Biến cố và xác suất của biến cố 2023: Lý thuyết và 50 bài tập

Tài liệu Lý thuyết, bài tập về Biến cố và xác suất của biến cố gồm các nội dung sau:

Biến cố và xác suất của biến cố

A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN

I. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu

1. Phép thử ngẫu nhiên

Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, tuy nhiên có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.

Trong “Xác suất” ở trường phổ thông, ta chỉ xét những phép thử ngẫu nhiên có hữu hạn các kết quả có thể có.

Sau đây, ta sẽ gọi tắt phép thử ngẫu nhiên là phép thử.

2. Không gian mẫu

Tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử $T$ được gọi là không gian mẫu của phép thử $T$ và kí hiệu là $\Omega$.

Ví dụ:

Gieo một con súc sắc thì đây là môt phép thử.

Không gian mẫu $\mathrm{\Omega }=\left\{1;2;3;4;5;6\right\}$.

II. Biến cố

1. Định nghĩa

Giả sử $\Omega$ là không gian mẫu của phép thử $T$.

a) Nếu $A$ là tập con của $\Omega$ thì ta nói $A$ là biến cố (liên quan đến phép thử $T$).

b) Trong kết quả của việc thực hiện phép thử $T$, nếu có một phần tử của biến cố xảy ra thì ta nói “biến cố $A$ xảy ra”.

Ví dụ:

Gieo một con súc sắc thì đây là môt phép thử.

Không gian mẫu $\mathrm{\Omega }=\left\{1;2;3;4;5;6\right\}$.

Gọi $A$ là biến cố: “Các mặt xuất hiện chẵn chấm”.

Khi đó $A=\left\{2;4;6\right\}$.

2. Biến cố không thể và biến cố chắc chắn

Giả sử $\Omega$ là không gian mẫu của phép thử $T$, ta có các định nghĩa sau:

a) Biến cố $A$ được gọi là biến cố ngẫu nhiên (liên quan đến phép thử $T$), nếu như $A$ khác rỗng và $A$ là tập con thực sự của $\Omega$.

b) Tập rỗng được gọi là biến cố không thể (liên quan đến phép thử $T$) (gọi tắt là biến cố không).

c) Tập $\Omega$ được gọi là biến cố chắc chắn (liên quan đến phép thử $T$).

3. Các quan hệ và các phép toán trên các biến cố (liên quan đến cùng một phép thử)

Giả sử $\Omega$ là không gian mẫu của phép thử $T$; $A,B,C$ là các biến cố cùng liên quan đến phép thử $T$, ta có các định nghĩa và các kết quả sau:

3.1 Hai biến cố đồng nhất

Định nghĩa:

Hai biến cố $A$ và $B$ là đồng nhất với nhau khi và chỉ khi “Tập $A$ bằng tập $B$“

Chú ý: Từ định nghĩa trực tiếp suy ra rằng hai biến cố $A$ và $B$ đồng nhất với nhau khi và chỉ khi chúng đồng thời xảy ra hoặc đồng thời cùng không xảy ra, mỗi khi phép thử $T$ được thực hiện.

Kí hiệu: $A=B$.

3.2 Hợp và giao của các biến cố

Giả sử $A,B$ là hai biến cố có liên quan đến một phép thử. Ta có định nghĩa sau:

+) Tập $A\cup B$ được gọi là hợp của các biến cố $A$ và $B$.

$A\cup B$ xảy ra khi và chỉ khi $A$ xảy ra hoặc $B$ xảy ra.

+) Tập $A\cap B$ được gọi là giao của các biến cố $A$ và $B$.

$A\cap B$ xảy ra khi và chỉ khi $A$ và $B$ đồng thời xảy ra.

Biến cố $A\cap B$ còn được viết là $A.B$.

3.3 Hai biến cố xung khắc

Hai biến cố $A$ và $B$ là xung khắc với nhau khi và chỉ khi chúng không khi nào cùng xảy ra hay $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$.

3.4 Biến cố đối

Định nghĩa:

Nếu $A$ là biến cố liên quan đến phép thử $T$ thì tập $\Omega$ $\setminus$ $A$ cũng là một biến cố liên quan đến phép thử $T$ và được gọi là biến cố đối của biến cố $A$, kí hiệu là $\overline{A}$ .

