Phương pháp giải và bài tập về Cách chứng minh các đẳng thức tổ hợp

Tài liệu Cách chứng minh các đẳng thức tổ hợp gồm các nội dung chính sau:

Phương pháp

–          Gồm phương pháp giải đầy đủ và ngắn gọn Cách chứng minh các đẳng thức tổ hợp.

Các ví dụ

–          Gồm 5 ví dụ minh họa đa dạng của các dạng bài tập Cách chứng minh các đẳng thức tổ hợp có đáp án và lời giải chi tiết.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

DẠNG 7. CÁCH CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC TỔ HỢP

 Phương pháp: Dựa vào các công thức hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

* $P_n=n!$

*  $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$, $1\le k\le n$

*  $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$, $0\le k\le n$

* $n!=n(n-1)(n-2)\mathrm{\dots }(n-k-1).(n-k)!$

Các ví dụ

Ví dụ 1 Chứng minh rằng các đẳng thức sau:

1. $C_n^k+3C_n^{k+1}+3C_n^{k+2}+C_n^{k+3}=C_{n+3}^{k+3}$. với $n\in \mathbb{N}*,0\le k\le n-3$

2. $A_{n+k}^{n+2}+A_{n+k}^{n+1}=k^2{A}_{n+k}^n$ với $n,k\in \mathbb{N}*,k\ge 2$

Lời giải.

1. Ta có: $C_n^k+C_n^{k-1}=\frac{n!}{(n-k)!k!}+\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}$

$=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{n-k+1}\right)$                                 

$=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}\frac{n+1}{k(n-k+1)}$                                 

$=\frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!}=C_{n+1}^k$                                 .

Áp dụng kết quả trên ta có:

$VT=(C_n^k+C_n^{k+1})+2(C_n^{k+1}+C_n^{k+2})+(C_n^{k+2}+C_n^{k+3})$      

$=C_{n+1}^{k+1}+2C_{n+1}^{k+2}+C_{n+1}^{k+3}=(C_{n+1}^{k+1}+C_{n+1}^{k+2})+(C_{n+1}^{k+2}+C_{n+1}^{k+3})$$=C_{n+2}^{k+2}+C_{n+2}^{k+3}=C_{n+3}^{k+3}=VP$       .

2. Ta có: $A_{n+k}^{n+2}+A_{n+k}^{n+1}=\frac{(n+k)!}{(k-2)!}+\frac{(n+k)!}{(k-1)!}=\frac{(n+k)!}{(k-2)!}\left(1+\frac{1}{k-1}\right)$

$=\frac{(n+k)!}{(k-2)!}\frac{k}{k-1}=k^2\frac{(n+k)!}{k!}=k^2{A}_{n+k}^n$                                  

Ví dụ 2 Chứng minh rằng các đẳng thức sau:

1. $C_n^k+4C_n^{k-1}+6C_n^{k-2}+4C_n^{k-3}+C_n^{k-4}=C_{n+4}^k$ với $4\le k\le n$

2. $P_k.A_{n+1}^2.A_{n+3}^2.A_{n+5}^2=nk!A_{n+5}^5$

3. $C_n^0{C}_n^k+C_n^1{C}_{n-1}^{k-1}+\mathrm{\dots }+C_n^k{C}_{n-k}^0=2^k{C}_n^k$

Lời giải:

1.  Ta có: $VT=\left(C_n^k+C_n^{k-1}\right)+3\left(C_n^{k-1}+C_n^{k-2}\right)+3\left(C_n^{k-2}+C_n^{k-3}\right)+\left(C_n^{k-3}+C_n^{k-4}\right)$

$=C_{n+1}^k+3C_{n+1}^{k-1}+3C_{n+1}^{k-2}+C_{n+1}^{k-3}=C_{n+4}^k$                       .

2.  Ta có:  $VT=k!\frac{(n+1)!}{(n-1)!}.\frac{(n+3)!}{(n+1)!}.\frac{(n+5)!}{(n+3)!}$ $=k!\frac{(n+5)!}{(n-1)!}=nk!A_{n+5}^5$.

3.  Ta có: $C_n^m{C}_{n-m}^{k-m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}.\frac{(n-m)!}{(k-m)!(n-k)!}=\frac{n!}{m!(k-m)!(n-k)!}$

$=\frac{k!}{m!(k-m)!}.\frac{n!}{k!(n-k)!}=C_k^m.C_n^k$                              

Suy ra:  $\sum _{m=0}^k{C}_n^m{C}_{n-m}^{k-m}=\sum _{m=0}^k{C}_k^m{C}_n^k=C_n^k\sum _{m=0}^k{C}_k^m=2^k{C}_n^k$.

 

Ví dụ 3 Chứng minh rằng các đẳng thức sau:

1.  $A_n^k-A_{n-1}^k=k.A_{n-1}^{k-1}$ với $n,k\in \mathbb{N}*,n\ge 2,k\le n-1$

2. $\frac{n+1}{n+2}\left(\frac{1}{C_{n+1}^k}+\frac{1}{C_{n+1}^{k+1}}\right)=\frac{1}{C_n^k}$ với  $n,k\in \mathbb{N}*,k\le n$.

Lời giải:

1. Ta có: $A_n^k-A_{n-1}^k=\frac{n!}{(n-k)!}-\frac{(n-1)!}{(n-1-k)!}$

$=\frac{(n-1)!}{(n-k-1)!}\left(\frac{n}{n-k}-1\right)=k\frac{(n-1)!}{(n-k)!}=k{A}_{n-1}^{k-1}$                                

2. Ta có:  $\frac{n+1}{n+2}\left(\frac{1}{C_{n+1}^k}+\frac{1}{C_{n+1}^{k+1}}\right)=\frac{n+1}{n+2}.\frac{k!\left(n+1-k\right)!+\left(k+1\right)!\left(n-k\right)!}{\left(n+1\right)!}$

$=\frac{1}{n+2}.\frac{k!\left(n-k\right)!}{n!}\left[\left(n+1-k\right)+\left(k+1\right)\right]$                                 

$=\frac{k!\left(n-k\right)!}{n!}=\frac{1}{C_n^k}$                                  .

Ví dụ 4 Chứng minh rằng các đẳng thức sau:

1. $C_n^1\mathrm{\dots }{C}_n^{n-1}\le {\left(\frac{2^n-1}{n}\right)}^n$ với $n\in \mathbb{N}*,n\ge 2$

2. $C_{2n+k}^n.C_{2n-k}^n\le {\left(C_{2n}^n\right)}^2$ với $\forall n,k\in \mathbb{Z}$ và $0\le k\le n$.

Xem thêm