Phương pháp giải và bài tập về Các bài toán liên quan đến quy tắc tính xác suất

Tài liệu Các bài toán liên quan đến quy tắc tính xác suất gồm các nội dung chính sau:

Phương pháp

–          Tóm tắt lý thuyết ngắn gọn và phương pháp giải Các bài toán liên quan đến quy tắc tính xác suất.

Các ví dụ

–          Gồm 5 ví dụ minh họa đa dạng của Các bài toán liên quan đến quy tắc tính xác suất có đáp án và lời giải chi tiết.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây: 

DẠNG 3. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT

 Phương pháp

1. Quy tắc cộng xác suất

Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì $P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$

 Mở rộng quy tắc cộng xác suất

Cho $k$ biến cố $A_1,A_2,\mathrm{\dots },A_k$ đôi một xung khắc. Khi đó:

$P(A_1\cup A_2\cup \mathrm{\dots }\cup A_k)=P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)+\mathrm{\dots }+P\left(A_k\right)$.

$P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)$

 Giải sử A và B là hai biến cố tùy ý  cùng liên quan đến một phép thử. Lúc đó: $P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(AB\right)$.

2. Quy tắc nhân xác suất

 Ta nói hai biến cố A và B độc lập nếu sự xảy ra (hay không xảy ra) của A không làm ảnh hưởng đến xác suất của B.

 Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi  $P\left(AB\right)=P\left(A\right).P\left(B\right)$.

Bài toán 01: Tính xác suất bằng quy tắc cộng

Phương pháp: Sử dụng các quy tắc đếm và công thức biến cố đối, công thức biến cố hợp.

 $P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$ với A và B là hai biến cố xung khắc 

$P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)$ .

Các ví dụ

Ví dụ 1. Một con súc sắc không đồng chất sao cho mặt bốn chấm xuất hiện nhiều gấp 3 lần mặt khác, các mặt còn lại đồng khả năng. Tìm xác suất để xuất hiện một mặt chẵn

          A. $P\left(A\right)=\frac{5}{8}$                 B. $P\left(A\right)=\frac{3}{8}$                  C. $P\left(A\right)=\frac{7}{8}$              D. $P\left(A\right)=\frac{1}{8}$

Lời giải:

Gọi $A_i$ là biến cố xuất hiện mặt $i$ chấm $(i=1,2,3,4,5,6)$

Ta có $P\left(A_1\right)=P\left(A_2\right)=P\left(A_3\right)=P\left(A_5\right)=P\left(A_6\right)=\frac{1}{3}P\left(A_4\right)=x$

Do $\sum _{k=1}^{6}P\left(A_k\right)=1\Rightarrow 5x+3x=1\Rightarrow x=\frac{1}{8}$

Gọi A là biến cố xuất hiện mặt chẵn, suy ra $A=A_2\cup A_4\cup A_6$

Vì cá biến cố $A_i$ xung khắc nên:

$P\left(A\right)=P\left(A_2\right)+P\left(A_4\right)+P\left(A_6\right)=\frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{5}{8}$.

Ví dụ 2. Gieo một con xúc sắc 4 lần. Tìm xác suất của biến cố

A: “ Mặt 4 chấm xuất hiện ít nhất một lần”

          A. $P\left(A\right)=1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^4$     B. $P\left(A\right)=1-{\left(\frac{1}{6}\right)}^4$      C. $P\left(A\right)=3-{\left(\frac{5}{6}\right)}^4$  D. $P\left(A\right)=2-{\left(\frac{5}{6}\right)}^4$

 

B: “ Mặt 3 chấm xuất hiện đúng một lần”

          A. $P\left(A\right)=\frac{5}{324}$            B. $P\left(A\right)=\frac{5}{32}$               C. $P\left(A\right)=\frac{5}{24}$           D. $P\left(A\right)=\frac{5}{34}$

 

Lời giải:

1.  Gọi $A_i$ là biến cố “ mặt 4 chấm xuất hiện lần thứ $i$” với $i=1,2,3,4$.

Khi đó: $\overline{A_i}$ là biến cố “ Mặt 4 chấm không xuất hiện lần thứ $i$”

Và $P\left(\overline{A_i}\right)=1-P\left(A_i\right)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$

Ta có: $\overline{A}$ là biến cố: “ không có mặt 4 chấm xuất hiện trong 4 lần gieo”

Và $\overline{A}=\overline{A_1}.\overline{A_2}.\overline{A_3}.\overline{A_4}$. Vì các $A_i$ độc lập với nhau nên ta có

$P\left(\overline{A}\right)=P\left(\overline{A_1}\right)P\left(\overline{A_2}\right)P\left(\overline{A_3}\right)P\left(\overline{A_4}\right)={\left(\frac{5}{6}\right)}^4$

Vậy $P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)=1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^4$.

2. Gọi $B_i$ là biến cố “ mặt 3 chấm xuất hiện lần thứ $i$” với $i=1,2,3,4$

Khi đó: $\overline{B_i}$ là biến cố “ Mặt 3 chấm không xuất hiện lần thứ $i$”

Ta có: $A=\overline{B_1}.B_2.B_3.B_4\cup B_1.\overline{B_2}.B_3.B_4\cup B_1.B_2.\overline{B_3}.B_4\cup B_1.B_2.B_3.\overline{B_4}$

Suy ra $P\left(A\right)=P\left(\overline{B_1}\right)P\left(B_2\right)P\left(B_3\right)P\left(B_4\right)+P\left(B_1\right)P\left(\overline{B_2}\right)P\left(B_3\right)P\left(B_4\right)$

$+P\left(B_1\right)P\left(B_2\right)P\left(\overline{B_3}\right)P\left(B_4\right)+P\left(B_1\right)P\left(B_2\right)P\left(B_3\right)P\left(\overline{B_4}\right)$                    

Mà  $P\left(B_i\right)=\frac{1}{6},P\left(\overline{B_i}\right)=\frac{5}{6}$.

Do đó: $P\left(A\right)=4.{\left(\frac{1}{6}\right)}^3.\frac{5}{6}=\frac{5}{324}$.

 

Ví dụ 3. Một hộp đựng 4 viên bi xanh,3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng.Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi:

1. Tính xác suất để chọn được 2 viên bi cùng màu

          A. $P\left(X\right)=\frac{5}{18}$               B. $P\left(X\right)=\frac{5}{8}$                  C. $P\left(X\right)=\frac{7}{18}$            D. $P\left(X\right)=\frac{11}{18}$

 

2. Tính xác suất để chọn được 2 viên bi khác màu

          A. $P\left(\overline{X}\right)=\frac{13}{18}$               B. $P\left(\overline{X}\right)=\frac{5}{18}$                 C. $P\left(\overline{X}\right)=\frac{3}{18}$            D. $P\left(\overline{X}\right)=\frac{11}{18}$

Xem thêm