Lý thuyết Giới hạn của dãy số (Cánh diều 2023) hay, chi tiết

Lý thuyết Toán lớp 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

A. Lý thuyết Giới hạn của dãy số

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

– Dãy số $(u_{n})$ có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu $| u_{n} |$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu $lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0$ hay $u_{n} \to 0$ khi $n \to + \infty$ hay $lim u_{n} = 0$ .

– Dãy số $(u_{n})$ có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu $lim_{n \to + \infty} (u_{n} - a) = 0$ , kí hiệu $lim_{n \to + \infty} u_{n} = a$ hay $u_{n} \to a$ khi $n \to + \infty$ hay $lim u_{n} = a$ .

* Chú ý: Nếu $u_{n} = c$ (c là hằng số) thì $lim_{n \to + \infty} u_{n} = c$

2. Một số giới hạn cơ bản

+ $lim \frac{1}{n} = 0, lim \frac{1}{n^{k}} = 0, k \in Z .$

+ $lim \frac{c}{n} = 0, lim \frac{c}{n^{k}} = 0, k \in Z$ , c là hằng số.

+ Nếu $| q | < 1$ thì $lim q^{n} = 0$

+ $lim {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = e$

3. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số

a, Nếu $lim_{n \to + \infty} u_{n} = a, lim_{n \to + \infty} v_{n} = b$ thì

$lim_{n \to + \infty} (u_{n} \pm v_{n}) = a \pm b$

$lim_{n \to + \infty} (u_{n} . v_{n}) = a . b$

$lim_{n \to + \infty} (\frac{u_{n}}{v_{n}}) = \frac{a}{b} (b \neq 0)$

b, Nếu $u_{n} \geq 0$ thì với mọi n và $lim_{n \to + \infty} u_{n} = a$ thì $a \geq 0$ và $lim_{n \to + \infty} \sqrt{u_{n}} = \sqrt{a}$ .

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân lùi vô hạn $u_{1}, u_{1} q, . . ., u_{1} q^{n - 1}, . . .$ có công bội q thỏa mãn $| q | < 1$ được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:

$S = \frac{u_{1}}{1 - q} (| q | < 1)$

4. Giới hạn vô cực

– Dãy số $(u_{n})$ được gọi là có giới hạn $+ \infty$ khi $n \to + \infty$ nếu $u_{n}$ có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = + \infty$ hay $u_{n} \to + \infty$ khi $n \to + \infty$ .

– Dãy số $(u_{n})$ được gọi là có giới hạn $- \infty$ khi $n \to + \infty$ nếu $lim_{x \to + \infty} (- u_{n}) = + \infty$ , kí hiệu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = - \infty$ hay $u_{n} \to - \infty$ khi $n \to + \infty$ .

*Nhận xét:

$\begin{array}{l} lim n^{k} = + \infty, k \in Z^{+} \\ lim q^{n} = + \infty; q \in R, q > 1. \end{array}$
Nếu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = a$ và $lim_{x \to + \infty} v_{n} = + \infty$ (hoặc $lim_{x \to + \infty} v_{n} = - \infty$ ) thì $lim_{n \to + \infty} (\frac{u_{n}}{v_{n}}) = 0$ .
Nếu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = a > 0$ và $lim_{x \to + \infty} v_{n} = 0, \forall n$ thì $lim_{n \to + \infty} (\frac{u_{n}}{v_{n}}) = + \infty$ .
$lim_{n \to + \infty} (\frac{u_{n}}{v_{n}}) = + \infty$ .
Nếu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = + \infty \Leftrightarrow lim_{n \to + \infty} (- u_{n}) = - \infty$

B. Bài tập Giới hạn của dãy số

Bài 1. Tính các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{3}{5 n - 2}$ ;

b) $\lim \frac{- 4 n + 6}{2 n}$ ;

c) $\lim \frac{4^{n} + {6.2}^{n}}{{3.4}^{n}}$ ;

d) $\lim \frac{5 + \frac{- 3}{n^{2}}}{4^{n}}$ .

Hướng dẫn giải

a) Ta có Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 1: Giới hạn của dãy số .

Vậy $\lim \frac{3}{5 n - 2} = 0$ .

b) Ta có Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 1: Giới hạn của dãy số .

Vậy $\lim \frac{- 4 n + 6}{2 n} = - 2$ .

Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 1: Giới hạn của dãy số .

Vậy $\lim \frac{4^{n} + {6.2}^{n}}{{3.4}^{n}} = \frac{1}{3}$ .

d) Ta có: Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 1: Giới hạn của dãy số

Vậy $\lim \frac{5 + \frac{- 3}{n^{2}}}{4^{n}} = 0$ .

Bài 2. Cho $u_{n} = \frac{1}{n^{3}} + 2$ và $v_{n} = 1 - \frac{1}{n}$ . Tính các giới hạn:

lim (u_n + v_n); lim(u_n – v_n); lim(u_n.v_n); $\lim \frac{u_{n}}{v_{n}}$ .

Hướng dẫn giải

Lý thuyết Toán 11 Cánh diều Bài 1: Giới hạn của dãy số .

Khi đó:

• lim (u_n + v_n) = lim u_n + lim v_n = 2 + 1 = 3.

• lim (u_n – v_n) = lim u_n – lim v_n = 2 – 1 = 1.

• lim (u_n . v_n) = lim u_n . lim v_n = 2 . 1 = 2

• $\lim \frac{u_{n}}{v_{n}} = \frac{\lim u_{n}}{\lim v_{n}} = \frac{2}{1} = 2$ .

Bài 3. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn biết u₁ = 1, công bội $q = \frac{2}{3}$ .

Hướng dẫn giải

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 1, công bội $q = \frac{2}{3}$ là:

$S = u_{1} + u_{1} q + … + u_{1} q^{n - 1} + … = \frac{1}{1 - \frac{2}{3}} = 3$ .

Vậy S = 3.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 3: Cấp số nhân

Lý thuyết Bài 1: Giới hạn của dãy số

Lý thuyết Bài 2: Giới hạn của hàm số

Lý thuyết Bài 3: Hàm số liên tục

Lý thuyết Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Lý thuyết Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết chương Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Lý thuyết Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Lý thuyết Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Lý thuyết Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy