Chuyên đề Tính đơn điệu của hàm số 2023 hay, chọn lọc

Chuyên đề Tính đơn điệu của hàm số

Phần 1: Cách xét tính đơn điệu của hàm số cực hay

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.

    Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).

    Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

    Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.

    Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

    Nếu f'(x) > 0,∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

    Nếu f'(x) < 0,∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.

    Nếu f'(x) = 0,∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K.

4. Các bước xét tính đơn điệu của một hàm số cho trước

   Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)

   Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm x_o sao cho f'(x_o) = 0 hoặc f'(x_o) không xác định.

   Bước 3: Lập bảng xét dấu và đưa ra kết luận

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y=x³ – 6x² + 9x -3

Hướng dẫn

Tập xác định: D = R

Ta có y’ = 3x² – 12x + 9

y’ = 0 ⇔ 

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;1) và (3;+∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)

Ví dụ 2: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau √(2x-x²)

Hướng dẫn

Tập xác định D = [0; 2]

Ta có : y’ =  y’ = 0 ⇔ x=1

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1); Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2)

Ví dụ 3: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = (3x + 1)/(1 – x)

Hướng dẫn

Hàm số xác định và liên tục trên D = R\{1}.

Tìm y’ =  > 0; ∀x ≠ 1.

Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞ ; 1)và (1 ; +∞).

Phần 2: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu cực hay

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

1. Hàm đa thức bậc ba: y=f(x)=ax³+bx²+cx+d (a≠0)

⇒ f'(x)=3ax²+2bx+c

    Hàm đa thức bậc ba y=f(x) đồng biến trên R khi và chỉ khi 

   Hàm đa thức bậc ba y=f(x) nghịch biến trên R khi và chỉ khi

2. Hàm phân thức bậc nhất: 

    Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi y’>0 hay ad-bc>0

   Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y’>0 hay ad-bc<0

 

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số  đồng biến trên tập xác định.

Hướng dẫn

      + Tập xác định: D=R

      + Ta có: y’=x²+2(m+1)x-(m+1)

      + Δ’=(m+1)²+4(m+1)=m²+6m+5

      + Để hàm số đồng biến trên tập xác định thì 

   Vậy giá trị của tham số cần tìm là -5≤m≤-1

Ví dụ 2: Cho hàm số . Tìm giá trị của m để hàm số luôn đồng biến trên R.

Hướng dẫn

      + Tập xác định: D=R

      + Đạo hàm y’≠(m²-m) x²+4mx+3

      + Hàm số luôn đồng biến trên R  y’≥0 ∀ x∈R

    Xét m²-m=0 ⇒ 

   Với m=0 phương trình trở thành y=3x-1;y’=3>0 ∀x∈R

⇒ m=0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Với m=1 phương trình trở thành y=2x²+3x-1;y’=4x+3

    Khi đó y’>0 4x+3>0 x<-3/4

⇒ m=1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Xét m²-m≠0 

   Khi đó 

   Từ hai trường hợp trên ta có giá trị m cần tìm là -3≤m<0

Ví dụ 3: Cho hàm số . Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Hướng dẫn

      + Tập xác định: D=R\{m}

      + Đạo hàm  . Dấu của y’ là dấu của biểu thức -m²-7m+8

      + Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định  y’>0 ∀x∈D

 -m²-7m+8>0  -8<m<1

    Vậy giá trị m cần tìm là -8<m<1

Phần 3: Phương pháp cô lập m trong khảo sát tính đơn điệu của hàm số cực hay

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm y’

Hàm số đồng biến trên khoảng K khi và chỉ khi y’ ≥ 0 ∀ x ∈ K

Hàm số nghịch biến trên khoảng K khi và chỉ khi y’ ≤ 0 ∀x ∈ K

Bước 2: Cô lập tham số m đưa về dạng m≥g(x) hoặc m ≤ g(x)

Bước 3: Vẽ bảng biến thiên của g(x)

Bước 4: Kết luận

m ≥ g(x) ∀ x ∈ K khi và chỉ khi m ≥ 

m ≤ g(x) ∀ x ∈ K khi và chỉ khi m ≤ 

Một số hàm số thường gặp

Hàm đa thức bậc ba: y = f(x) = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0)

⇒ f'(x) = 3ax² + 2bx + c

Với a > 0 và f'(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ < x₂

Hàm số đồng biến trên (α; β) khi và chỉ khi β ≤ xc hoặc α ≥ x₂

Hàm số nghịch biến trên (α; β) khi và chỉ khi x₁ ≤ α < β ≤ x₂

Với a <0 và f'(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ < x₂

Hàm số đồng biến trên (α; β) khi và chỉ khi x₁ ≤ α < β ≤ x₂

Hàm số nghịch biến trên (α; β) khi và chỉ khi β≤x₁ hoặc α ≥ x₂

Hàm phân thức bậc nhất: y = (ax + b)/(cx + d) ⇒ y’= (ad – bc)/(cx + d)²

Hàm số đồng biến trên khoảng K khi và chỉ khi ad-bc>0 và -d/c ∉ K

Hàm số nghịch biến trên khoảng K khi và chỉ khi ad – bc < 0 và -d/c ∉ K

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = x³/3 – mx²+(1 – 2m)x- 1 đồng biến trên (1; +∞)

Hướng dẫn

TXĐ: D = R

Ta có y’ = x² – 2mx + 1 – 2m

Hàm số đã cho đồng biến trên (1; +∞)⇔ ∀ x ∈(1; +∞),y’ ≥ 0

⇔ ∀ x ∈ (1; +∞), x² -2mx + 1 – 2m ≥ 0 ⇔ ∀ x ∈(1; +∞), x² + 1 ≥ 2m(x + 1)

⇔ ∀ x ∈(1; +∞),2m ≤ (x² + 1)/(x + 1) (do x + 1 > 0 khi x > 1)

Xét hàm số f(x) = (x² + 1)/(x + 1), x ∈ (1; +∞)

f'(x) = (x² + 2x – 1)/(x + 1)² >0 với mọi x  (1;+∞)

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên để 2m ≤ f(x),∀ x ∈(1; +∞) thì 2m ≤ 1 ⇔ m ≤ 1/2

Ví dụ 2: Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = (2x – 1)/(x – m) nghịch biến trên khoảng (2; 3)

Hướng dẫn

TXĐ: D=R\{m}.

Ta có y’= (-2m + 1)/(x – m)² . Để hàm số nghịch biến trên khoảng (2; 3) thì hàm só phải xác định trên khoảng (2; 3) và y’ < 0 ∀ x ∈ (2; 3).

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là 

Ví dụ 3: Tìm các giá trị m để hàm số y = mx³ – x² + 3x + m – 2 đồng biến trên (-3 ; 0)

Hướng dẫn

TXĐ: D = R

Ta có y’= 3mx² – 2x + 3. Hàm số đồng biến trên khoảng (-3; 0) khi và chỉ khi:

y’ ≥ 0,∀ x ∈(-3; 0) (Dấu ” = ” xảy ra tại hữu hạn điểm trên (-3; 0))

⇔ 3mx² – 2x + 3 ≥ 0, ∀ x ∈(-3; 0)

⇔ m ≥(2x-3)/(3x² ) = g(x) ∀ x ∈(-3;0)

Ta có: g'(x) = (-2x + 6)/(3x³ ); g'(x) = 0 ⇔ x = 3

Bảng biến thiên

Vậy m ≥ = -1/3.

Phần 4: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên đoạn có độ dài l cực hay

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

Tìm m để hàm số y = ax³ + bx² + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) = l.

   Bước 1: Tính y’=f'(x).

   Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:  (1).

   Bước 3: Biến đổi |x₁-x₂ | = l thành (x₁+x₂ )² – 4x₁.x₂=l² (2).

   Bước 4: Sử dụng định lý Viét đưa (2) thành phương trình theo m.

   Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

Kiến thức cần nhớ

Hàm đa thức bậc ba: y = f(x) = ax³+bx²+ cx + d (a ≠ 0) ⇒ f'(x)=3ax²+ 2bx + c

Sử dụng định lý vi ét cho tam thức bậc hai f'(x)= 3ax² + 2bx + c có

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = 1/3 x³ – 2mx² + 2mx – 3m + 4 nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3.

Hướng dẫn

Ta có f'(x) = x² – 4mx + 2m

Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 3 khi và chỉ khi f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x₁,x₂ (x₁ < x₂) thỏa mãn |x₁-x₂ |=3

   + f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x₁,x₂ ⇔ Δ’= 4m² – 2m > 0 ⇔ 

Theo Vi ét ta có 

   + Với |x₁-x₂ | = 3 ⇔ (x₁ + x₁)² – 4x₁ x₂ – 9 = 0

 (thỏa mãn)

Vậy giá trị của m cần tìm là m=.

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = -x³ + 3x² + (m-1)x + 2m – 3 đồng biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1

Hướng dẫn

Ta có f'(x)= -3x² + 6x + m – 1

Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 1 khi và chỉ khi f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁,x₂ (x₁ < x₂) thỏa mãn |x₁-x₂ | > 1

   + f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x₁,x₂ ⇔ Δ’= 3m + 6 > 0 ⇔ m > -2

Theo Vi ét ta có 

   + Với |x₁-x₂ | > 1 ⇔ (x₁+x₂ )²-4x₁ x₂-1 > 0 ⇔ 4m + 5 > 0 ⇔ m > -5/4

Kết hợp điều kiện ta được m > -5/4

Ví dụ 3: Xác định m để hàm só y = -x⁴ +(m – 2) x² + 1 có khoảng nghịch biến (x₁;x₂) và độ dài khoảng này bằng 1.

Hướng dẫn

Ta có y’ = -4x³ + 2(m – 2)x 

Để hàm số có khoảng nghịch biến (x₁;x₂) thì phương trình -2x² + m – 2 = 0 phải có hai nghiệm phân biệt 

Giả sử x₁ < 0 < x₂, khi đó hàm số sẽ nghịch biến trên khoảng (x₁;0) và (x₂; +∞)

Vì độ dài khoảng nghịch biến bằng 1 nên khoảng (x₁;0) có độ dài bằng 1 hay x₁ = -1

Vì -2x² + m – 2 = 0 có một nghiệm là -1 nên -2 + m – 2 = 0 ⇔ m = 4 (thỏa mãn)

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = 4

Phần 5: Cách xét tính đơn điệu của hàm đa thức cực hay, có lời giải

A. Phương pháp giải

Bước 1: Tìm tập xác định D.

Bước 2: Tính đạo hàm y’ = f'(x).

Bước 3: Giải phương trình f'(x) = 0.

Bước 4: Lập bảng biến thiên.

Bước 5: Kết luận.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm khoảng đồng biến của hàm số y = -x³ + 6x² – 9x + 4

A. (0;3)

B. (1;3)

C. (-∞;0)

D. (2;+∞)

Lời giải

Chọn B

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên khoảng (1;3).

Ví dụ 2: Cho hàm số: y = f(x) = x³ + 3x² + 3x + 2. Hãy chọn câu đúng:

A. Hàm số f(x) nghịch biến trên R

B. Hàm số f(x) đồng biến trên R

C. Hàm số f(x) không đổi trên R

D. Hàm số f(x) nghịch biến trên (-∞;-1)

Lời giải

Chọn B

Bảng biến thiên:

Ví dụ 3: Tìm khoảng đồng biến của hàm số: y = -x⁴ + 4x² – 3.

Lời giải

Chọn C

Bảng biến thiên:

Phần 6: Cách xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác cực hay, có lời giải

A. Phương pháp giải

Bước 1: Tìm tập xác định D.

Bước 2: Tính đạo hàm y’ = f'(x).

Bước 3: Tìm nghiệm của f'(x) hoặc những giá trị x làm cho f'(x) không xác định.

Bước 4: Lập bảng biến thiên.

Bước 5: Kết luận.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm các khoảng đồng biến của hàm số: y = 2sin⁡x + cos⁡2x, x ∈ [0;π]

Lời giải

Chọn C

Bảng biến thiên

Ví dụ 2: Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số: y = sin²⁡x + cos⁡x, x ∈ (0;π).

Lời giải

Chọn B

Bảng biến thiên

Ví dụ 3: Cho hàm số: y = f(x) = x – sin⁡x, x ∈ [0;π]. Hãy chọn câu đúng?

Lời giải

Chọn A

Bảng biến thiên

Phần 7: Cách xét tính đơn điệu của hàm phân thức cực hay, có lời giải

A. Phương pháp giải

Bước 1: Tìm tập xác định D.

Bước 2: Tính đạo hàm y’ = f'(x).

Bước 3: Tìm nghiệm của f'(x) hoặc những giá trị x làm cho f'(x) không xác định.

Bước 4: Lập bảng biến thiên.

Bước 5: Kết luận.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm khoảng đồng biến của hàm số: 

A. (0;+∞)

B. (-∞;2)

C. (-∞;1) và (1;+∞)

D. (-∞;+∞)

Lời giải

Chọn C

Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞;1) và (1;+∞).

Ví dụ 2: Tìm khoảng nghịch biến của hàm số: .

A. (-∞;7)

B. (-∞;+∞)

C. (-∞;-7) và (-7;+∞)

D. (-10;+∞)

Lời giải

Chọn C

Bảng biến thiên

Hàm số đã cho luôn nghịch biến trên: (-∞;-7) và (-7;+∞).

Ví dụ 3: Tìm khoảng nghịch biến của hàm số: 

A. (-∞;-5) và (1;+∞)

B. (-5;-2)

C. (-∞;-2) và (-2;+∞)

D. (-2;1)

Lời giải

Chọn A

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞;-5) và (1;+∞)

Xem thêm