SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Bài 1 trang 102 SBT Toán 9 tập 1: Hãy tính $x$ và $y$ trong các hình sau:

  

Phương pháp giải:

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Khi đó ta có các hệ thức sau:

+) $A{B}^2=BH.BC$ hay $c^2=a.c^{\prime }$

+)$A{C}^2=CH.BC$ hay $b^2=a{b}^{\prime }$

+) $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$ hay $c^2+b^2=a^2$ (định lý Pytago)

Lời giải:

a) Ta đặt tên như hình vẽ dưới đây:

Xét tam giác $ABC$ có chiều cao $AH.$

Theo định lý Py-ta-go, ta có:

$B{C}^2=A{C}^2+A{B}^2=5^2+7^2$

Hay $x+y=BC=\sqrt{5^2+7^2}=\sqrt{74}$ 

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó, ta có:

$A{B}^2=BH.BC$ 

$\Rightarrow 5^2=x.\sqrt{74}\Rightarrow x=\frac{25}{\sqrt{74}}$

Thay $x=\frac{25}{\sqrt{74}}$ vào $x+y=\sqrt{74}$, ta có:

$y+\frac{25}{\sqrt{74}}=\sqrt{74}$$\Rightarrow y=\sqrt{74}-\frac{25}{\sqrt{74}}$$=\frac{74-25}{\sqrt{74}}=\frac{49}{\sqrt{74}}$

Vậy $x=\frac{25}{\sqrt{74}};$$y=\frac{49}{\sqrt{74}}.$

b) Ta đặt tên như hình vẽ dưới đây:  

Xét tam giác $ABC$ có chiều cao $AH.$

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

$A{C}^2=CH.BC$

$\Rightarrow {14}^2=y.16\Rightarrow y=\frac{{14}^2}{16}$$=\frac{196}{16}=12,25$ 

Mà $x+y=16\Rightarrow x=16-y$$=16-12,25=3,75$

Vậy $x=12,25;y=3,75.$

Bài 2 trang 102 SBT Toán 9 tập 1: Hãy tính $x$ và $y$ trong các hình sau:

 

Phương pháp giải:

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Khi đó ta có các hệ thức sau: 

+) $A{B}^2=BH.BC$ hay $c^2=a.c^{\prime }$ 

+) $A{C}^2=CH.BC$ hay $b^2=a{b}^{\prime }$

+) $AH=HB.HC$ hay $h=c^{\prime }.b^{\prime }$

Lời giải:

a)  Đặt tên hình như hình dưới đây:

 

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH.$

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có: 

$A{B}^2=BH.BC$ hay $x^2=2.(2+6)=2.8=16$$\Rightarrow x=4$

$A{C}^2=CH.BC$  hay $y^2=6.(2+6)=6.8=48$$\Rightarrow y=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$

b) Đặt tên hình như hình dưới đây:

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH.$

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu hai cạnh góc vuông, ta có:

$A{H}^2=HB.HC$ hay $x^2=2.8=16\Rightarrow x=4$ 

Bài 3 trang 103 SBT Toán 9 tập 1: Hãy tính $x$ và $y$ trong các hình sau:

 

Phương pháp giải:

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Khi đó ta có các hệ thức sau:

+) $A{B}^2=BH.BC$ hay $c^2=a.c^{\prime }$ 

+)$A{C}^2=CH.BC$ hay $b^2=a{b}^{\prime }$

+) $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$ hay $c^2+b^2=a^2$ (định lý Pytago)

Lời giải:

a)   Hình a

Theo định lý Pi-ta-go, ta có: 

$y^2=7^2+9^2$$\Rightarrow y=\sqrt{7^2+9^2}=\sqrt{130}$ 

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong tam giác vuông, ta có:

$x.y=7.9\Rightarrow x=\frac{7.9}{y}=\frac{63}{\sqrt{130}}$ 

b)  Hình b

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

$5^2=x.x=x^2\Rightarrow x=5$ 

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

$y^2=x.(x+x)=5.(5+5)=50$$\Rightarrow y=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ 

