Giải Toán 11 Bài 4: Phép thử và biến cố

Giải bài tập Toán 11 Bài 4: Phép thử và biến cố

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời hoạt động 1 trang 60 sgk Đại số và Giải tích 11: Hãy liệt kê các kết quả có thể của phép thử gieo một con súc sắc.
Lời giải:

Các kết quả có thể xảy ra của phép thử gieo một con súc sắc là: xuất hiện mặt 1 chấm, 2 chấm, 3 chấm, 4 chấm, 5 chấm, 6 chấm.

Bài tập (trang 63, 64 sgk Đại số và Giải tích 11)

Bài 1 trang 63 sgk Đại số và Giải tích 11: Gieo một đồng tiền ba lần:
a. Mô tả không gian mẫu.
b. Xác định các biến cố:

A: “Lần đầu xuất hiện mặt sấp”;

B: “Mặt sấp xảy ra đúng một lần”;

C: “Mặt ngửa xảy ra ít nhất một lần”.

a. 

Phương pháp giải:  

Mô tả không gian mẫu bằng cách liệt kê các phần tử của không gian mẫu.

Lời giải:

Kí hiệu: S: xuất hiện mặt sấp – M: xuất hiện mặt ngửa

Không gian mẫu: gồm 8 phần tử. 

$\mathrm{\Omega }=\left\{SSS;SSN;SNS;SNN;NSS;NSN;NNS;NNN\right\}$

b. 

Lời giải: 

A={SSS;SSN;SNS;SNN}

B={SNN;NSN;NNS}

C={SSN;SNS;SNN;NSS;NSN;NNS;NNN}

Bài 2 trang 63 sgk Đại số và Giải tích 11: Gieo một con súc sắc hai lần: 
a. Mô tả không gian mẫu.
b. Phát biểu các biến cố sau dưới dạng mệnh đề:
A = (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6);
B = (2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4);
C = (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6).

Lời giải:
a.
Phép thử $T$ được xét là: “Gieo một con súc sắc hai lần”.

Không gian mẫu: $\Omega =(1;1),(1;2),(1;3),(1;4),(1;5),(1;6),(2;1),(2;2),(2;3),(2;4),(2;5),(2;6),(3;1),(3;2),(3;3),(3;4),(3;5),(3;6),(4;1),(4;2),(4;3),(4;4),(4;5),(4;6),(5;1),(5;2),(5;3),(5;4),(5;5),(5;6),(6;1),(6;2),(6;3),(6;4),(6;5),(6;6)$

Không gian mẫu có $36$ phần tử.

Cách viết khác:

$\Omega =(i,j)|i,j=1,2,3,4,5,6$

Trong đó $(i,j)$ là kết quả “lần đầu xuất hiện mặt $i$ chấm, lần sau xuất hiện mặt $j$ chấm”.

b.

A = “Lần gieo đầu được mặt $6$ chấm”;

B = “Tổng số chấm trong hai lần gieo là $8$“;

C = “Kết quả ở hai lần gieo là như nhau”.

Bài 3 trang 63 sgk Đại số và Giải tích 11: Một hộp chứa bốn cái thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ.
a. Mô tả không gian mẫu.
b. Xác định các biến cố sau.

A: “Tổng các số trên hai thẻ là số chẵn”;

B: “Tích các số trên hai thẻ là số chẵn”.

a. 

Phương pháp giải:

Mô tả không gian mẫu bằng cách liệt kê các phần tử của không gian mẫu.

Lời giải:

Phép thử $T$ được xét là: “Từ hộp đã cho, lấy ngẫu nhiên hai thẻ”.

Đồng nhất mỗi thẻ với chữ số ghi trên thẻ đó, ta có: Mỗi một kết quả có thể có các phép thử  là một tổ hợp chập $2$ của $4$ chữ số $1,2,3,4$.

Do đó, số phần tử của không gian mẫu là  $C_4^2=6$, và không gian mẫu gồm các phần tử sau:

$\Omega$ = $\left\{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)\right\}$.

Chú ý:

Do hai thẻ cần chọn không phân biệt thứ tự nên cặp $(i;j)$ với $(j;i)$ là như nhau, chỉ tỉnh là 1 phần tử. Do đó không gian mẫu là $\Omega$ $\left\{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)\right\}$

b. 

Phương pháp giải:

A là tập con của không gian mẫu sao cho tổng các số trên hai thẻ là số chẵn.

B là tập con của không gian mẫu sao cho tích các số trên hai thẻ là số chẵn.

Lời giải:

A = $\left\{(1,3),(2,4)\right\}$.

B=$\left\{(1,2),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)\right\}$

$=\Omega \setminus \left\{(1,3)\right\}$.