Chú ý:

Từ định nghĩa trực tiếp suy ra:

a) $\overline{A}$ = “Không xảy ra biến cố $A$“. Từ đó ta có:

($\overline{A}$ xảy ra) ⇔ ($A$ không xảy ra).

b) $\overline{A}$ là phần bù của $A$ trong $\Omega$.

c) $B$ là biến cố đối của biến cố $A$ thì $A$ là biến cố đối của biến cố $B$ ($A$ và $B$ là hai biến cố đối nhau). Đồng thời ta có:

( $A$ và  $B$ là hai biến cố đối nhau)  ⇔ $\{\begin{array}{ccc}A\cup B=\mathrm{\Omega }& & \\ A\cap B=\varphi & & \end{array}$.

Ví dụ:

Gieo một con súc sắc thì đây là môt phép thử.

Không gian mẫu $\mathrm{\Omega }=\left\{1;2;3;4;5;6\right\}$.

Gọi $A$ là biến cố: “Các mặt xuất hiện chẵn chấm”.

Khi đó $A=\left\{2;4;6\right\}$.

Gọi $B$ là biến cố: “Các mặt xuất hiện lẻ chấm”.

Khi đó $B=\left\{1;3;5\right\}$.

Dễ thấy:

$A\cup B=\mathrm{\Omega }$ và $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$ nên $A$ và $B$ là các biến cố đối của nhau.

III. Xác suất của biến cố

1. Định nghĩa cổ điển của xác suất

Giả sử $A$ là biến cố liên quan đến phép thử $T$ và phép thử $T$ có một số hữu hạn kết quả có thể có, đồng khả năng. Khi đó ta gọi tỉ số $\frac{n(A)}{n(\mathrm{\Omega })}$ là xác suất của biến cố $A$, kí hiệu là

$P(A)$ = $\frac{n(A)}{n(\mathrm{\Omega })}$

Trong đó,

+) $n(A)$ là số phần tử của tập hợp $A$, cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử $T$ thuận lợi cho biến cố $A$;

+) $n(\Omega )$ là số phần tử của không gian mẫu $\Omega$, cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử $T$.

Ví dụ:

Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để mặt xuất hiện là mặt có số chia hết cho $3$.

Hướng dẫn:

Không gian mẫu $\mathrm{\Omega }=\left\{1;2;3;4;5;6\right\}$

$\Rightarrow n\left(\mathrm{\Omega }\right)=6$.

Biến cố $A:$ Mặt xuất hiện có số chia hết cho $3$.

Khi đó $A=\left\{3;6\right\}$

$\Rightarrow n\left(A\right)=2$.

Vậy xác suất $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\mathrm{\Omega }\right)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

2. Các tính chất cơ bản của xác suất

2.1 Định lí

a) $P(\varphi )=0;P(\Omega )=1$.

b) $0\le P(A)\le 1$, với mọi biến cố $A$.

c) Nếu $A$ và $B$ xung khắc với nhau, thì ta có

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ (công thức cộng xác suất).

2.2 Hệ quả

Với mọi biến cố $A$, ta luôn luôn có: $P$($\overline{A}$) = $1-P(A)$.

3. Hai biến cố độc lập

3.1 Định nghĩa

Hai biến cố (liên quan đến cùng một phép thử) là độc lập với nhau khi và chỉ khi việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia (nói cách khác là không làm ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố kia).

 

3.2 Định lí

Nếu $A,B$ là hai biến cố (liên quan đến cùng một phép thử) sao cho $P(A)>0$,

$P(B)>0$ thì ta có:

a) $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập với nhau khi và chỉ khi:

$P(A.B)=P(A).P(B)$

Chú ý: Kết quả vừa nêu chỉ đúng trong trường hợp khảo sát tính độc lập chỉ của 2 biến cố.

b) Nếu $A$ và $B$ độc lập với nhau thì các cặp biến cố sau đây cũng độc lập với nhau:

$A$ và $\overline{B}$, $\overline{A}$ và $B$, $\overline{A}$ và $\overline{B}$.

B. BÀI TẬP

Câu 1. Gieo ba con súc sắc. Xác suất để số chấm xuất hiện trên ba con súc sắc như nhau là?

A. $\frac{12}{216}$

B. $\frac{1}{216}$

C. $\frac{6}{216}$

D. $\frac{3}{216}$

Câu 2. Một hộp có 5 viên bi xanh, 6 viên bi đỏ và 7 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi trong hộp, tính xác suất để 5 viên bi được chọn có đủ màu và số bi đỏ bằng số bi vàng?

A. $\frac{313}{408}$

B. $\frac{95}{408}$

C. $\frac{5}{102}$

D. $\frac{25}{136}$

Câu 3. Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số 1; 2; 3; 4; … ; 9. Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ và nhân hai số ghi trên hai thẻ lại với nhau. Tính xác suất để tích nhận được là số chẵn.

A. $\frac{1}{6}$

B. $\frac{5}{18}$

C. $\frac{8}{9}$

D. $\frac{13}{18}$

Câu 4. Một hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên 1 thẻ từ hộp đó. Tính xác suất thẻ lấy được ghi số lẻ và chia hết cho 3.

A. 0,3

B. 0,5

C. 0,2

D. 0,15

Câu 5. Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Chọn ngẫu nhiên ra 8 tấm thẻ, tính xác suất để có 3 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10.

A. $\frac{560}{4199}$

B. $\frac{4}{15}$

C. $\frac{11}{15}$

D. $\frac{3639}{4199}$

Câu 6. Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn đều là nữ.

A. $\frac{1}{15}$

B. $\frac{7}{15}$

C. $\frac{8}{15}$

D. $\frac{1}{5}$

Câu 7. Một đội gồm 5 nam và 8 nữ. Lập một nhóm gồm 4 người hát tốp ca. Tính xác suất để trong bốn người được chọn có ít nhất ba nữ.

A. $\frac{70}{143}$

B. $\frac{73}{143}$

C. $\frac{56}{143}$

D. $\frac{87}{143}$

Câu 8. Một hộp chứa 11 quả cầu gồm 5 quả cầu màu xanh và 6 quả cầu màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để chọn ra 2 quả cầu cùng màu bằng

A. $\frac{5}{22}$

B. $\frac{6}{11}$

C. $\frac{5}{11}$

D. $\frac{8}{11}$

Câu 9. Một bình đựng 8 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Xác suất để có được ít nhất hai viên bi xanh là bao nhiêu?

A. $\frac{41}{55}$

B. $\frac{14}{55}$

C. $\frac{28}{55}$

D. $\frac{42}{55}$

Câu 10. Một lô hàng có 20 sản phẩm, trong đó 4 phế phẩm. Lấy tùy ý 6 sản phẩm từ lô hàng đó. Hãy tính xác suất để trong 6 sản phẩm lấy ra có không quá 1 phế phẩm.

A. $\frac{91}{323}$

B. $\frac{637}{969}$

C. $\frac{7}{9}$

D. $\frac{91}{285}$

Câu 11. Gieo ngẫu nhiên 2 con xúc sắc cân đối đồng chất. Tìm xác suất của biến cố: “Hiệu số chấm xuất hiện trên 2 con xúc sắc bằng 1”.

A. $\frac{2}{9}$

B. $\frac{1}{9}$

C. $\frac{5}{18}$

D. $\frac{5}{6}$

Câu 12. Thầy giáo có 10 câu hỏi trắc nghiệm, trong đó có 6 câu đại số và 4 câu hình học. Thầy gọi bạn Nam lên trả bài bằng cách chọn lấy ngẫu nhiên 3 câu hỏi trong 10 câu hỏi trên để trả lời. Hỏi xác suất bạn Nam chọn ít nhất có một câu hình học là bằng bao nhiêu?

A. $\frac{5}{6}$

B. $\frac{1}{30}$

C. $\frac{1}{6}$

D. $\frac{29}{30}$

Câu 13. Cho hai đường thẳng song song d₁; d₂. Trên d₁ có 6 điểm phân biệt được tô màu đỏ. Trên d₂ có 4 điểm phân biết được tô màu xanh. Xét tất cả các tam giác được tạo thành khi nối các điểm đó với nhau. Chọn ngẫu nhiên một tam giác, khi đó xác suất để thu được tam giác có hai đỉnh màu đỏ là:

A. $\frac{5}{32}$

B. $\frac{5}{8}$

C. $\frac{5}{9}$

D. $\frac{5}{7}$

Câu 14. Danh sách lớp của bạn Nam đánh số từ 1 đến 45. Nam có số thứ tự là 21. Chọn ngẫu nhiên một bạn trong lớp để trực nhật. Tính xác suất để chọn được bạn có số thứ tự lớn hơn số thứ tự của Nam.

A. $\frac{7}{5}$

B. $\frac{1}{45}$

C. $\frac{4}{5}$

D. $\frac{24}{45}$

Câu 15. Trong giải cầu lông kỷ niệm ngày truyền thống học sinh sinh viên có 8 người tham gia trong đó có hai bạn Việt và Nam. Các vận động viên được chia làm hai bảng A và B, mỗi bảng gồm 4 người. Giả sử việc chia bảng thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên, tính xác suất để cả 2 bạn Việt và Nam nằm chung 1 bảng đấu.

A. $\frac{6}{7}$

B. $\frac{5}{7}$

C. $\frac{4}{7}$

D. $\frac{3}{7}$

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
C	B	D	D	A	A	A	C	D	B	C	A	B	D	D

Xem thêm