Lý thuyết Cấp số cộng (Cánh diều 2023) hay, chi tiết | Toán lớp 11

Lý thuyết Toán lớp 11 Bài 2: Cấp số cộng

A. Lý thuyết Cấp số cộng

1. Định nghĩa

Cấp số cộng là một dãy số ,trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Tức là:

$u_n=u_{n-1}+d,n\ge 2$

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

* Nhận xét: Nếu $\left(u_n\right)$ là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của 2 sô hạng đứng kề nó trong dãy, tức là:

$u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}\left(k\ge 2\right)$

2. Số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có số hạng đầu là $u_1$ và công sai d thì số hạng tổng quát $u_n$của nó được xác định theo công thức$u_n=u_1+(n-1)d,n\ge 2.$

3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$với công sai d. Đặt $S_n=u_1+u_2+u_3+...+u_n$. Khi đó

$S_n=\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}=\frac{n}{2}\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]$

 

B. Bài tập Cấp số cộng

Bài 1. Cho dãy số (u_n) với u_n = 5 – 3n.

a) Chứng minh dãy số (u_n) là cấp số cộng. Chỉ rõ u₁ và d.

b) Tìm tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy.

Hướng dẫn giải

a) Xét hiệu u_{n + 1} – u_n = [5 – 3(n + 1)] – (5 – 3n) = –3.

Do đó u_{n + 1} = u_n + (–3)

Suy ra dãy số (u_n) là cấp số cộng; u₁ = 5 – 3.1 = 2; công sai d = –3.

b) Tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy là:

.

Bài 2. Cho cấp số cộng có u₁ = 3; công sai d = 4.

a) Viết công thức của số hạng tổng quát u_n.

b) Số 155 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên?

c) Tính tổng 200 số hạng đầu của dãy.

Hướng dẫn giải

a) Ta có công thức của số hạng tổng quát u_n là:

u_n = u₁ + (n – 1).d = 3 + (n – 1).4 = 4n – 1.

Vậy u_n = 4n – 1.

b) Giả sử 155 là số hạng thứ n của cấp số cộng. Ta có:

$n=\frac{u_n-u_1}{d}+1=\frac{155-3}{4}+1=39$.

Vậy 155 là số hạng thứ 39 của cấp số cộng.

c) Tổng 200 số hạng đầu của dãy là:

.

Vậy tổng 200 số hạng đầu của dãy là S₂₀₀ = 80200.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 1: Dãy số

Lý thuyết Bài 2: Cấp số cộng

Lý thuyết Bài 3: Cấp số nhân

Lý thuyết Bài 1: Giới hạn của dãy số

Lý thuyết Bài 2: Giới hạn của hàm số

Lý thuyết Bài 3: Hàm số liên tục

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết chương Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Lý thuyết Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Lý thuyết Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Lý thuyết Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song