Bài 4 trang 64 sgk Đại số và Giải tích 11: Hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Kí hiệu $A_k$ là biến cố: “Người thứ $k$ bắn trúng”, $k=1,2$.
a. Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các biến cố $A_1,A_2$ :

A: “Không ai bắn trúng”;

B: “Cả hai đều bắn trúng”;

C: “Có đúng một người bắn trúng”;

D: “Có ít nhất một người bắn trúng”.

b. Chứng tỏ rằng A = $\overline{D}$; B và C xung khắc.

Phương pháp giải:

Sử dụng các khái niệm biến cố đối, biến cố xung khắc, các phép toán trên các biến cố.

Lời giải:

Ta có: biến cố $D$ là “Có ít nhất 1 người bắn trúng” tức là một trong 3 trường hợp:

+ 1 người bắn trúng và 1 người bắn không trúng

+ cả 2 người đều bắn trúng

Như vậy biến cố $\overline{D}$ là (trường hợp còn lại) “Không có ai bắn trúng” chính là biến cố $A$.

Vậy $\overline{D}=A$

Ta có: $C$ là biến cố “Có đúng 1 người bắn trúng” nghĩa là 1 người bắn trúng và 1 người không bắn trúng, khác hẳn với biến cố $B$ là “cả hai đều phải bắn trúng”.

Hiển nhiên $B\cap C=\varphi$ 

Vậy theo định nghĩa thì $B$ và $C$ xung khắc với nhau.

Bài 5 trang 64 sgk Đại số và Giải tích 11: Từ một hộp chứa $10$ cái thẻ, trong đó các thẻ đánh số $1,2,3,4,5$ màu đỏ, thẻ đánh số $6$ màu xanh và các thẻ đánh số $7,8,9,10$ màu trắng. Lấy ngẫu nhiên một thẻ.

a. Mô tả không gian mẫu.

b. Kí hiệu $A,B,C$ là các biến cố sau:

$A$: “Lấy được thẻ màu đỏ”;

$B$: “Lấy được thẻ màu trằng”;

$C$: “Lấy được thẻ ghi số chẵn”.

Hãy biểu diễn các biến cố $A,B,C$ bởi các tập hợp con tương ứng của không gian mẫu.

a. 

Phương pháp giải: 

Liệt kê số phần tử của không gian mẫu.

Lời giải:

Phép thử $T$ được xét là: “Từ hộp đã cho, lấy ngẫu nhiên một thẻ”.

Không gian mẫu được mô tả bởi tập $\Omega =\left\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\right\}$.

b. 

Phương pháp giải:

Liệt kê số phần tử của các biến cố A, B, C.

Lời giải:

$A=\left\{1,2,3,4,5\right\}$;

$B=\left\{7,8,9,10\right\}$;

$C=\left\{2,4,6,8,10\right\}$.

Bài 6 trang 64 sgk Đại số và Giải tích 11: Gieo một đồng tiền liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp hoặc cả bốn lần ngửa thì dừng lại.
a. Mô tả không gian mẫu.
b. Xác định các biến cố:

$A$ = “Số lần gieo không vượt quá ba”;

$B$ = “Số lần gieo là bốn”.

Phương pháp giải: 

Liệt kê các phần tử.

Lời giải:

a.

Không gian mẫu của phép thử đã cho là:

$\Omega =\left\{S,NS,NNS,NNNS,NNNN\right\}$

b. 

$A=\left\{S,NS,NNS\right\}$;

$B=\left\{NNNS,NNNN\right\}$.

Bài 7 trang 64 sgk Đại số và Giải tích 11: Từ một hộp chứa năm quả cầu được đánh số $1,2,3,4,5$, lấy ngẫu nhiên liên tiếp hai lần mỗi lần một quả và xếp theo thứ tự từ trái sang phải.
a. Mô tả không gian mẫu.
b. Xác định các biến  cố sau:

$A$: “Chữ số sau lớn hơn chữ số trước”;

$B$: “Chữ số trước gấp đôi chữ số sau”;

$C$: “Hai chữ số bằng nhau”.

Phương pháp giải: 

Liệt kê các phần tử của các tập hợp.

Lời giải:

a.

Phép thử $T$ được xét là: “Từ hộp đã cho, lấy ngẫu nhiên liên tiếp hai lần mỗi lần một quả và xếp theo thứ tự từ trái qua phải”.

Không gian mẫu:

$\Omega =(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(1,5),(5,1),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),(3,5),(5,3),(4,5),(5,4)$

b. 

$A=(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)$;

$B=(2,1),(4,2)$;

$C=\varphi$.

Lý thuyết Bài Phép thử và biến cố

I. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu

1. Phép thử ngẫu nhiên

Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, tuy nhiên có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.

Trong “Xác suất” ở trường phổ thông, ta chỉ xét những phép thử ngẫu nhiên có hữu hạn các kết quả có thể có.

Sau đây, ta sẽ gọi tắt phép thử ngẫu nhiên là phép thử.

2. Không gian mẫu

Tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử $T$ được gọi là không gian mẫu của phép thử $T$ và kí hiệu là $\Omega$.

Ví dụ:

Gieo một con súc sắc thì đây là môt phép thử.

Không gian mẫu $\mathrm{\Omega }=\left\{1;2;3;4;5;6\right\}$.

II. Biến cố

1. Định nghĩa

Giả sử $\Omega$ là không gian mẫu của phép thử $T$.

a) Nếu $A$ là tập con của $\Omega$ thì ta nói $A$ là biến cố (liên quan đến phép thử $T$).

b) Trong kết quả của việc thực hiện phép thử $T$, nếu có một phần tử của biến cố xảy ra thì ta nói “biến cố $A$ xảy ra”.

Ví dụ:

Gieo một con súc sắc thì đây là môt phép thử.

Không gian mẫu $\mathrm{\Omega }=\left\{1;2;3;4;5;6\right\}$.

Gọi $A$ là biến cố: “Các mặt xuất hiện chẵn chấm”.

Khi đó $A=\left\{2;4;6\right\}$.

2. Biến cố không thể và biến cố chắc chắn

Giả sử $\Omega$ là không gian mẫu của phép thử $T$, ta có các định nghĩa sau:

a) Biến cố $A$ được gọi là biến cố ngẫu nhiên (liên quan đến phép thử $T$), nếu như $A$ khác rỗng và $A$ là tập con thực sự của $\Omega$.

b) Tập rỗng được gọi là biến cố không thể (liên quan đến phép thử $T$) (gọi tắt là biến cố không).

c) Tập $\Omega$ được gọi là biến cố chắc chắn (liên quan đến phép thử $T$).

3. Các quan hệ và các phép toán trên các biến cố (liên quan đến cùng một phép thử)

Giả sử $\Omega$ là không gian mẫu của phép thử $T$; $A,B,C$ là các biến cố cùng liên quan đến phép thử $T$, ta có các định nghĩa và các kết quả sau:

3.1 Hai biến cố đồng nhất

Định nghĩa:

Hai biến cố $A$ và $B$ là đồng nhất với nhau khi và chỉ khi “Tập $A$ bằng tập $B$“

Chú ý: Từ định nghĩa trực tiếp suy ra rằng hai biến cố $A$ và $B$ đồng nhất với nhau khi và chỉ khi chúng đồng thời xảy ra hoặc đồng thời cùng không xảy ra, mỗi khi phép thử $T$ được thực hiện.

Kí hiệu: $A=B$.

3.2 Hợp và giao của các biến cố

Giả sử $A,B$ là hai biến cố có liên quan đến một phép thử. Ta có định nghĩa sau:

+) Tập $A\cup B$ được gọi là hợp của các biến cố $A$ và $B$.

$A\cup B$ xảy ra khi và chỉ khi $A$ xảy ra hoặc $B$ xảy ra.

+) Tập $A\cap B$ được gọi là giao của các biến cố $A$ và $B$.

$A\cap B$ xảy ra khi và chỉ khi $A$ và $B$ đồng thời xảy ra.

Biến cố $A\cap B$ còn được viết là $A.B$.

3.3 Hai biến cố xung khắc

Hai biến cố $A$ và $B$ là xung khắc với nhau khi và chỉ khi chúng không khi nào cùng xảy ra hay $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$.

3.4 Biến cố đối

Định nghĩa:

Nếu $A$ là biến cố liên quan đến phép thử $T$ thì tập $\Omega$ $\setminus$ $A$ cũng là một biến cố liên quan đến phép thử $T$ và được gọi là biến cố đối của biến cố $A$, kí hiệu là $\overline{A}$ .

Chú ý:

Từ định nghĩa trực tiếp suy ra:

a) $\overline{A}$ = “Không xảy ra biến cố $A$“. Từ đó ta có:

($\overline{A}$ xảy ra) ⇔ ($A$ không xảy ra).

b) $\overline{A}$ là phần bù của $A$ trong $\Omega$.

c) $B$ là biến cố đối của biến cố $A$ thì $A$ là biến cố đối của biến cố $B$ ($A$ và $B$ là hai biến cố đối nhau). Đồng thời ta có:

( $A$ và  $B$ là hai biến cố đối nhau)  ⇔ $\{\begin{array}{ccc}A\cup B=\mathrm{\Omega }& & \\ A\cap B=\varphi & & \end{array}$.

Ví dụ:

Gieo một con súc sắc thì đây là môt phép thử.

Không gian mẫu $\mathrm{\Omega }=\left\{1;2;3;4;5;6\right\}$.

Gọi $A$ là biến cố: “Các mặt xuất hiện chẵn chấm”.

Khi đó $A=\left\{2;4;6\right\}$.

Gọi $B$ là biến cố: “Các mặt xuất hiện lẻ chấm”.

Khi đó $B=\left\{1;3;5\right\}$.

Dễ thấy:

$A\cup B=\mathrm{\Omega }$ và $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$ nên $A$ và $B$ là các biến cố đối của nhau.