố B ta có 6 con đường để đi. Với mỗi cách đi từ thành phố A đến thành phố B ta có 7 cách đi từ thành phố B đến thành phố C. Vậy có 6.7 = 42 cách đi từ thành phố A đến C.

Bài 2: Một lớp có 23 học sinh nữ và 17 học sinh nam.

a) Hỏi có bao nhiêu cách chọn một học sinh tham gia cuộc thi tìm hiểu môi trường?

b) Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai học sinh tham gia hội trại với điều kiện có cả nam và nữ?

Đáp án và hướng dẫn giải

a) Theo quy tắc cộng có: 23 +17 = 40 cách chọn một học sinh tham gia cuộc thi môi trường.

b) Việc chọn hai học sinh (nam và nữ) phải tiến hành hai hành động liên tiếp

Hành động 1: chọn 1 học sinh nữ trong số 23 học sinh nữ nên có 23 cách chọn

Hành động 2: chọn 1 học sinh nam có 17 cách chọn

Theo quy tắc nhân, có 23.17=391 cách chọn hai học sinh tham gia hội trại có cả nam và nữ.

Bài 3: Một túi có 20 viên bi khác nhau trong đó có 7 bi đỏ, 8 bi xanh và 5 bi vàng. Hỏi có bao nhiêu cách lấy 3 viên bi khác màu?

Đáp án và hướng dẫn giải

Việc chọn 3 viên bi khác màu phải tiến hành 3 hành động liên tiếp: chọn 1 bi đỏ trong 7 bi đỏ nên có 7 cách chọn, tương tự có 8 cách chọn 1 bi xanh và 5 cách chọn 1 bi vàng. Theo quy tắc nhân ta có: 7.8.5 = 280 cách.

Cách giải Bài toán xếp vị trí, phân công công việc

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Dựa vào hai quy tắc cộng, quy tắc nhân và các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, đếm gián tiếp, đếm phần bù.

Một số dấu hiệu giúp chúng ta nhận biết được hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp.

1) Hoán vị: Các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng một hoán vị của n phần tử là:

        ♦ Tất cả n phần tử đều phải có mặt

        ♦ Mỗi phần tử xuất hiện một lần.

        ♦ Có thứ tự giữa các phần tử.

2) Chỉnh hợp: Ta sẽ sử dụng khái niệm chỉnh hợp khi

        ♦ Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần

        ♦ k phần tử đã cho được sắp xếp thứ tự.

3) Tổ hợp: Ta sử dụng khái niệm tổ hợp khi

        ♦ Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần

        ♦ Không quan tâm đến thứ tự k phần tử đã chọn.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Đội tuyển HSG của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 HS khối 12, 6 HS khối 11 và 5 HS khối10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 cách cử 8 HS đi dự đại hội sao cho mỗi khối có ít nhất 1 HS được chọn

Bài 2: Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách.

Tuyển tập các chuyên đề tổ hợp

SỬ DỤNG PHÉP ĐẾM ĐỂ CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC TỔ HỢP

Như chúng ta biết các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp được hình thành từ các bài toán đếm. Các khái niệm này ra đời giúp chúng ta trình bày bài toán đếm đơn giản hơn. Tuy nhiên khi gặp các bài chứng minh các đẳng thức liên quan đến P_n, \[C_n^k\] thì chúng ta thường sử dụng các biến đổi đại số hoặc khai triển nhị thức Newton để chứng minh. Do đó việc chứng minh các bài toán đẳng thức liên quan đến P_n, \[C_n^k\] và các khái niệm của nó không có mối quan hệ nào. Điều này ít nhiều làm mất đi vẻ đẹp của các khái niệm toán học nói chung và các khái niệm P_n, \[C_n^k\]  nói riêng. Trong chuyên đề này chúng tôi giới thiệu với các bạn cách chứng minh một số đẳng thức liên quan đến P_n, \[C_n^k\] bằng phương pháp đếm.

Nội dung của phương pháp này như sau :

Giả sử ta cần chứng minh một đẳng thức liên quan đến P_n, \[C_n^k\] có dạng A = B. Ta sẽ đi đếm số cách thực hiện một công việc X nào đó theo hai cách:

Cách 1 ta được kết quả số cách thực hiện công việc X là A.

Cách 2 cho ta kết quả số cách thực hiện công việc X là B.

Từ đó ta có được A = B.

Để làm tốt phương pháp này chúng ta cần hiểu ý nghĩa của các đại lượng xuất hiện trong hai vế của đẳng thức. Chẳng hạn:

2^m: là số tập con của tập X gồm m phần tử và cũng là số cách chọn m phần tử từ m cặp và mỗi cặp chọn một phần tử.

2^m − 1: là số tập con khác rỗng của tập X gồm m phần tử.

\[C_n^k\]: số tập con gồm k phần tử của tập X gồm n phần tử.

Chúng ta sẽ bắt đầu bằng các ví dụ sau đây:

Ví dụ 1. Chứng minh rằng \[C_n^k = C_n^{n – k}\]với mọi k, n ∈ N; n \[ \ge \] 1; 0 \[ \le \]k \[ \le \]n.

Lời giải. Xét tập X = {x₁, x₂, . . . , x_n}.

Ta thấy ở vế trái là số tập con A gồm k phần tử của tập X. Để lập A ta làm theo hai cách như sau:

1. Mỗi cách lấy k phần tử trong X, ta có một tập con A gồm k phần tử của tập X, nên số tập con A là \[C_n^k\].

2. Để thiết lập A ta có thể làm như sau:

Mỗi cách lấy n − k phần tử của tập X và loại n − k phần tử này đi, ta có được được k phần tử còn lại là một tập con A gồm k phần tử của X.

Nên số tập con A là: \[C_n^{n – k}\]

Từ đó ta có được \[C_n^k = C_n^{n – k}\]và bài toán được chứng minh.

Ví dụ 2. Cho n \[ \ge \] 2, k là các số tự nhiên thỏa 0 \[ \le \]k \[ \le \]n. Chứng minh rằng

\[C_n^k = C_{n – 1}^k + C_{n – 1}^{k – 1}\]

Lời giải. Vì vế trái của đẳng thức là số tập con gồm k phần tử của tập gồm n phần tử nên ta đi đếm số tập con A gồm k phần tử của tập X = {x₁, x₂, . . . , x_n}.

Cách 1. Số tập A có \[C_n^k\] tập.

Cách 2. Số tập A gồm hai loại, ta sẽ đi đếm số tập thuộc hai loại này.

Loại 1. Gồm những tập con chứa phần tử x_n. Mỗi tập A thuộc loại này cho ta một tập A’ = A \ {x_n} là tập con gồm k − 1 phần tử của tập X \ {x_n}.

Và ngược lại mỗi tập A′ cho ta một tập A nên suy ra số tập A thuộc loại này chính bằng số tập A′ và bằng \[C_{n – 1}^{k – 1}\].

Loại 2. Gồm những tập con không chứa phần tử x_n. Như vậy các phần tử của tập A được lấy tử tập X \ {x_n} gồm n − 1 phần tử nên số tập A thuộc loại này là C k n−1 . Do đó theo cách 2 thì số tập A  là \[C_{n – 1}^k + C_{n – 1}^{k – 1}\].

Vậy ta có \[C_n^k = C_{n – 1}^k + C_{n – 1}^{k – 1}\].

Ví dụ 3. Cho n \[ \ge \] 1 là số tự nhiên. Chứng minh đẳng thức sau:

\[{\left( {C_n^0} \right)^2} + {\left( {C_n^1} \right)^2} + … + {\left( {C_n^n} \right)^2} = C_{2n}^n\]

Lời giải. Ta thấy VP của đẳng thức chính là số tập con A gồm n phần tử của tập X gồm 2n phần tử nên ta xét bài toán sau: Hãy tính số tập con A gồm n phần tử của tập X = {x₁, x₂, . . . , x_2n}.

Cách 1. Ta có số tập con A là \[C_{2n}^n\].

Cách 2. Chia tập X thành hai tập X₁ = {x₁, x₂, . . . , x_2n} và X₂ = {x_n+1, . . . , x_2n}.

Để lập tập con A ta làm như sau:

Lấy k phần tử (k = \[\overline {0,n} \]) thuộc tập X₁, rồi lấy n − k phần tử còn lại thuộc tập X₂ và ta có \[C_n^kC_n^{n – k} = {\left( {C_n^k} \right)^2}\]cách chọn A ứng với mỗi k.

