Lý thuyết Số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm (Chân trời sáng tạo 2023) hay, chi tiết | Toán lớp 11

Lý thuyết Toán lớp 11 Bài 1: Số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

A. Lý thuyết Số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

1. Số liệu ghép nhóm

– Mẫu số liệu ghép nhóm là thường được trình bày dưới dạng bảng thống kê có dạng như sau:

 

Bảng 1. Bảng tần số ghép nhóm

– Bảng trên gồm k nhóm $[u_i;u_{i+1})$ với $1\le j\le k$, mỗi nhóm gồm một số giá trị được ghép theo một tiêu chí xác định.

– Cỡ mẫu $n=n_1+...+n_k$

– Giá trị chính giữ mỗi nhóm được dùng làm giá trị đại diện.

– Hiệu $u_{i+1}-u_i$được gọi là độ dài của nhóm $[u_i;u_{i+1})$

• Một số quy tắc ghép nhóm của mẫu số liệu

– Sử dụng từ $k=5$ đến $k=20$ nhóm. Cỡ mẫu càng lớn thì cần càng nhiều nhóm số liệu.

– Các nhóm có cùng độ dài bằng L thỏa mãn R<k, trong đó R là khoảng biến thiên, k là số nhóm.

– Giá trị nhỏ nhất của mẫu thuộc vào nhóm$[u_1;u_2)$ và càng gần $u_1$ càng tốt. Giá trị lớn nhất của mẫu thuộc nhóm $[u_k;u_{k+1})$ và càng gần $u_{k+1}$ càng tốt.

* Chú ý:

Các đầu mút của nhóm có thể không là giá trị của mẫu số liệu.

2. Số trung bình

 Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm kí hiệu là $\overline{x}$ được tính như sau:

$\overline{x}=\frac{n_1{c}_1+...+n_k{c}_k}{n}$

Trong đó, $n=n_1+...+n_k$ là cỡ mẫu.

Ý nghĩa: Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho số trung bình của mẫu số liệu gốc. Nó thường dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.

3. Mốt

– Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là nhóm có tần số lớn.

Giả sử nhóm chứa mốt là: $[u_m;u_{m+1})$.Khi đó mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là $M_o$ được xác định bời công thức:

$M_o=u_m+\frac{n_m-n_{m-1}}{\left(n_m-n_{m-1}\right)+\left(n_m-n_{m+1}\right)}.\left(u_{m+1}-u_m\right)$

• Chú ý:

– Nếu không có nhóm kề trước của nhóm chứa mốt thì $n_{m-1}=0$. Nếu không có hóm kề sau của nhóm chứa mốt thì $n_{m+1}=0$.

– Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị có khả năng xuất hiện cao nhất khi lấy mốt của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm $M_o$ xấp xỉ với mốt của mẫu số liệu không ghép nhóm. Các giá trị nằm xung quanh $M_o$ thường có khả năng xuất hiện cao hơ các giá trị khác.

– Một mẫu có thể không có mốt hoặc có nhiều hơn một mốt.

B. Bài tập Số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 1. Một thư viện thống kê số lượng sách được mượn mỗi ngày trong ba tháng ở bảng sau:

Số sách	[16; 20]	[21; 25]	[26; 30]	[31; 35]	[36; 40]	[41; 45]	[46; 50]
Số ngày	3	6	15	27	22	14	5

Hãy ước lượng số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Hướng dẫn giải

Số liệu ở bảng trên được hiệu chỉnh như sau:

Số sách	[15,5; 20,5)	[20,5; 25,5)	[25,5; 30,5)	[30,5; 35,5)	[35,5; 40,5)	[40,5; 45,5)	[45,5; 50,5)
Giá trị đại diện	18	23	28	33	38	43	48
Số ngày	3	6	15	27	22	14	5

Số sách được mượn trung bình mỗi ngày xấp xỉ bằng:

(18.3 + 23.6 + 28.15 + 33.27 + 38.33 + 43.14 + 48.5) : 92 = 34,6 (quyển sách)

Vậy nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là nhóm [30,5; 35,5).

Do đó u_m = 30,5; n_{m – 1} = 15, n_{m + 1} = 22; u_{m + 1} – u_m = 35,5 – 30,5 = 5.

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Vậy số trung bình của nhóm số liệu trên là 34,6 và mốt là 34.

Bài 2. Kết quả đo chiều cao của 200 cây keo 3 năm tuổi ở một nông trường được biểu diễn ở biểu đồ dưới đây.

Hãy ước lượng số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Hướng dẫn giải

Chiều cao của 200 cây keo 3 năm tuổi được thống kê như sau:

Chiều cao	[8,5; 8,8)	[8,8; 9,1)	[9,1; 9,4)	[9,4; 9,7)	[9,7; 10)
Giá trị đại diện	8,65	8,95	9,25	9,55	9,85
Số cây	20	35	60	55	30

Chiều cao trung bình của 200 cây xấp xỉ bằng:

(8,65.20 + 8,95.35 + 9,25.60 + 9,55.55 + 9,85.30) : 200 = 9,31 (m)

Vậy nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là nhóm [9,1; 9,4).

Do đó u_m = 9,1; n_{m – 1} = 35, n_{m + 1} = 55; u_{m + 1} – u_m = 9,4 – 9,1 = 0,3.

Mốt của mẫu số liệu trên là:

Vậy số trung bình của nhóm số liệu trên là 9,31 và mốt là 9,35.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 2: Hai đường thẳng song song

Lý thuyết Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Lý thuyết Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Lý thuyết Bài 5: Phép chiếu song song

Lý thuyết Bài 1: Số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Lý thuyết Bài 2: Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết chương Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Lý thuyết Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Lý thuyết Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Lý thuyết Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian

Lý thuyết Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm