Lý thuyết Toán 11 Chương 3 (Kết nối tri thức 2023): Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm hay, chi tiết

Lý thuyết Toán lớp 11 Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

A. Lý thuyết Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

1. Giới thiệu về mẫu số liệu ghép nhóm

Mẫu số liệu ghép nhóm là mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số của các nhóm số liệu. Mỗi nhóm số liệu là tập hợp gồm các giá trị của số liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác định. Nhóm số liệu thường được cho dưới dạng [a; b), trong đó a là đầu mút trái, b là đầu mút phải.

Nhận xét:

– Mẫu số liệu ghép nhóm được dùng khi ta không thể thu thập được số liệu chính xác hoặc do yêu cầu của bài toán mà ta phải biểu diễn số liệu mẫu số liệu dưới dạng ghép nhóm để thuận lợi cho việc tổ chức, đọc và phân tích số liệu.

– Trong một số trường hợp, nhóm số liệu cuối cùng có thể lấy đầu mút bên phải.

2. Ghép nhóm mẫu số liệu

Để chuyển mẫu số liệu không ghép nhóm sang mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm như sau:

Bước 1: Chia miền giá trị của mẫu số liệu thành một số nhóm theo tiêu chí cho trước.

Bước 2: Đếm số giá trị của mẫu số liệu thuộc mỗi nhóm (tần số) và lập bảng thống kê cho mẫu số liệu ghép nhóm.

Chú ý:

– Độ dài của nhóm [a; b) là b – a.

– Không nên chia thành quá nhiều nhóm hoặc quá ít nhóm. Các nhóm không giao nhau, các nhóm nên có độ dài như nhau và tổng độ dài các nhóm lớn hơn khoảng biến thiên.

3. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm

Cho mẫu số liệu ghép nhóm:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là $\overline{x}$ .

$\overline{x}=\frac{m_1{x}_1+\mathrm{\dots }+m_k{x}_k}{n}$

trong đó, n = m₁ + … + m_k là cỡ mẫu và $x_i=\frac{a_i+a_{i+1}}{2}$ (với i = 1, …, k) là giá trị đại diện của nhóm [a_i; a_i+1).

Chú ý: Đối với số liệu rời rạc, người ta thường cho các nhóm dưới dạng k₁ – k₂, trong đó k₁, k₂ ∈ ℕ. Nhóm k₁ – k₂ được hiểu là nhóm gồm các giá trị k₁, k₁ + 1, …, k₂. Khi đó, ta cần hiệu chỉnh mẫu dữ liệu ghép nhóm để đưa về dạng Bảng 3.2 trước khi thực hiện tính toán các số đặc trưng bằng cách hiệu chỉnh nhóm k₁ – k₂ với k₁, k₂ ∈ ℕ thành nhóm [k₁ – 0,5; k₂ + 0,5). Chẳng hạn, với dữ liệu ghép nhóm điểm thi môn Toán trong bảng 3.3 sau khi hiệu chỉnh ta được bảng 3.4.

Ý nghĩa: Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho số trung bình của mẫu số liệu gốc, nó cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng đại diện cho mẫu số liệu.

4. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Cho mẫu số liệu ghép nhóm:

Để tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm như sau:

Bước 1: Xác định nhóm chứa trung vị. Giả sử đó là nhóm thứ p: [a_p; a_p+1).

Bước 2: Trung vị 

trong đó n là cỡ mẫu, m_p là tần số nhóm p. Với p = 1, ta quy ước m₁ + ….+ m_p-1 = 0.

Ý nghĩa: Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho trung vị của mẫu số liệu gốc, nó chia mẫu số liệu thành hai phần, mỗi phần chứa 50% giá trị.

5. Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Cho mẫu số liệu ghép nhóm:

Để tính tứ phân vị thứ nhất Q₁ vị của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa Q₁, giả sử đó là nhóm thứ p: [a_p; a_p+1). Khi đó,

trong đó, n là cỡ mẫu, m_p là tần số nhóm p, với p = 1 ta quy ước m₁ + ….+ m_p-1 = 0.

Để tính tứ phân vị thứ ba Q₃ của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa Q₃. Giả sử đó là nhóm thứ p: [a_p; a_p+1).

trong đó, n là cỡ mẫu, m_p là tần số nhóm p, với p = 1 ta quy ước m₁ + ….+ m_p-1 = 0.

Tứ phân vị thứ hai Q₂ chính là trung vị M_e.

Nhận xét: Ta cũng có thể xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ r nhờ tính chất: có khoảng  giá trị nhỏ hơn tứ phân vị này.

Ý nghĩa: Các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho các tứ phân vị của mẫu số liệu gốc, chúng chia mẫu số liệu thành 4 phần, mỗi phần chứa 25% giá trị.

6. Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Để tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định nhóm có tần số lớn nhất (gọi là nhóm chứa mốt), giả sử là nhóm j: [a_j; a_j+1).

Bước 2: Mốt được xác định là 

trong đó m_j là tần số của nhóm j (quy ước m_o = m_k+1 = 0) và h là độ dài của nhóm.

Lưu ý:

– Người ta chỉ định nghĩa mốt cho mẫu ghép nhóm có độ dài các nhóm bằng nhau. Một mẫu có thể không có mốt hoặc có nhiều hơn một mốt.

– Khi tần số của các nhóm số liệu bằng nhau thì mẫu số liệu ghép nhóm không có mốt.

Ý nghĩa: Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho mốt của mẫu số liệu gốc, nó được dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho bảng số liệu khảo sát về tuổi thọ (đơn vị: nghìn giờ) của một loại bóng đèn:

Tuổi thọ	[3; 5)	[5; 7)	[7; 9)	[9;11)	[11; 13)
Số bóng đèn	4	20	26	42	8

a) Mẫu số liệu đã cho có là mẫu số liệu ghép nhóm hay không?

b) Có bao nhiêu bóng đèn được khảo sát và bao nhiêu bóng đèn có tuổi thọ từ 9 nghìn giờ trở lên?

Hướng dẫn giải

a) Mẫu số liệu đã cho là mẫu số liệu ghép nhóm.

b) Số bóng đèn được khảo sát là 4 + 20 + 26 + 42 + 8 = 100.

Số bóng đèn có tuổi thọ từ 9 nghìn giờ trở lên là 42 + 8 = 50.

Bài 2: Cho mẫu số liệu về chiều cao của các học sinh lớp 11B (đơn vị: cm)

156	159	160	161	162	162	163	163	164	164	164
165	165	165	165	165	166	166	166	167	167	168
168	168	169	169	169	170	170	170	171	172	173

Hãy chuyển mẫu số liệu trên thành mẫu số liệu ghép nhóm gồm năm nhóm có độ dài bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Giá trị nhỏ nhất của mẫu là 156; giá trị lớn nhất là 173 nên khoảng biến thiên là 173 – 156 = 17.

Ta cần mẫu số liệu thành 5 nhóm.

Để thuận tiện ta chọn đầu mút trái của nhóm đầu tiên là 156 và đầu mút phải của nhóm cuối cùng là 173,5; độ dài mỗi nhóm là 3,5 ta được các nhóm là [156;159,5), [159,5; 163), [163; 166,5), [166,5;170), [170; 173,5).

Đếm số giá trị thuộc mỗi nhóm, ta có mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

Chiều cao	[156;159,5)	[159,5; 163)	[163; 166,5)	[166,5;170)	[170; 173,5)
Số học sinh	2	4	13	8	6

Bài 3: Kết quả khảo sát cân nặng của 20 quả táo ở mỗi lô hàng A và B được cho bởi bảng sau:

Cân nặng (gam)	[150; 155)	[155; 160)	[160; 165)	[165; 170)	[170; 175)
Số quả táo lô hàng A	1	4	10	3	2
Số quả táo lô hàng B	2	3	12	2	1

a) Hãy ước lượng cân nặng trung bình của mỗi quả táo ở hai lô hàng trên.

b) Nếu so sánh theo số trung bình thì táo ở lô hàng nào nặng hơn?