Bài 4 trang 103 SBT Toán 9 tập 1: Hãy tính $x$ và $y$ trong các hình sau:

 

Phương pháp giải:

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Khi đó ta có các hệ thức sau: 

+) $A{B}^2=BH.BC$ hay $c^2=a.c^{\prime }$  

+) $A{C}^2=CH.BC$ hay $b^2=a{b}^{\prime }$

+) $AH.BC=AB.AC$

+) $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$ hay $c^2+b^2=a^2$ (định lý Pytago) 

Lời giải:

a) Hình a 

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

$3^2=2.x\Rightarrow x=\frac{3^2}{2}=\frac{9}{2}=4,5$ 

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có: 

$\begin{array}{rl}& y^2=x.(x+2)=4,5.(4,5+2)\\ & \Rightarrow y^2=29,25\\ & \Rightarrow y=\sqrt{29,25}\end{array}$

b) Hình b

Ta có:

$\begin{array}{rl}& \frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}\\ & \Rightarrow \frac{AB}{3}=\frac{AC}{4}\\ & \Rightarrow AC=4.\frac{AB}{3}\\ & =4.\frac{15}{3}=4.5=20\end{array}$

Theo định lý Pi-ta-go, ta có:

$y^2=B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$$={15}^2+{20}^2=625$

Suy ra:

$y=\sqrt{625}=25$

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong tam giác vuông, ta có:

$\begin{array}{rl}& x.y=15.20\\ & \Rightarrow x=\frac{15.20}{y}=\frac{15.20}{25}=12\end{array}$ 

Bài 5 trang 103 SBT Toán 9 tập 1: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ (h.5).

  

Giải bài toán trong mỗi trường hợp sau:

a) Cho $AH=16,BH=25.$ Tính $AB,AC,BC,CH$

b) Cho $AB=12,BH=6.$ Tính $AH,AC,BC,CH.$

Phương pháp giải:

Để giải bài toán ta áp dụng các công thức sau: 

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Khi đó ta có các hệ thức sau:

+) $A{B}^2=BH.BC$ hay $c^2=a.c^{\prime }$

+) $A{C}^2=CH.BC$ hay $b^2=a{b}^{\prime }$

+) $A{H}^2=HB.HC;AB.AC=AH.BC$

+) $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$ hay $c^2+b^2=a^2$ (định lý Pytago)

Lời giải:

a)

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có: $A{H}^2=BH.CH$

$\Rightarrow CH=\frac{A{H}^2}{BH}$$=\frac{{16}^2}{25}=10,24$

$BC=BH+CH$$=25+10,24=35,24$

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có: 

$\begin{array}{rl}& A{B}^2=BH.BC\\ & \Rightarrow AB=\sqrt{BH.BC}\\ & =\sqrt{25.35,24}=\sqrt{881}\approx 29,68\end{array}$

$\begin{array}{rl}& A{C}^2=HC.BC\\ & \Rightarrow AC=\sqrt{CH.BC}\\ & =\sqrt{10,24.35,24}\\ & =\sqrt{360,9}\approx 18,99\end{array}$ 

 b)

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:     

$\begin{array}{rl}& A{B}^2=BH.BC\\ & \Rightarrow BC=\frac{A{B}^2}{BH}=\frac{{12}^2}{6}=24\end{array}$

$CH=BC-BH=24-6=18$

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

$\begin{array}{rl}& A{C}^2=HC.BC\\ & \Rightarrow AC=\sqrt{CH.BC}\\ & =\sqrt{18.24}=\sqrt{432}\approx 20,78\end{array}$ 

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu cạnh góc vuông, ta có:

$\begin{array}{rl}& A{H}^2=HB.HC\\ & \Rightarrow AH=\sqrt{HB.HC}\\ & =\sqrt{6.18}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}\end{array}$ 

Bài 6 trang 103 SBT Toán 9 tập 1: Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là $5$ và $7$, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và các đoạn thẳng và nó chia ra trên cạnh huyền.
Phương pháp giải:

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Khi đó ta có các hệ thức sau:

+) $A{B}^2=BH.BC$ hay $c^2=a.c^{\prime }$ 

+) $A{C}^2=CH.BC$ hay $b^2=a{b}^{\prime }$

+) $A{H}^2=HB.HC;AB.AC=AH.BC$

+) $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$ hay $c^2+b^2=a^2$ (định lý Pytago) 

Lời giải:

Ta vẽ được hình dưới đây: 

Giả sử tam giác ABC có: $\widehat{BAC}={90}^{\circ }$

$AB=5,AC=7$ 

Theo định lý Py-ta-go, ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}\\ & =\sqrt{5^2+7^2}=\sqrt{74}\end{array}$ 

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong tam giác vuông, ta có:

$\begin{array}{rl}& AH.BC=AB.AC\\ & \Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}\\ & =\frac{5.7}{\sqrt{74}}=\frac{35}{\sqrt{74}}\end{array}$ 

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó, ta có:

$\begin{array}{rl}& A{B}^2=BH.BC\\ & \Rightarrow BH=\frac{A{B}^2}{BC}\\ & =\frac{5^2}{\sqrt{74}}=\frac{25}{\sqrt{74}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& CH=BC-BH\\ & =\sqrt{74}-\frac{25}{\sqrt{74}}=\frac{74-25}{\sqrt{74}}=\frac{49}{\sqrt{74}}\end{array}$

Bài 7 trang 103 SBT Toán 9 tập 1: Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đường thẳng có độ dài là 3 và 4. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này. 
Phương pháp giải:

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Khi đó ta có các hệ thức sau:

+) $A{B}^2=BH.BC$ hay $c^2=a.c^{\prime }$

+)$A{C}^2=CH.BC$ hay $b^2=a{b}^{\prime }$

+) $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$ hay $c^2+b^2=a^2$ (định lý Pytago)

Lời giải:

Giả sử tam giác ABC có: $\widehat{BAC}={90}^0,$$AH\mathrm{\perp }BC,BH=3,CH=4$

Ta có $BC=BH+CH=3+4=7$

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có: 

$\begin{array}{rl}& A{B}^2=BH.BC\\ & =3.7=21\\ & \Rightarrow AB=\sqrt{21};\end{array}$

$\begin{array}{rl}& A{C}^2=CH.BC\\ & =4.7=28\\ & \Rightarrow AC=\sqrt{28}=2\sqrt{7}.\end{array}$ 

Bài 8 trang 103 SBT Toán 9 tập 1: Cạnh huyền của một tam giác vuông lớn hơn một cạnh góc vuông là $1cm$ và tổng của hai cạnh góc vuông lớn hơn cạnh huyền $4cm$. Hãy tính các cạnh của tam giác vuông này.

6

Phương pháp giải:

Xét tam giác $ABC$ vuông tại A. 

Để giải bài toán ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Thực hiện liên kết các dữ kiện:

$BC-AB=1(cm)$  

$AB+AC-BC=4(cm)$

Bước 2: Cộng vế với vế để tìm ra một cạnh trong tam giác.

Bước 3: Sử dụng định lí Pytago để tìm các cạnh còn lại của tam giác. 

Lời giải:

Giả sử tam giác ABC có $\widehat{BAC}={90}^{\circ }$

Theo đề  bài, ta có: $BC-AB=1(cm)$  (1) 

$AB+AC-BC=4(cm)$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:   

$(BC-AB)+(AB+AC-BC)$$=1+4$
$\iff BC-AB+AB+AC-BC=5$
$\iff AC=5$

Theo định lý Pytago, ta có: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$    (3)

Từ (1) suy ra: $BC=AB+1$   (4)

Thay (4) và (3) ta có:

$\begin{array}{rl}& {\left(AB+1\right)}^2=A{B}^2+A{C}^2\\ & \iff A{B}^2+2AB+1=A{B}^2+5^2\\ & \iff 2AB=24\\ & \iff AB=12\left(cm\right)\end{array}$

Thay $AB=12$ (cm) vào (1) ta có: $BC=12+1=13(cm)$

Bài 9 trang 104 SBT Toán 9 tập 1: Một tam giác vuông có cạnh huyền là $5$ và đường cao ứng với cạnh huyền là $2$.Hãy tính cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông này. 

Phương pháp giải:

Xét tam giác $ABC$ có $\widehat{BAC}={90}^0,$$AH\mathrm{\perp }BC,BC=5,AH=2$ và $BH<CH$

Suy luận để có $BH+CH=5$

Sử dụng hệ thức: $BH.CH=A{H}^2$

Từ đó tính được $BH,$ suy ra cạnh $AB$ và lập luận để có $AB$ là cạnh nhỏ nhất. 

Lời giải:

Giả sử tam giác $ABC$ có $\widehat{BAC}={90}^0,$$AH\mathrm{\perp }BC,BC=5,AH=2$ và $BH<CH$

Ta có: $BH+CH=BC=5$ nên $BH=5-CH$  (1) 

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và các hình chiếu cạnh góc vuông trong tam giác vuông, ta có:  

$BH.CH=A{H}^2=2^2=4$    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 

$BH(5-BH)=4$
$\iff B{H}^2-5BH+4=0$

$\iff B{H}^2-4BH-BH+4=0$

$\iff BH(BH-4)-(BH-4)=0$

$\iff (BH-1)(BH-4)=0$
$\iff [\begin{array}{l}BH=1\Rightarrow CH=4\\ BH=4\Rightarrow CH=1\end{array}$

Do $BH<CH$ nên $BH=1$ và $CH=4$ 

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

$A{B}^2=BH.BC$$=1.5=5$ 

Suy ra: $AB=\sqrt{5}.$

Vì $BH<CH$ nên $AB<AC$ hay $AB=\sqrt{5}$ là cạnh nhỏ nhất của tam giác $ABC.$

Bài 10 trang 104 SBT Toán 9 tập 1: Cho một tam giác vuông. Biết tỷ số hai cạnh góc vuông là $3:4$ và cạnh huyền là $125cm$. Tính độ dài các cạnh góc vuông và hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền. 
Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:  

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}$

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. 

Khi đó ta có các hệ thức sau:

+) $A{B}^2=BH.BC$ 

+) $A{C}^2=CH.BC$

+) $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$ (định lý Pytago).

Lời giải:

Giả sử $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$ chiều cao $AH,BC=125cm$ và $\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}$

Từ $\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}$ suy ra: $\frac{AB}{3}=\frac{AC}{4}\Rightarrow \frac{A{B}^2}{9}=\frac{A{C}^2}{16}$

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:  

$\frac{A{B}^2}{9}=\frac{A{C}^2}{16}$$=\frac{A{B}^2+A{C}^2}{9+16}=\frac{A{B}^2+A{C}^2}{25}(1)$ 

Theo định lí Pytago, ta có:

$\begin{array}{rl}& B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2\\ & \Rightarrow A{B}^2+A{C}^2={125}^2=15625(2)\end{array}$

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{A{B}^2}{9}=\frac{A{C}^2}{16}$$=\frac{A{B}^2+A{C}^2}{25}=\frac{15625}{25}=625$

Suy ra :

$A{B}^2=9.625=5625$$\Rightarrow AB=\sqrt{5625}=75(cm)$

$A{C}^2=16.625=10000$$\Rightarrow AC=\sqrt{10000}=100(cm)$ 

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

$A{B}^2=BH.BC$$\Rightarrow BH=\frac{A{B}^2}{BC}$$=\frac{{75}^2}{125}=45(cm)$

$CH=BC-BH$$=125-45=80(cm).$ 

Bài 11 trang 104 SBT Toán 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết rằng $\frac{AB}{AC}=\frac{5}{6}$, đường cao $AH=30cm$. Tính $HB,HC$.
Phương pháp giải:

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$.

Khi đó ta có các hệ thức sau: 

+) $A{B}^2=BH.BC$ 

+) $A{C}^2=CH.BC$ 

+) $A{H}^2=HB.HC;AB.AC=AH.BC$

+) $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$ (định lý Pytago).

Lời giải:

Xét hai tam giác vuông $AHB$ và $CHA,$ ta có:

$\widehat{AHB}=\widehat{CHA}={90}^0$ 

$\widehat{ABH}=\widehat{CAH}$ (hai góc cùng phụ $\widehat{ACB}$) 

Vậy $∆AHB\backsim ∆CHA$ (g.g)

Suy ra: $\frac{AH}{HC}=\frac{AB}{CA}.$  (1)

Theo đề bài: $\frac{AB}{AC}=\frac{5}{6}$ và $AH=30(cm)$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{30}{HC}=\frac{5}{6}\Rightarrow HC=\frac{30.6}{5}=36(cm)$

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

$A{H}^2=HB.HC$$\Rightarrow HB=\frac{A{H}^2}{HC}=\frac{{30}^2}{36}=25(cm)$

Bài 12 trang 104 SBT Toán 9 tập 1: Hai vệ tinh đang bay ở vị trí $A$ và $B$ cùng cách mặt đất $230km$ có nhìn thấy nhau hay không nếu khoảng cách giữa chúng theo đường thẳng là $2200km$? Biết rằng bán kính $R$ của Trái Đất gần bằng $6370km$ và hai vệ tinh nhìn thấy nhau nếu $OH>R$. 

Phương pháp giải:

Sử dụng: Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$ (định lý Pytago).

Lời giải:

Vì hai vệ tinh cùng cách mặt đất $230km$ nên tam giác $AOB$ cân tại O.

Ta có: $OA=R+230$

$=6370+230=6600(km)$  

Trong tam giác cân AOB ta có: $OH\mathrm{\perp }AB$ nên $H$ là trung điểm của $AB$ 

Suy ra: $HA=HB=\frac{AB}{2}$$=\frac{2200}{2}=1100(km)$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $AHO$ ta có: $A{O}^2=A{H}^2+O{H}^2$

Suy ra: $O{H}^2=O{A}^2-A{H}^2$

Suy ra:

$\begin{array}{rl}& OH=\sqrt{O{A}^2-A{H}^2}\\ & =\sqrt{{6600}^2-{1100}^2}\\ & =\sqrt{42350000}\approx 6508(km)\end{array}$ 

Vì $OH>R$ nên hai vệ tinh nhìn thấy nhau.

Bài 13 trang 104 SBT Toán 9 tập 1: Cho hai đoạn thẳng có độ dài là $a$ và $b$. Dựng các đoạn thẳng có độ dài tương ứng bằng:

a) $\sqrt{a^2+b^2}$       

b) $\sqrt{a^2-b^2},\left(a>b\right)$ 

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác OAB vuông tại O, ta có:

$A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2$

Lời giải:

a)

* Cách dựng:

−  Dựng góc vuông $xOy$.

−  Trên tia $Ox$, dựng đoạn $OA=a$.

−  Trên tia $Oy$, dựng đoạn $OB=b$.

−  Nối $AB$ ta có đoạn $AB=\sqrt{a^2+b^2}$ cần dựng.

* Chứng minh:

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông $AOB$, ta có:

$A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2$$=a^2+b^2$ 

Suy ra: $AB=\sqrt{a^2+b^2}.$

 b)

*  Cách dựng :

− Dựng góc vuông $xOy$.

− Trên tia $Oy$, dựng đoạn $OA=b$.

− Dựng cung tròn tâm $A$, bán kính bằng $a$ cắt tia $Ox$ tại $B$.

Ta có đoạn $OB=\sqrt{a^2-b^2}(a>b)$ cần dựng.

*     Chứng minh;

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $AOB$, ta có:

$A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2\Rightarrow O{B}^2$$=A{B}^2-O{A}^2=a^2-b^2$ 

Suy ra: $OB=\sqrt{a^2-b^2}$

Bài 14 trang 104 SBT Toán 9 tập 1: Cho hai đoạn thẳng có độ dài là $a$ và $b$. Dựng đoạn thẳng $\sqrt{ab}$ như thế nào?   
Phương pháp giải:

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$.

Khi đó ta có hệ thức sau: $A{H}^2=BH.CH$

Từ đó suy ra cách dựng hình thỏa mãn đề bài.

Lời giải:

*  Cách dựng:

−     Dựng đường thẳng $x$.

−     Trên đường thẳng $x$ dựng liên tiếp hai đoạn thẳng $AB=a$, $BC=b$.

−     Dựng nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AC$.

−     Từ $B$ dựng đường thẳng vuông góc với $AC$ cắt nửa đường tròn tâm $O$ tại $D$.

Ta có đoạn $BD=\sqrt{ab}$ cần dựng. 

*  Chứng minh:

Nối $DA$ và $DC.$ Ta có tam giác $ACD$ vuông tại $D$ (do $OD=OA=OC=\frac{AC}{2})$ và $DB\mathrm{\perp }AC$.

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

$B{D}^2=AB.BC=a.b$

Suy ra: $BD=\sqrt{ab}.$ 

Bài 15 trang 104 SBT Toán 9 tập 1: Giữa hai tòa nhà ( kho và phân xưởng) của một nhà máy, người ta xây dựng một băng chuyền $AB$ để chuyển vật liệu. Khoảng cách giữa hai tòa nhà là $10m$, còn hai vòng quay của băng chuyền được đặt ở độ cao $8m$ và $4m$ so với mặt đất (h.7). Tìm độ dài $AB$ của băng chuyền.  

   

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí Pytago: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Lời giải:

Kẻ $BH\mathrm{\perp }AD$ ta được tứ giác $BCDH$ là hình chữ nhật (vì $\hat{C}=\hat{D}=\hat{H}={90}^0).$ 

Suy ra $DH=BC=4m$ và $BH=CD=10m$ (tính chất hình chữ nhật)

Và $AH=AD-DH=8-4=4$(m)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông $ABH$, ta có:

$A{B}^2=B{H}^2+A{H}^2$ 

Suy ra: $AB=\sqrt{B{H}^2+A{H}^2}$$=\sqrt{{10}^2+4^2}=\sqrt{116}\approx 10,8(m)$

Vậy băng chuyền dài khoảng 

Bài 16 trang 104 SBT Toán 9 tập 1: Cho tam giác có độ dài các cạnh là $5,12,13$. Tìm góc đối diện với cạnh có độ dài $13$ của tam giác.  
Phương pháp giải:

Định lí Pytago đảo: 

Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.

Lời giải:

Ta có: $5^2+{12}^2=25+144=169={13}^2$

Vì tam giác có ba cạnh với độ dài các cạnh thỏa mãn định lý Pytago đảo (bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại) nên nó là tam giác vuông.

Vậy góc đối diện với cạnh $13$ (cạnh dài nhất) là góc vuông. 

Bài 17 trang 104 SBT Toán 9 tập 1: Cho hình chữ nhật $ABCD$. Đường phân giác của góc B
cắt đường chéo AC thành hai đoạn $4\frac{2}{7}m$ và $5\frac{5}{7}m$. Tính các kích thước của hình chữ nhật.
Phương pháp giải:

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $ABC$: 

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ thì ta có:

$B{C}^2=A{C}^2+A{B}^2$ 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}$

Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác.

Lời giải:

Trong tam giác $ABC$, gọi giao điểm đường phân giác của góc $\widehat{ABC}$ với cạnh $AC$ là $E$.

Theo đề bài ta có:  

$AE=4\frac{2}{7}m,EC=5\frac{5}{7}m.$

Theo tính chất của đường phân giác, ta có: $\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}$

Suy ra:

$\frac{AB}{BC}=\frac{4\frac{2}{7}}{5\frac{5}{7}}=\frac{\frac{30}{7}}{\frac{40}{7}}=\frac{3}{4}$

Suy ra: $\frac{AB}{3}=\frac{BC}{4}\Rightarrow \frac{A{B}^2}{9}=\frac{B{C}^2}{16}$

Ta có $AC=AE+EC$$=4\frac{2}{7}+5\frac{5}{7}=10$ 

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ABC, ta có:

$A{B}^2+B{C}^2=A{C}^2$$={10}^2=100$ 

Khi đó, ap dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$\begin{array}{rl}& \frac{A{B}^2}{9}=\frac{B{C}^2}{16}=\frac{A{B}^2+B{C}^2}{9+16}\\ & =\frac{A{B}^2+B{C}^2}{25}=\frac{100}{25}=4\end{array}$

Suy ra: $A{B}^2=9.4=36$$\Rightarrow AB=\sqrt{36}=6\left(m\right)$

$B{C}^2=16.4=64$$\Rightarrow BC=\sqrt{64}=8\left(m\right)$

Vậy: $AB=CD=6m$   

$BC=AD=8m.$

Bài 18 trang 105 SBT Toán 9 tập 1: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, vẽ đường cao $AH$. Chu vi của tam giác $ABH$ là $30cm$ và chu vi của tam giác $ACH$ là $40cm$. Tính chu vi của tam giác $ABC.$
Phương pháp giải:

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $ABC$:

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ thì ta có:

$B{C}^2=A{C}^2+A{B}^2$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: 

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}$

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow \frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}$ 

Lưu ý: Tỉ số đồng dạng của hai tam giác bằng tỉ số chu vi của hai tam giác đó.

Lời giải:

Gọi $a,b,c$ lần lượt là chu vi của các tam giác $ABC$, $ABH$, $ACH$.

Ta có: $b=30cm,c=40cm.$ 

Xét hai tam giác vuông $AHB$ và $CHA$, ta có: 

$\widehat{AHB}=\widehat{CHA}={90}^{\circ }$

$\widehat{ABH}=\widehat{CAH}$ (hai góc cùng phụ $\widehat{ACB}$)

Vậy $\mathrm{\Delta }AHB$ đồng dạng $\mathrm{\Delta }CHA$ (g.g)

Suy ra: $\frac{HB}{HA}=\frac{HA}{HC}$$=\frac{BA}{AC}=\frac{HB+HA+BA}{HA+HC+AC}=\frac{b}{c}$

Suy ra: $\frac{BA}{AC}=\frac{b}{c}=\frac{30}{40}=\frac{3}{4}$

Suy ra: $\frac{BA}{3}=\frac{AC}{4}$$\Rightarrow \frac{B{A}^2}{9}=\frac{A{C}^2}{16}=\frac{B{A}^2+A{C}^2}{9+16}$$=\frac{B{A}^2+A{C}^2}{25}$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $ABC$, ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$ 

Suy ra:

$\frac{B{A}^2}{9}=\frac{A{C}^2}{16}=\frac{B{C}^2}{25}$$\Rightarrow \frac{BA}{3}=\frac{AC}{4}=\frac{BC}{5}$

Xét hai tam giác vuông $AHB$ và $CAB$, ta có: 

$\widehat{CAB}=\widehat{CHA}={90}^{\circ }$

$\hat{C}$ chung

Nên $\mathrm{\Delta }CAB$ đồng dạng $\mathrm{\Delta }CHA$ (g.g)

Suy ra các tam giác $ABH,CAH,CBA$ đồng dạng với nhau nên:

$b:c:a=BA:AC:BC=3:4:5$ 

Suy ra: $\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=\frac{a}{5}\iff \frac{30}{3}=\frac{40}{4}=\frac{a}{5}$

Bài 19 trang 105 SBT Toán 9 tập 1: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có cạnh $AB=6$cm và $AC=8$cm. Các đường phân giác trong và ngoài của góc $B$ cắt đường thẳng $AC$ lần lượt tại $M$ và $N$. Tính các đoạn thẳng $AM$ và $AN$.   
Phương pháp giải:

+ Tính chất đường phân giác:

– Đường phân giác trong của một tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ấy. 

Xét tam giác ABC có AM là phân giác của góc trong $\widehat{BAC}$.

Ta có hệ thức: $\frac{AB}{AC}=\frac{AM}{MC}$

 – Đường phân giác ngoài tại một đỉnh của tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn thẳng ấy.

+ Tính chất tỉ lệ thức:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow \frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}.$ 

Lời giải:

Vì $BM$ là đường phân giác của góc $B$ nên ta có:  

$\frac{MA}{MC}=\frac{AB}{BC}$$\Rightarrow \frac{MA}{MA+MC}=\frac{AB}{AB+BC}$ (tính chất tỉ lệ thức)

Suy ra: $MA=\frac{AB.(MA+MC)}{AB+BC}$$=\frac{AB.AC}{AB+BC}$$=\frac{6.8}{6+10}=\frac{48}{16}=3\left(cm\right)$

Vì $BM,BN$ lần lượt là đường phân giác của góc  trong và góc ngoài tại đỉnh $B$ nên ta có: $BM\mathrm{\perp }BN$

Suy ra tam giác $BMN$ vuông tại $B$. 

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu hai cạnh góc vuông, ta có: $A{B}^2=AM.AN$

 Suy ra: $AN=\frac{A{B}^2}{AM}=\frac{6^2}{3}=\frac{36}{3}=12\left(cm\right)$

Bài 20 trang 105 SBT Toán 9 tập 1: Cho tam giác vuông $ABC$. Từ một điểm M bất kì trong tam giác kẻ $MD,ME,MF$ lần lượt vuông góc với các cạnh $BC,AC,AB$. Chứng minh rằng: 

$B{D}^2+C{E}^2+A{F}^2=D{C}^2+E{A}^2+F{B}^2.$ 

 

Phương pháp giải:

– Vẽ hình phụ tạo thành các tam giác vuông (với bài toán này ta nối các điểm tạo thành các cạnh $AM,BM,CM$).

– Xét các tam giác vuông, sử dụng định lý Pytago tạo thành các đẳng thức phù hợp. 

– Tìm mối liên hệ giữa các đẳng thức vừa được tạo thành và đẳng thức cần được chứng minh của bài toán.

Sử dụng: Định lý Pytago: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ ta có: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$

Lời giải:

Nối $AM,CM,BM$ ta được hình dưới đây:

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $BDM$, ta có: 

$B{M}^2=B{D}^2+D{M}^2$$\Rightarrow B{D}^2=B{M}^2-D{M}^2$   (1)

Áp dụng đinh lí Pytago vào tam giác vuông $CEM$, ta có:

$C{M}^2=C{E}^2+E{M}^2$$\Rightarrow C{E}^2=C{M}^2-E{M}^2$   (2)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $AFM$, ta có:

$A{M}^2=\mathrm{A}{\mathrm{F}}^2+F{M}^2$$\Rightarrow A{F}^2=A{M}^2-F{M}^2$    (3)

Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có:

$B{D}^2+C{E}^2+A{F}^2$

$=B{M}^2-D{M}^2+C{M}^2$$-E{M}^2+A{M}^2-F{M}^2$    (4)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $BFM$, ta có:

$B{M}^2=B{F}^2+F{M}^2$        (5)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $CDM$, ta có:

$C{M}^2=C{D}^2+D{M}^2$          (6)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $AEM$, ta có: 

$A{M}^2=A{E}^2+E{M}^2$            (7)

Thay (5), (6), (7) vào (4) ta có:

$\begin{array}{rl}& B{D}^2+C{E}^2+\mathrm{A}{\mathrm{F}}^2\\ & =B{F}^2+F{M}^2-D{M}^2+C{D}^2\\ & +D{M}^2-E{M}^2+A{E}^2+E{M}^2-F{M}^2\\ & =D{C}^2+E{A}^2+F{B}^2\end{array}$

Vậy $B{D}^2+C{E}^2+\mathrm{A}{\mathrm{F}}^2=D{C}^2+E{A}^2+F{B}^2.$