Cho k chạy từ 0 đến n rồi lấy tổng ta có được kết quả chính là số tập A cần tìm, hay

\[{\left( {C_n^0} \right)^2} + {\left( {C_n^1} \right)^2} + … + {\left( {C_n^n} \right)^2} = C_{2n}^n\].

Ví dụ 4. Chứng minh đẳng thức \[\sum\limits_{k = 0}^n {{2^k}} C_n^kC_{n – k}^{\left[ {\frac{{n – k}}{2}} \right]} = C_{2n + 1}^n\]

Lời giải. Ta thấy vế phải là số cách chọn n phần tử từ tập X gồm 2n + 1 phần tử nên ta xét bài toán sau: Tính số cách chọn n phần tử từ tập X gồm 2n + 1 phần tử.

Cách 1. Số cách chọn chính bằng \[C_{2n + 1}^n\].

Cách 2. Ta chia X thành n cặp và phần tử x. Để chọn n phần tử từ X ta thực hiện các bước sau:

Bước 1. Ta chọn k cặp (k = \[\overline {0,n} \]) từ n cặp ð đã chia ta có \[C_n^k\] cách, sau đó ở mỗi cặp ta chọn một phần tử như vậy ta có 2^k\[C_n^k\]cách chọn.

Bước 2. Chọn \[\left[ {\frac{{n – k}}{2}} \right]\] cặp trong n − k cặp còn lại.

Vì \[\left[ {\frac{{n – k}}{2}} \right]\]= \[\frac{{n – k}}{2}\] nếu n − k chẵn và \[\left[ {\frac{{n – k}}{2}} \right]\]= \[\frac{{n – k – 1}}{2}\] nếu n − k lẻ.

Do đó ta sẽ chọn x nếu n − k lẻ và không chọn x nếu n − k chẵn.

Số cách chọn ở bước này là \[C_{n – k}^{\left[ {\frac{{n – k}}{2}} \right]}\].

Suy ra có 2^k\[C_n^kC_{n – k}^{\left[ {\frac{{n – k}}{2}} \right]}\]cách trong mỗi lần chọn.

Cho k chạy từ 0 đến n và lấy tổng ta có số cách chọn là: \[\sum\limits_{k = 0}^n {{2^k}} C_n^kC_{n – k}^{\left[ {\frac{{n – k}}{2}} \right]} = C_{2n + 1}^n\]

Ví dụ 5. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

\[\sum\limits_{k = 0}^m {C_{n + k}^k{2^{m – k}} + } \sum\limits_{k = 0}^n {C_{m + k}^k{2^{n – k}} = {2^{m + n + 1}}} \]

Lời giải. Xét tập X = {1, 2, . . . , m + n + 1}. Ta sẽ đi đếm số tập con của X.

Cách 1. Ta có \[{2^{m + n + 1}}\] tập con.

Cách 2. Số tập con của X gồm hai loại:

Loại 1. Gồm những tập con có dạng A = {x₁, x₂, . . . , x_n+i} với 1\[ \le \]i \[ \le \]m + 1 và x₁ 2 n+i và x_n+i = n + k + 1 với 0\[ \le \] k\[ \le \]m . Để lập tập con loại này ta làm như sau:

Bước 1. Chọn n phần tử từ n + k phần tử (với 0 \[ \le \]k \[ \le \]m) ta có \[C_{n + k}^n\]cách.

Bước 2. Bổ sung một tập con của tập {n + k + 1, n + k + 2, . . . , n + m + 1} ta có 2^m−k cách.

Do đó có \[\sum\limits_{k = 0}^m {C_{n + k}^k{2^{m – k}}} \] tập con A của X có nhiều hơn n phần tử.

Tương tự có \[\sum\limits_{k = 0}^n {C_{m + k}^k{2^{n – k}}} \] tập con của X có nhiều hơn m phần tử.

Mà mỗi tập con của X có hơn m phần tử ứng với một tập con của X có không quá n phần tử, suy ra số tập con của X có không quá n phần tử là \[\sum\limits_{k = 0}^n {C_{m + k}^k{2^{n – k}}} \] .

Do vậy \[\sum\limits_{k = 0}^m {C_{n + k}^k{2^{m – k}} + } \sum\limits_{k = 0}^n {C_{m + k}^k{2^{n – k}}} \]chính là số tập con của X. Vậy ta có \[\sum\limits_{k = 0}^m {C_{n + k}^k{2^{m – k}} + } \sum\limits_{k = 0}^n {C_{m + k}^k{2^{n – k}} = {2^{m + n + 1}}} \]

Ví dụ 6. Chứng minh đẳng thức sau với n \[ \ge \] 1 là số tự nhiên

\[C_n^1 + 2C_n^2 + 3C_n^3 + … + nC_n^n = n{2^{n – 1}}\]

Lời giải. Ta thấy n chính là số cách lấy một phần tử từ một tập gồm n phần tử, còn 2^n-1 chính là số tập con của tập gồm n−1 phần tử. Do đó ta xét bài toán sau: Cho tập X = {x₁, x₂, . . . , x_n}. Hãy đếm số cặp (a, A) trong đó a ∈ X và A là một tập con của tập X′ = X \ {a}.

Cách 1. Ta có n cách chọn a, với mỗi cách chọn a ta có 2^n-1 cách chọn A. Theo quy tắc nhân ta có n2^n-1 cặp (a, A).

Cách 2. Ta chọn A là một tập con gồm k phần tử của (k = \[\overline {0,n – 1} \]), nên có \[C_n^k = C_n^{n – k}\] cách chọn A. Mỗi cách chọn tập A ta sẽ chọn a ∈ X \A nên có n−k cách chọn a. Khi cho k chạy từ 0 đến n−1 và lấy tổng thì ta có được số cặp (a, A) hay là có \[\sum\limits_{k = 0}^{n – 1} {(n – k)C_n^{n – k}} \]= \[C_n^1 + 2C_n^2 + 3C_n^3 + … + nC_n^n\] cặp (a, A)

So sánh kết quả hai cách đếm ta có \[C_n^1 + 2C_n^2 + 3C_n^3 + … + nC_n^n = n{2^{n – 1}}\]

Ví dụ 7. Chứng minh đẳng thức sau: \[C_n^0C_n^k + C_n^1C_{n – 1}^{k – 1} + … + C_n^kC_{n – k}^0 = {2^k}C_n^k\]

Lời giải. Thấy có 2^k là số tập con của một tập gồm k phần tử, còn \[C_n^k\] là số tập con gồm k phần tử của tập gồm n phần tử nên ta xét bài toán sau: Cho tập X = {x₁, x₂, . . . , x_n}. Hãy đếm số cặp (A, M) trong đó A là một tập con gồm k phần tử của X và M là một tập con của A.

Cách 1. Ta có \[C_n^k\] cách chọn tập A, với mỗi cách chọn A ta có 2^k cách chọn M nên có tất cả 2^k\[C_n^k\] cặp (A, M).

Cách 2. Ta có \[C_n^i\] cách chọn M (0\[ \le \] i \[ \le \] k) . Sau khi chọn M ta chọn k − i phần tử từ n − i phần tử còn lại rồi gộp với M ta có được tập A, nên với mỗi i ta có \[C_n^iC_{n – i}^{k – i}\] cách chọn cặp (A, M). Cho i chạy từ 0 đến k và lấy tổng ta có số cặp (A, M) là \[\sum\limits_{i = 0}^k {C_n^iC_{n – i}^{k – i}} \].

Vậy ta có \[C_n^0C_n^k + C_n^1C_{n – 1}^{k – 1} + … + C_n^kC_{n – k}^0 = {2^k}C_n^k\]

Đây là đẳng thức cần chứng minh.

Ví dụ 8. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n \[ \ge \] 1, ta luôn có: \[{\left( {C_n^1} \right)^2} + 2{\left( {C_n^2} \right)^2} + … + n{\left( {C_n^n} \right)^2} = nC_{2n – 1}^{n – 1}\]

Lời giải. Ta thấy \[nC_{2n – 1}^{n – 1}\] chính là số các cặp (a, A), trong đó a là một phần tử thuộc tập X₁ = {x₁, x₂, . . . , x_n} còn A là một tập con gồm n−1 phần tử của tập X = {x₁, . . . , x_n, x_n+1, . . . , x_2n}\ {a}. Nên ta xét bài toán sau: Cho hai tập rời nhau X₁ = {x₁, x₂, . . . , x_n} và X₂ = {a₁, a₂, . . . , a_n}. Hãy đếm số cặp (a, A), trong đó a ∈ X₁ còn A là một tập con bất kì gồm n − 1 phần tử của tập X = X₁ ∪ X₂ \ {a}.

Cách 1. Để chọn a ta có n cách, với mỗi cách chọn a ta có \[C_{2n – 1}^{n – 1}\] cách chọn A nên có tất cả \[nC_{2n – 1}^{n – 1}\]cách chọn cặp (a, A).

Cách 2. Lấy k phần tử thuộc X₁ (1\[ \le \] k\[ \le \] n) ta có \[C_n^k\] cách, rồi ta chọn a từ k phần tử vừa chọn ta có k cách. Sau khi chọn a ta chỉ còn lại k − 1 phần tử. Tiếp tục chọn n − k phần tử thuộc X₂ và kết hợp với k − 1 phần tử còn lại ở trên ta được một tập con A gồm n − 1 phần tử của X. Nên mỗi trường hợp này ta có \[kC_n^kC_n^{n – k} = k{\left( {C_n^k} \right)^2}\]cách chọn.

Cho k chạy từ 1 đến n và lấy tổng ta được số cách chọn các cặp (a; A) là\[{\left( {C_n^1} \right)^2} + 2{\left( {C_n^2} \right)^2} + … + n{\left( {C_n^n} \right)^2} = nC_{2n – 1}^{n – 1}\]

Do đó ta có điều cần chứng minh.

Ví dụ 9. Cho số tự nhiên n \[ \ge \] 1. Một hoán vị của tập A = {1, 2, 3, . . . , n} được gọi là hoán vị bảo tồn a ∈ A nếu như phần tử a ở nguyên vị trí cũ của nó trong hoán vị mới. Kí hiệu P_n(k) là số hoán vị bảo tồn đúng k phần tử của A. Chứng minh rằng:

a. \[k{P_n}(k) = n{P_{n – 1}}(k – 1)\]

b. \[\sum\limits_{k = 0}^n {k{P_n}(k) = n!} \].

Lời giải. a. Với mỗi k = 1, 2, . . . , n ta đi đếm số cặp (i; f) trong đó f bảo tồn đúng k vị trị và f(i) = i.

Cách 1. Ta có số cách chọn i là k và số cách chọn f là P_n(k) nên số cặp (i; f) là kP_n(k).

Cách 2. Ta xét i là một phần tử cố định (tức là f(i) = i).Khi đó ta có một hoán vị bảo tồn k − 1 phần tử của tập A′ = A \ {i} và với mỗi hoán vị bảo tồn k − 1 phần tử của tập A′ ta bổ sung thêm i vào ta sẽ được một hoán vị bảo tồn k phần tử của tập A. Vì có n cách chọn i và có P_n-1(k − 1) hoán vị bảo tồn k − 1 phần tử của tập A′ nên số cặp (i; f) là nP_n-1(k − 1). Từ đó ta suy ra kP_n(k) = nP_n-1(k − 1).

b. Theo kết quả ở trên ta có \[\sum\limits_{k = 0}^n {k{P_n}(k) = n\sum\limits_{k = 1}^n {{P_{n – 1}}(k – 1)} } \]

Mà P_n-1(0) + P_n-1(1) + · · · + P_n-1(n − 1) chính là số hoán vị của tập B gồm n − 1 phần tử mà trong hoán vị đó bảo tồn 0, 1, 2, . . . , n − 1 phần tử, do đó tổng này chính bằng số hoán vị của tập B và bằng (n − 1)!. Vậy \[\sum\limits_{k = 0}^n {k{P_n}(k) = n(n – 1)! = n!} \]

Nhận xét. Trong một số trường hợp ta có thể dùng đếm theo hai cách để chứng minh các bất đẳng thức. Chẳng hạn nếu ta chứng minh được A = B và D

Ví dụ 10. Trong một kì thi có a thí sinh và số lẻ b \[ \ge \] 3 giám khảo. Mỗi giám khảo đánh giá từng thí sinh và cho kết luận thí sinh đó đỗ hay trượt. Giả sử k là số thỏa mãn: với hai giám khảo bất kì thì số thí sinh mà họ cho kết luận giống nhau nhiều nhất là k. Chứng minh rằng \[\frac{k}{a} \ge \frac{{b – 1}}{{2b}}\]

Xem thêm