Hướng dẫn giải

Trong mỗi khoảng cân nặng, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Cân nặng (gam)	152,5	157,5	162,5	167,5	172,5
Số quả táo lô hàng A	1	4	10	3	2
Số quả táo lô hàng B	2	3	12	2	1

Tổng số quả táo của mỗi lô hàng A và B đều là n = 20.

Cân nặng trung bình của mỗi quả táo ở lô hàng A là:

$\overline{x_A}=\frac{1.152,5+4.157,5+10.162,5+3.167,5+2.172,5}{20}=\frac{651}{4}$= 162,75 (gam)

Cân nặng trung bình của mỗi quả táo ở lô hàng B là:

$\overline{x_B}=\frac{2.152,5+3.157,5+12.162,5+2.167,5+1.172,5}{20}$= 161,75 (gam)

Theo số trung bình thì táo ở lô hàng A nặng hơn táo ở lô hàng B.

Bài 4: Cho mẫu số liệu về cân nặng (kg) của 45 học sinh lớp 11A được cho bởi bảng sau:

Cân nặng (kg)	[40; 45)	[45; 50)	[50; 55)	[55; 60)	[60; 65)
Số học sinh	7	10	20	6	2

Tính tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu trên.

Hướng dẫn giải

Cỡ mẫu là n = 7 + 10 + 20 + 6 + 2 = 45

Gọi x₁, x₂, ….., x₄₅ là cân nặng của 45 học sinh và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Khi đó, trung vị là x₂₃. Do giá trị x₂₃ thuộc nhóm [50; 55) nên nhóm này chứa trung vị.

Do đó p = 3; a₃ = 50, m₃ = 20; m₁ + m₂ = 7 + 10 = 17; a₄ – a₃ = 55 – 50 = 5

Khi đó

Vậy M_e = 51,4.

Từ M_e = 51,4, suy ra Q₂ = 51,4.

– Tứ phân vị thứ nhất Q₁ là trung vị của nửa dãy bên trái Q₂ nên $Q_1=\frac{x_{11}+x_{12}}{2}$ .

Do x₁₁ và x₁₂ đều thuộc nhóm [45; 50) nên nhóm này chứa Q₁. Do đó, p = 2, a₂ = 45, m₂ = 10, m₁ = 7; a₃ – a₂ = 5.

Ta có

$Q_1=a_2+\frac{\frac{n}{4}-m_1}{m_2}.$(a₃-a₂)=$45+\frac{\frac{45}{4}-7}{10}.5\approx 47,1$.

– Tứ phân vị thứ ba Q₃ là trung vị của nửa dãy bên phải Q₂ nên $Q_3=\frac{x_{34}+x_{35}}{2}$ .

Do x₃₄ và x₃₅ đều thuộc nhóm [50; 55) nên nhóm này chứa Q₃. Do đó, p = 3, a₃ = 50, m₃ = 20, m₁ + m₂ = 7 + 10 = 17; a₄ – a₃ = 55 – 50 = 5.

Ta có

$=50+\frac{\frac{3.45}{4}-17}{20}.5\approx 54,2$.

Vậy tứ phân vị: Q₁ ≈ 47,1; Q₂ ≈ 51,4; Q₃ ≈ 54,2.

– Ta thấy tần số lớn nhất là 20 nên nhóm chứa mốt là nhóm [50; 55).

Ta có j = 3, a₃ = 50, m₃ = 20, m₂ = 10, m₄ = 6, h = 55 – 50 = 5

Khi đó

Video bài giảng Toán 11 Bài tập cuối chương 3 trang 69 – Kết nối tri thức

Vậy M_o ≈ 52,1.

Lý thuyết Bài 8: Mẫu số liệu ghép nhóm

Xem chi tiết

Lý thuyết Bài 9: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Xem chi tiết

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết chương Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác

Lý thuyết Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Lý thuyết Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Lý thuyết Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Lý thuyết Chương 4: Quan hệ song song trong không gian

Lý thuyết Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục