20 Bài tập Số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm (sách mới) có đáp án – Toán 11

Bài tập Toán 11 Số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

A. Bài tập Số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 1. Một thư viện thống kê số lượng sách được mượn mỗi ngày trong ba tháng ở bảng sau:

Số sách	[16; 20]	[21; 25]	[26; 30]	[31; 35]	[36; 40]	[41; 45]	[46; 50]
Số ngày	3	6	15	27	22	14	5

Hãy ước lượng số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Hướng dẫn giải

Số liệu ở bảng trên được hiệu chỉnh như sau:

Số sách	[15,5; 20,5)	[20,5; 25,5)	[25,5; 30,5)	[30,5; 35,5)	[35,5; 40,5)	[40,5; 45,5)	[45,5; 50,5)
Giá trị đại diện	18	23	28	33	38	43	48
Số ngày	3	6	15	27	22	14	5

Số sách được mượn trung bình mỗi ngày xấp xỉ bằng:

(18.3 + 23.6 + 28.15 + 33.27 + 38.33 + 43.14 + 48.5) : 92 = 34,6 (quyển sách)

Vậy nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là nhóm [30,5; 35,5).

Do đó u_m = 30,5; n_{m – 1} = 15, n_{m + 1} = 22; u_{m + 1} – u_m = 35,5 – 30,5 = 5.

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Vậy số trung bình của nhóm số liệu trên là 34,6 và mốt là 34.

Bài 2. Kết quả đo chiều cao của 200 cây keo 3 năm tuổi ở một nông trường được biểu diễn ở biểu đồ dưới đây.

Hãy ước lượng số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Hướng dẫn giải

Chiều cao của 200 cây keo 3 năm tuổi được thống kê như sau:

Chiều cao	[8,5; 8,8)	[8,8; 9,1)	[9,1; 9,4)	[9,4; 9,7)	[9,7; 10)
Giá trị đại diện	8,65	8,95	9,25	9,55	9,85
Số cây	20	35	60	55	30

Chiều cao trung bình của 200 cây xấp xỉ bằng:

(8,65.20 + 8,95.35 + 9,25.60 + 9,55.55 + 9,85.30) : 200 = 9,31 (m)

Vậy nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là nhóm [9,1; 9,4).

Do đó u_m = 9,1; n_{m – 1} = 35, n_{m + 1} = 55; u_{m + 1} – u_m = 9,4 – 9,1 = 0,3.

Mốt của mẫu số liệu trên là:

Vậy số trung bình của nhóm số liệu trên là 9,31 và mốt là 9,35.

B. Lý thuyết Số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

1. Số liệu ghép nhóm

– Mẫu số liệu ghép nhóm thường được trình bày dưới dạng bảng thống kê có dạng như sau:

Nhóm	[u1; u2)	[u2; u3)	…	[uk; uk + 1)
Tần số	n1	n2	…	nk

Bảng 1: Bảng tần số ghép nhóm

Chú ý:

• Bảng trên gồm k nhóm [u_j; u_{j + 1}) với 1 ≤ j ≤ k, mỗi nhóm gồm một số giá trị được ghép theo một tiêu chí xác định.

• Cỡ mẫu n = n₁ + n₂ + … + n_k.

• Giá trị chính giữa mỗi nhóm được dùng làm giá trị đại diện cho nhóm ấy. Ví dụ nhóm [u₁; u₂) có giá trị đại diện là $\frac{1}{2}$($u_1+u_2$).

• Hiệu u_{j + 1} – u_j được gọi là độ dài của nhóm [u_j; u_{j + 1}).

1.1. Một số quy tắc ghép nhóm của mẫu số liệu

Mỗi mẫu số liệu có thể được ghép nhóm theo nhiều cách khác nhau nhưng thường tuân theo một số quy tắc sau:

– Sử dụng từ k = 5 đến k = 20 nhóm. Cỡ mẫu càng lớn thì càng nhiều nhóm số liệu. Các nhóm có cùng độ dài bằng L thỏa mãn R < k . L, trong đó R là khoảng biến thiên, k là số nhóm.

– Giá trị nhỏ nhất của mẫu thuộc vào nhóm [u₁; u₂) và càng gần u1 càng tốt. Giá trị lớn nhất của mẫu thuộc nhóm [u_k; u_{k + 1}) và càng gần u_{k + 1} càng tốt.

Chú ý:

• Các đầu mút của các nhóm có thể không là giá trị của mẫu số liệu.

• Ta hay gặp các bảng số liệu ghép nhóm là số nguyên, chẳng hạn như bảng thống kê số lỗi chính tả trong bài kiểm tra giữa học kì 1 môn Ngữ Văn của học sinh khối 11 như sau:

Số lỗi	[1; 2]	[3; 4]	[5; 6]	[7; 8]	[9; 10]
Số bài	122	75	14	5	2

Bảng số liệu này không có dạng như Bảng 1. Để thuận lợi cho việc tính các số đặc trưng cho bảng số liệu này, người ta hiệu chỉnh về dạng như Bảng 1 bằng cách thêm và bớt 0,5 đơn vị vào đầu mút bên phải và bên trái của mỗi nhóm số liệu như sau:

Số lỗi	[0,5; 2,5)	[2,5; 4,5)	[4,5; 6,5)	[6,5; 8,5)	[8,5; 10,5)
Số bài	122	75	14	5	2

Ví dụ: Cân nặng của 28 học sinh nam lớp 11 được cho như sau:

55,4	62,6	54,2	56,8	58,8	59,4	60,7	58	59,5	63,6	61,8	52,3	63,4	57,9
49,7	45,1	56,2	63,2	46,1	49,6	59,1	55,3	55,8	45,5	46,8	54	49,2	52,6

Hãy chia mẫu dữ liệu trên thành 5 nhóm, lập bảng tần số ghép nhóm và xác định giá trị đại diện cho mỗi nhóm.

Ta có: khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là R = 63,6 – 45,1 = 18,5.

Độ dài mẫu nhóm $L>\frac{R}{k}=\frac{18,5}{5}=3,7.$

Ta chọn L = 4 và chia dữ liệu thành các nhóm [45; 49), [49; 53), [53; 57), [57; 61),

[61; 65).

Khi đó ta có bảng tần số ghép nhóm sau:

Cân nặng	[45; 49)	[49; 53)	[53; 57)	[57; 61)	[61; 65)
Giá trị đại diện	47	51	55	59	63
Số học sinh	4	5	7	7	5

2. Số trung bình

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu x, được tính như sau:

$\overline{x}=\frac{n_1{c}_1+n_2{c}_2+\mathrm{\dots }+n_k{c}_k}{n}$

trong đó n = n₁ + n₂ + … + n_k.

2.1. Ý nghĩa của số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm

– Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho số trung bình của mẫu số liệu gốc. Nó thường dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.

Ví dụ: Kết quả khảo sát cân nặng của 25 quả cam ở mỗi lô hàng A và B được cho ở bảng sau:

Cân nặng (g)	[150; 155)	[155; 160)	[160; 165)	[165; 170)	[170; 175)
Số quả cam ở lô hàng A	2	6	12	4	1
Số quả cam ở lô hàng B	1	3	7	10	4

Hãy ước lượng cân nặng trung bình của mỗi quả cam ở lô hàng A và lô hàng B.

Ta có bảng thống kê số lượng cam theo giá trị đại diện:

Cân nặng đại diện (g)	152,5	157,5	162,5	167,5	172,5
Số quả cam ở lô hàng A	2	6	12	4	1
Số quả cam ở lô hàng B	1	3	7	10	4

Cân nặng trung bình của mỗi quả cam ở lô hàng A xấp xỉ bằng:

(2.152,5 + 6.157,5 + 12.162,5 + 4.167,5 + 1.172,5) : 25 = 161,7 (g).

Cân nặng trung bình của mỗi quả cam ở lô hàng B xấp xỉ bằng:

(1.152,5 + 3.157,5 + 7.162,5 + 10.167,5 + 4.172,5) : 25 = 165,1 (g).

3. Mốt

– Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là nhóm có tần số lớn nhất.

– Giả sử nhóm chứa mốt là [u_m; u_{m + 1}), khi đó mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là M₀, được xác định bởi công thức

Chú ý:

• Nếu không có nhóm kề trước của nhóm chứa mốt thì n_{m – 1} = 0. Nếu không có nhóm kề sau của nhóm chứa mốt thì n_{m + 1} = 0.

* Ý nghĩa của mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

– Mốt của mẫu số liệu không ghép nhóm là giá trị có khả năng xuất hiện cao nhất khi lấy mẫu. Mốt của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm M_o xấp xỉ với mốt của mẫu số liệu không ghép nhóm. Các giá trị nằm xung quanh M_o thường có khả năng xuất hiện cao hơn các giá trị khác.

– Một mẫu số liệu ghép nhóm có thể có nhiều nhóm chứa mốt và nhiều mốt.

Ví dụ: Một công ty xây dựng khảo sát khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giá nào. Kết quả khảo sát được ghi lại ở bảng sau:

Mức giá (triệu đồng/m2)	[10; 14)	[14; 18)	[18; 22)	[22; 26)	[26; 30)
Số khách hàng	54	78	120	45	12

Tìm mốt của mẫu số liệu trên.

Hướng dẫn giải

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là nhóm [18; 22).

Do đó u_m = 18, n_{m – 1} = 78, nm = 120, n_{m + 1} = 45, u_{m + 1} – u_m = 22 – 18 = 4.

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là: