Lý thuyết Toán lớp 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số
A. Lý thuyết Giới hạn của hàm số
I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
1. Định nghĩa
Cho khoảng K chứa điểm và hàm số xác định trên K hoặc trên . Hàm số có giới hạn là số L khi dần tới nếu với dãy số bất kì, và , ta có
Kí hiệu hay , khi .
2. Phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số
a, Nếu và thì
b, Nếu với mọi và thì và .
3. Giới hạn một phía
– Cho hàm số xác định trên khoảng . Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số khi nếu với dãy số bất kì thỏa mãn và ta có , kí hiệu .
– Cho hàm số xác định trên khoảng . Số L là giới hạn bên của hàm số khi nếu với dãy số bất kì thỏa mãn và ta có , kí hiệu .
*Nhận xét:
II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
– Cho hàm số xác định trên khoảng . Ta nói hàm số có giới hạn là số L khi nếu với dãy số bất kì và ta có , kí hiệu hay khi .
– Cho hàm số xác định trên khoảng . Ta nói hàm số có giới hạn là số L khi nếu với dãy số bất kì và ta có , kí hiệu hay khi .
* Nhận xét:
– Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
– Với c là hằng số, k là một số nguyên dương ta có:
, ,.
III. Giới hạn vô cực (một phía) của hàm số tại một điểm
– Cho hàm số xác định trên khoảng . Ta nói hàm số có giới hạn khi nếu với dãy số bất kì, và ta có .
Kí hiệu hay khi
– Các giới hạn được định nghĩa tương tự.
IV. Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực
– Cho hàm số xác định trên khoảng . Ta nói hàm số có giới hạn khi về bên trái nếu với dãy số bất kì, và ta có , kí hiệu .
Kí hiệu hay khi .
– Các giới hạn được định nghĩa tương tự.
* Chú ý:
- k là số nguyên dương chẵn.
- k là số nguyên dương lẻ.
B. Bài tập Giới hạn của hàm số
Bài 1. Cho f(x) =1 – x và g(x) = 2x3. Tính các giới hạn sau:
.
Hướng dẫn giải
.
Bài 2. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn của hàm số:
a) ;
b) .
Hướng dẫn giải
a) Giả sử (xn) là một dãy bất kì và xn → 1 khi n → +∞.
Khi đó .
Vậy .
b) Giả sử (xn) là một dãy bất kì thỏa mãn xn ≠ –2 và xn → –2 khi n → +∞.
Vậy .
Bài 3. Tìm giới hạn của các hàm số sau:
a) ;
b) ;
c)
Hướng dẫn giải
.
Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Bài 1: Giới hạn của dãy số
Lý thuyết Bài 2: Giới hạn của hàm số
Lý thuyết Bài 3: Hàm số liên tục
Lý thuyết Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Lý thuyết Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian
Lý thuyết Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song
Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết chương Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Lý thuyết Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Lý thuyết Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Lý thuyết Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song